Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9807

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

циента	′	Таким образом,	уравнение касательной к графику
циента	k = f (x0 ) .	Таким образом,	уравнение касательной к графику
функции	y = f ( x) в точке M 0 (x0 , y0 )		имеет вид
		y − y0 =	′
		y − y0 =	f (x0 )(x − x0 ) ,
а уравнение нормали
		y − y0 = −		1	(x − x0 ) .

			′
			f	(x0 )

Под углом между кривыми в точке их пересечения естественно понимать наименьший из углов между касательными к кривым в этой точке. Тогда угол может быть вычислен как угол между двумя прямыми с заданными угловыми коэффициентами по формуле

tgϕ = k2 − k1 . 1 + k1k2

Вкачестве примера найдем, под каким углом пересекаются синусоида

икосинусоида. Задача сводится к нахождению значений производных

функций f1 (x) = cos x и f2 (x) = sin x		при x = π / 4 (см. рис. 18.3).
y	= cos x	y2 = sin x
y1	= cos x	y2 = sin x
1
		ϕ ≈ 700

π	π
4	2

Рис. 18.3

Вычисляем угловые коэффициенты касательных к заданным кривым в точке их пересечения

k	= f ′(x) \|	x=π / 4	= −sin( π) = −		2	,	k		= f ′(x) \|	x=π / 4	= cos( π) =		2	.
								2
1	1		4	2					2		4	2

Отсюда

tgϕ =	2	2 +	2	2	= 2		ϕ ≈ 700 .
						2

		1 − 0.5
	130

18.4. Правила дифференцирования. Непосредственное нахождение производных некоторых функций представляет собой трудоемкую задачу. Поэтому выведем правила дифференцирования, которые значительно упростят ее.

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций

(u(x) + v(x))′ = u′(x) + v′(x) .

Действительно, приращение суммы равно

y = u( x + x) + v( x + x) − u( x) − v( x) = u( x + x) − u( x) + v( x + x) − v( x) ,

т.е. y = u + v .	Следовательно,
y¢ = lim	Dy = lim	Du +	Dv	= lim	Du	+ lim	Dv	= u¢ + v¢,
x→0	Dx x→0	Dx	Dx	x→0	Dx	x→0	Dx

так как предел суммы равен сумме пределов и последние пределы существуют в силу предположения о дифференцируемости слагаемых.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции

′	′	′	(18.1)
(u(x)v(x))	= u(x)v (x) + v(x)u (x) .		(18.1)
Действительно, дадим приращение аргументу			x . Тогда сомножите-
ли получат приращения u и	v соответственно и приращение функции
равно

D y = (u + Du )(v + Dv) - uv = u × Dv + v ×Du + Du × Dv .

Следовательно,

′	= lim	y	u	v	+ lim	u	lim v .
y		x	= v lim	+ u lim		x
	x→0		x→0 x	x→0 x	x→0		x→0
Так как функция v( x) –		дифференцируемая, то она непрерывная, по-

этому последнее слагаемое в этой формуле равняется нулю и мы приходим к формуле (18.1).

В качестве следствия получим следующее правило: постоянный

множитель при дифференцировании выносится за знак производной

131

(cf (x))′ = cf ′(x) .

Применим это правило для нахождения, >производной0, , ≠ 1 логарифмической функции с произвольным основанием

(loga	x)¢ =	=	1	(ln x)¢ =	1	×	.
	ln x ¢		1		1		1

	ln a		ln a		ln a		x

Производная частного вычисляется по следующей формуле:

u ¢	=	u¢v - v¢u

		v	2
v

при условии, что знаменатель в данной точке не обращается в ноль. Действительно, выразим приращение частного через приращения делимого и делителя

y =

u +

−

u − u v

v + v

v (v + v)

v lim

u − u lim

′

Тогда

lim

x→0

u v − v u

lim v

(v +

x→0

Найдём, например, производную функции y = tg x

sin x ¢

(sin x)¢cos x - (cos x)¢sin x

sin2

x + cos2 x

(tg x)¢ =

cos

(x)

cos

cos x

Получите самостоятельно производную функции

y = ctg x .

132

Лекция 19. Производная (продолжение)

19.1. Дифференцирование сложной и обратной функций. Часто приходится находить производную так называемой сложной функции, представляющей собой «функцию от функции». Например,

x2 +1, sin(2x + 3), e− x2

или в общем виде

y = f (ϕ( x)) = F ( x) .

Эта функция представлена как суперпозиция (композиция) двух функций

	y = f (u),	u = u( x) ,
где «внешняя» функция	f (u) – дифференцируемая функция промежуточ-
ной переменной u , а «внутренняя» функция u ( x) –			дифференцируемая
функция независимой	переменной	x . Оказывается,	что производная

сложной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной

y′ = f ′(u(x))u′(x) .

x u

Это так называемое цепное правило доказывается следующим образом. Используя определение производной, получим


y¢	= lim	y = lim		y × lim		u .
x	x→0 D x		x→0 Du		x→0 D x

В силу непрерывности функции		u ( x) из условия				x → 0	следует, что
u → 0 . Отсюда вытекает указанная формула в предположении, что
Du ¹ 0.	u = u(x +		x) −u(x) = 0, т.е. u(x +				x) = u(x) то
Если же окажется, что
y = f (u(x + x)) − f (u(x)) = 0 . Значит,			′	= 0		′
			u (x)		и y (x) = 0 и формула
дифференцирования сложной функции			0 = fu′(u(x)) ×0 справедлива и в

этом случае. Далее, многие элементарные функции определены как обратные функции к другим функциям, например, y = arcsin x , y = ln x .

