9845

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x(t) = ∑ ck eiωk t ,

f (x)e−iωk t dx , или c± k = 0.5(ak ± ibk ) .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Для стационарного процесса X (t) выполняется следующее:

f X (t, x) = f X (t', x) = fX (t '', x) = ... = fX (x) ,

M [ X (t)] = ∫ x × fx (x)dx = mx = const ,	D[ X (t)] = ∫ (x - mx )2 × fx (x)dx = Dx = co n s t .
Ωx	Ωx

Корреляционная функция при этом тоже не зависит от моментов сечений t, t' , а зависит от интервала между ними τ = t − t':

(t, t') = k

(τ) ,

= K

(t, t) = k

(0) ³ 0 ,

(τ) = k

(-τ) ,

(τ)

£ k

(0) .

Нормированная корреляционная функция определяется так:

rx (τ) = kx (τ) / Dx = kx (τ) / kx (0) , rx (τ) = rx (-τ) , rx (0) = 1, rx (τ) £ 1.

Если r (τ) ¾¾¾®0 , то говорят, что стационарный процесс эргодичный. Свой-
x	τ →∞

ство эргодичности состоит в том, что любая реализация случайного процесса в течение времени проходит все возможные состояния, то есть является полной (возможно, очень продолжительной) представительницей всего случайного процесса.

Рассмотрим примеры стационарных процессов.

Пример 6. Элементарный случайный гармонический процесс:

Y (t) = U ×cos ωt +V ×sin ωt , где U,V =N(0, σ), KUV =0, ω = const .

	m	= M [Y (t)] = M [U ]×cos ωt + M [V ]×sin ωt = 0 ,
	y
	D	= D[Y (t)] = D ×cos2 (ωt) + D ×sin2 (ωt) = σ2				,
	y		u	V
'	'		2	'	2	'	2	'	,
K (t, t	) = M [Yɶ(t) ×Yɶ(t )] = M [U		]cos(ωt) cos(ωt ) + M [V		]sin(ωt) sin(ωt ) = σ		cos(t - t )		,
y
	Yɶ(t) = Y (t) - my		(t) = Y (t) , R	(t, t') = cos(t - t ') = cos(τ) .
			y

Процесс является стационарным, но не эргодическим.

Пример 7. Случайная телеграфная волна: рассматриваем случайный процесс Y (t, λ) , состоящий из потока переключений с интенсивностью λ (переключе-

ний за единицу времени). Интервал времени между переключениями Dt есть

130

Y (t, λ)

случайная величина, распределенная по показательному закону λe-λDt (простейший поток). При каждом переключении, независимо от других переключений, процесс принимает значение случайной величины X с МО mx и

СКО σx и остается постоянно такой до следующего переключения. Пусть

t1 , t2 ,.., tn ,.. -	случайные времена переключений, а X1 , X 2 ,.., X n ,.. -					независимые
случайные величины, реализуемые при переключении (рис.8.5).
m (t) = M [Y (t)] = M [ X		] = m = co n s t,	D (t) = D[Y (t)] = D[ X		] = σ2	= const .
y	i	x	y	i	x
Пусть t, t'	- два произвольных сечения процесса Y (t)			с интервалом τ = t' − t ,


между ними с вероятностью e-λt нет переключений	и с вероятностью 1- e-λt
есть хотя бы одно переключение. Тогда корреляционная функция:
K (t, t') = M [Yɶ(t) ×Yɶ(t ')] = M [Yɶ(t) ×Yɶ(t)]×e-λτ + M [Yɶ(t) ×Yɶ(t')]×(1- e-λτ ) = σ 2e− λ		τ	= k	(τ,λ) .


y	x		x

Рис.8.5. Независимые импульсы телеграфной волны и ее корреляционная функция

Таким образом, при независимости	различных временных сечений
( M [Yɶ(t) ×Yɶ(t')] = 0 ) случайная величина Y (t)	является стационарной и эргодиче-
ской.
Пример 8. Стационарный белый шум:	рассмотрим поведение телеграфной

волны с ростом интенсивности переключений λ ¾¾®¥ , но и при условии, что дисперсия σ x2 так же неограниченно растет, причем так что σ2x / λ = c . Тогда

Z (t) = lim Y (t) есть случайный процесс со следующими характеристиками:

λ ¾¾®¥

131

m (t) = M [Z (t)] = m

= co n s t,

D (t) = D[Z (t)] = σ2

= const ,

(τ) = lim

σ2x

λe

− λ

= c lim λe

− λ

= 2c ×δ(τ) .

λ →∞

Здесь δ(τ) - дельта - функция Дирака со следующими свойствами:

			0	τ ¹ 0	+∞
δ(τ) =				,	∫ δ(τ)dτ = 1,
			¥	τ ® 0	−∞
∞	− λ
а так же учтено, что ∫ λe		τ	dτ = 1.
а так же учтено, что ∫ λe		τ	dτ = 1.
0

Таким образом, белый шум представляется случайным процессом с высокоинтенсивным переключением (реализацией) значений случайной величины с очень большой дисперсией, является стационарным и эргодичным. Величина с называется интенсивностью шума. Белый шум с нулевым мат. ожиданием часто рассматривается как модель различного рода помех.

Рис.8.6. Возможная реализация белого шума

132

8.3.Каноническое представление случайных процессов

иих спектральное разложение

Неслучайную (регулярную), ограниченную и периодическую с периодом 2T, как известно, можно разложить в ряд Фурье по гармоническим функциям кратных частот, причем единственным способом:

∞

2π

x(t) =

+ ∑ak cos ωk t + bk sin ωk t ,

ω =

, ωk = ω × k ,

k =1

x(t) cos ω

tdx ,

b =

1 T

x(t) sin ω

tdx ,

T −∫T

а с учетом формул Эйлера sin ωk t = -0.5i(eiωk t - e−iωk t ) и cosωk t = 0.5(eiωk t + e−iωk t ) ,

где i = -1 - символ мнимой единицы, получим комплексное разложение:

Пугачев В.С. доказал [118], что любой случайный процесс может быть представлен в виде разложения по элементарным случайным функциям базиса:

			∞
		X (t) = mx (t) + ∑Vkϕk (t) ,
			k =1
	∞	∞	∞	∞
	Kx (t, t') = M [∑Vkϕk (t)i∑Vrϕr (t')] = ∑ Dkϕk (t) ×ϕk (t ') , Dx (t) = ∑ Dkϕk2 (t) ,
	k =1	r =1	k =1	k =1
где	Vk - независимые	центрированные случайные		величины: M [Vk ] = 0 ,
M [Vk	×Vl ] = δkl , D[Vk ] = Dk , а ϕk (t) - неслучайные базисные функции, которые мо-
гут быть выбраны множеством различных способов.

К каноническому представлению ограниченного случайного процесс может быть применено известное преобразование Лапласа:

133

∞

ˆ	− pt	dt , где p = s + iω - комплексное число с положительной дейст-
X ( p) = ∫ X (t)e
0

вительной частью

ˆ	ˆ	( p) +
X ( p) = X ( p) = mx

s > 0 , тогда образом Лапласа случайного процесса будет

∞

∑Vkϕˆ k ( p) .

k=1

Вчастности, при базисе ϕk (t) = Uk cos(ωk t) + Vk sin(ωk t) с центрированными и

независимыми

случайными коэффициентами Uk ,Vk ( M [Uk ] = M [Vk ] = 0 ,

D[Uk ] = D[Vk ] = Dk , M [Uk ×Vl ] = δkl ) разложение будет:

∞

X (t) = mx (t) + ∑(Uk cos(ωk t) + Vk sin(ωk t)) .

k =1

При этом имеет место следующее:

∞		∞				∞
D( X (t)) = ∑ Dk = const, K (t, t') = ∑ Dk cos(t − t ') = ∑ Dk cos(τ) = k(τ) , а его образ Ла-
k =1		k =1				k =1
	∞		p	+ Vk	ω
пласа будет: X (t) = mx (t) + ∑ Uk		2 2		+ Vk	2	2 .
ˆ	ˆ
	ˆ	p + ω			p + ω
	k =1	p + ω			p + ω

Это представление называется спектральным разложением случайного стационарного процесса. Его можно представить графически на рис.8.7, а также

	∞	iωk t	ˆ	= 0.5(Uk ± iVk ) .
в комплексном виде:	ˆ
	X (t) = mx + ∑ Wk e		, W± k

k=−∞

Сдругой стороны корреляционная функция стационарного процесса - функция не случайная и может быть так же разложена в ряд Фурье:

∞			1	T			1	T
kx (τ) = ∑ Dk cos ωk τ,	Dk	=			kx (τ) cos ωk τdτ, D0	=			kx (τ)dτ .
			T −∫T				T −∫T
k =1

Таким образом, видим, что дисперсии коэффициентов спектрального разложения совпадают с коэффициентами Фурье разложения корреляционной функции.

134

Рис.8.7. Спектральное разложение стационарного процесса

В случае не периодического процесса (T ¾¾®¥ ) корреляционная функ-

ция четна и может быть представлена косинус - преобразованием Фурье:

kx (τ ) =	∞ Sx (ω) cos ωτdω и обратно	Sx	(ω) =	2	∞ kx (τ ) cos ωτdτ .
kx (τ ) =	∞ Sx (ω) cos ωτdω и обратно	Sx	(ω) =	π	∞ kx (τ ) cos ωτdτ .
	∫			π	∫
	0				0

Величина Sx (ω) ³ 0 называется спектральной плотностью случайного ста-

ционарного процесса. Она показывает распределение дисперсии процесса по частотам:

	∞	ω2
Dx	= kx (0) = ∫ Sx (ω)dω ,	Dx (Dω) = ∫ Sx (ω)dω » Sx (ω)Dω.
	0	ω1
Нормированная	спектральная	плотность	вводится	аналогично:

sx (ω) = Sx (ω) / Dx . Комплексная спектральная плотность Sx (ω) связана с корре-
								ˆ
ляционной функцией соотношениями преобразования Фурье:
∞	ˆ	iωτ		ˆ		1	∞		−iωτ
kx (τ) = ∫	Sx (ω)e		dω ,	Sx	(ω) =		∫	kx (τ)e		dτ
kx (τ) = ∫	Sx (ω)e		dω ,	Sx	(ω) =	2π	∫	kx (τ)e		dτ
−∞						2π	−∞

и является действительной положительной четной функцией:

ˆ		0.5Sx (ω),	ω ³ 0
Sx	(ω) =		,
	-0.5Sx (ω),		ω < 0

∞	ˆ
Dx = kx (0) = ∫	ˆ	(ω)dω.
Dx = kx (0) = ∫	Sx	(ω)dω.
−∞

Рассмотрим примеры процессов с определенными спектральными плотностями и корреляционными функциями.

135

Пример 9. Пусть X k (t) = Uk cos(ωk t) +Vk sin(ωk t) - элементарный случайный гармонический процесс, у которого kx (τ) = Dk cos(ωk τ) . Его спектральная плот-

∞

ность Sx k (ω) = π2 ∫0 Dk cos ωk τcos ωτdτ = Dk ×δ(ω-ωk ) .

Если процесс представлен суммой гармонических процессов, то:

∞	∞	∞
X (t) = ∑Uk cos(ωk t) +Vk sin(ωk t) ,	kx (τ) = ∑ Dk cos(ωk τ) , Sx (ω) =	∑ Dk ×δ(ω-ωk ) .
k =1	k =1	k =1
Пример 10. Пусть спектральная плотность процесса		постоянна S (ω) = c

на интервале (ω1 , ω2 ) , найдем его корреляционную функцию.

∞

ω2

[sin ω2

τ - sin ω1τ] =

ω1 + ω2

kx (τ) = ∫ S (ω) cos ωτdω = c ∫ cos ωτdω =

sin

ω1

∞

Так как

Dx = kx (0) = ∫ Sx (ω)dω = ∫ cdω = c(ω2 - ω1 ) ,

то c = Dx /(ω2 -ω1 )

ω1

kx (τ ) =

2Dx

sin ω1 + ω2

τ×sin ω2 - ω1 τ .

τ(ω2 -

ω1 )

τ×sin ω2 - ω1 τ .

и в итоге:

Пример 11. Рассмотрим случайную телеграфную волну с корреляцион-

ной функцией k

(τ ) = D e-λ

Найдем ее комплексную спектральную плотность

(интеграл так считать проще):

∞

−iωτ

+∞

2λ

−

iωτ

2λ

(ω) =

2π

−∞∫

kx (τ)e

dτ =

2π

−∞∫

dτ =

2π

4λ2 +

ω2

= 2Sx (ω) .

2λ - iσ

-2λ - iσ

Пример 12. Рассмотрим стационарный белый шум с kx (τ) = 2c ×δ(τ) .

∞

−iωτ

+∞

−iωτ

Sx (ω) =

kx (τ)e

dτ

δ(τ)e

dτ =

= co n s t ,

2π −∞∫

2π

−∞∫

т.е. стационарный белый шум представляет собой случайные некоррелированные колебания на всех частотах с постоянной дисперсией .

136

8.4. Преобразование случайных процессов в линейных системах

Случайные процессы, наблюдаемые в технических системах, и в том числе виброзащитных, обычно рассматриваются как входные или выходные для некоторых технических преобразующих их устройств. Например, вибрационный сигнал (механический, акустический, электромагнитный или комбинированный) совместно с некоторой случайной помехой воздействует на устройство, выполняющее определенные функциональные задачи. Главный вопрос пользователя, проектировщика и эксперта этого устройства состоит в том, как отреагирует устройство на такое внешнее воздействие и способно ли оно выполнять свои функции при подобных воздействиях. Устройство будем рассматривать как преобразователь входного сигнала, действующего на него, в выходной сигнал его функционирования (рис.8.8):

Рис.8.8.Схема преобразователя входных сигналов в выходные

Здесь один или несколько случайных сигналов объединяются в случайные вектора, входной X (t) и выходной Y (t) . Среди различного рода преобразова-

телей мы будем рассматривать один, но весьма обширный и важный класс линейных преобразователей Y (t) = L[ X (t)] . Линейный преобразователь (опера-

тор) обладает определенными свойствами:

L[ X1 ± X 2 ] = L[ X1 ] ± L[ X 2 ] ,

L[αX ] = αL[ X ] , α = const .

Каким образом нужно понимать операторы, и каким образом преобразуются характеристики входного процесса в характеристики выходного процесса? Для ответа на этот вопрос вспомним, что согласно теореме Пугачева любой случайный процесс может быть представлен в каноническом виде линейной

137

комбинации системы регулярных функций времени с коэффициентами – случайными величинами:

	∞
X (t) = mx (t) + ∑Vkϕk (t) .
	k =1
M [Vk ] = 0 ,	Kkl = M [Vk ×Vl ] = δkl , D[Vk ] = Dk ,
∞	∞
Kx (t, t') = ∑ Dkϕ(t) ×ϕk (t ') , Dx (t) = ∑ Dkϕk2 (t) .
k =1	k =1

Тогда оператор линейного преобразования дает выходной процессY (t) :

∞

Y (t) = my (t) + ∑Vkψ k (t) , my (t) = L[mx (t)] , ψ k (t) = L[ϕk (t)]

k =1

∞

K y (t, t') = ∑ Dkψ k (t) ×ψ k (t ') = Lt [Lt' [Kx (t, t ')]] .

k =1

Рассмотрим примеры основных линейных операторов:

1. Умножитель (усилитель или гаситель) Y (t) = cX (t) ,							c = const .
m	(t) = c × m (t) , K	y	(t, t') = c 2 × K	(t, t ') , D	y	= c2	× D
y	x	y	x		y		x

2. Сумматор X (t) = {X1 (t), X 2 (t),...}, Y (t) = c1 X1 (t) + c2 X 2 (t) + ... .

my (t) = c1 × mx1 (t) + c2 × mx 2 (t) + ...,

K y (t, t') = ∑ck

∑cl

× Kx (t, t ')

, Dy (t) = ∑ck2 Dxk (t)

k =1

l =1

k =1

3. Дифференцирующий оператор (спидометр)

Y (t) =

( X (t))

= Xɺ(t)

¶2

, Dy

(t, t) .

(t, t

) = Lt [L ' [Kx

(t, t )]] =

Kx (t, t )

(t) = K y

my (t) = mx (t) , K y

¶t¶t'

138

4. Интегратор (накопитель во времени) Y (t) = ∫ X (τ )dτ .

(t) =

(ζ)dζ , K

(t, t') =

(ζ,ζ')dζ ' dζ , D

(t) = K

(t, t) .

∫

∫ ¶ζ¶ζ'

∫

При стационарных процессах выше приведенные формулы существен-

но упрощаются, так как t' = t + τ,

Kx (τ),

K y (τ) .

Возможны различные линейные комбинации указанных операторов, например гармонический осциллятор, уже нам известный по главе 1.

Рассмотрим анализ линейного гармонического оператора при воздействии стационарного случайного сигнала X (t) . Оператор преобразовании для осциллятора будет:

Yɺɺ+ a1Yɺ + a0Y = X (t) ,

где Y (t) - случайная координата (смещение, угол, электрический заряд, … )

осциллятора, a1 , a0 - постоянные константы трения и жесткости в осциллято-

ре соответственно. Считаем, что начальных возмущений в осцилляторе нет. В этом случае образ Лапласа для осциллятора будет:

p Y + a1 pY + a0Y = X (t)

или

Y ( p) = G( p) × X ( p) ,

2 ˆ

G( p) =

p2 + a p + a p - p p - p

При постоянном сигнале

X (t) = c , X ( p) = c / p ,

Y (t) = c ×G(0) , а при гармониче-

ском X (t) = e

X ( p) = 1/( p - iω) ,

Y (t) = G(iω) ×e

iωt

Функция G( p)

- передаточная функция с полюсами p1 , p2 , а G(iω)

- час-

тотная функция осциллятора.

Пусть

g(t) -

оригинал для образа G( p) ,

тогда

решение будет:

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.34 Mб09840.pdf
#
25.11.20233.34 Mб09841.pdf
#
25.11.20233.34 Mб09842.pdf
#
25.11.20233.34 Mб09843.pdf
#
25.11.20233.34 Mб09844.pdf
#
25.11.20233.35 Mб09845.pdf
#
25.11.20233.35 Mб09846.pdf
#
25.11.20233.35 Mб09847.pdf
#
25.11.20233.35 Mб19848.pdf
#
25.11.20233.36 Mб09849.pdf
#
21.11.2023166.95 Кб0985.pdf