Возникает вопрос: нельзя ли найти производную обратной функции, зная производную исходной функции? Оказывается, можно. А именно, если

133

для функции y = f ( x) (например,

для

y = arcsin x )

существует обратная

функция x = ϕ( y) ( x = sin y ,

−π / 2 ≤ y ≤ π / 2 ),

которая в рассматриваемой

′

¹ 0 (в нашем примере,

cos y ), то в соот-

точке y имеет производную j ( y)

ветствующей точке

x функция y = f ( x) имеет производную,

вычисляе-

мую по правилу

¢(x) =

(19.1)

j¢( y)

в котором y = f ( x) .

В нашем примере

′

(arcsin x) =

′

cos y

− sin

1 − x

(sin y)

где знак « + » взят в силу того, что в промежутке −π / 2 ≤ y ≤ π / 2 , в котором обратная функция существует, cos y положителен.

Для доказательства формулы (19.1) продифференцируем равенство x = ϕ( y) по переменной x , применяя правило дифференцирования сложной функции (считая y функцией x ):

1 = x'y × yx' ,
откуда следует
y¢ =	1	.
y¢ =		.
x	x¢y
x
Геометрический смысл этой формулы виден из рис. 19.1
y	x = ϕ ( y)
y		y = f ( x)
β		y = f ( x)
α		x
		x
Рис. 19.1

Касательная к	кривой y = f ( x) образует с положительным направле-
нием оси Ox угол	α . Касательная к той же кривой x = ϕ( y) образует

угол β с положительным направлением оси Oy . Согласно геометриче-

скому смыслу производной f	′	′	α и β
скому смыслу производной f	(x) = tgα	и ϕ ( y) = tgβ. Но углы	α и β
	134

дополняют друг друга до π / 2 , поэтому

tga × tgb = 1 .

Это соотношение и

выражает формулу дифференцирования обратной функции.

Найдём производную показательной функции

y = a x , a > 0 . Обрат-

ная для неё функция

x = loga

y . Применяя формулу (19.1) имеем

′

)

= y ln a = a

ln a

′

1 1

(loga y)

ln a y

Применяя это правило, найдите самостоятельно производные функций

arccos x , arctgx .

Применим

формулу

производной показательной функции

(a x )′ = a x ln a для вывода производной степенной функции

(xα )′ = (eα ln x )′ = eα ln xα 1 = αxα−1 . x

19.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Касательная к параметрически заданной кривой. Получим теперь правило нахождения производной параметрически заданной функции. Та-

кая функция, например, возникает в задаче о траектории фиксированной точки M окружности радиуса r , катящейся без скольжения по оси Ox .

M	C
	r
	t K
O N	P

OP = MP = r t
x = OP − NP = r t − r sin t
y = r − KC = r − r cos t	x
	2π r

Рис. 19.2

Пусть в начальный момент точка M находится в начале координат. В качестве параметра возьмем угол t , на который повернется радиус окружности O1O , приняв положение CM . Выразим координаты точки M ( x, y) как функции параметра t . Из рисунка видно, что длина дуги MP

135

t → 0 .

ϕ(t )

равна длине отрезка OP и равна rt . Следовательно, из треугольника MKC найдём

x = r(t − sin t)		≤ t ≤ 2π .
	0	≤ t ≤ 2π .
y = r(1	− cos t)

Выбранные границы изменения параметра соответствуют одному обороту окружности. Таким образом, мы получили зависимость переменной y от переменной x , выраженную не явно, а через промежуточный параметр t . График этой зависимости представлен на рис. 19.2, а кривая называется циклоидой. Название циклоида означает: «напоминающая о круге». Его дал Галилео Галилей (1564–1642). Конечно, можно связать x и y непосредственно, исключив параметр t . Однако эта функция будет иметь достаточно сложный вид, поэтому возникает необходимость в нахо-

ждении производной y как функции переменной

x на основе параметри-

ческого задания функции.

Пусть функция y = f ( x) задана

Рассмотрим задачу в общем виде.

параметрически

x = ϕ (t)

α ≤ t ≤ β ,

=ψ

(t)

где функции ϕ(t ) и ψ (t ) –

дифференцируемы и функция ϕ(t ) имеет об-

ратную. Тогда по определению производной имеем

lim

′

x→0

t→0

ψt

yx = lim

′

x→0

lim

ϕt

x→0

t→0

Здесь мы использовали то, что в силу непрерывности обратной функции к из x → 0 следует

Задача. Получить уравнение касательной к циклоиде. Пусть окружность радиуса r = 1 совершила одну шестую часть оборота. Найдем уравнение касательной в соответствующей точке траектории. Одна шестая часть оборота окружности соответствует значению параметра t0 = π / 3 , а координаты точки:

x0 = x(t0 ) = (t − sin t)			t =π / 3 = π / 3 −		/ 2 ,	y0 = y(t0 ) = 1 − cost	t=π / 3 = 0,5 .
				3


Производную	′	находим как производную функции заданной пара-
	yx

метрически

136

	′		sin t	2sin t cos t								t
	′	=	sin t	=	2			2		= ctg		t
	yx	=	− cost	=				t		= ctg		2
		1	− cost		2sin		2	t				2
					2sin			2
								2	t0			π
					′				t0			π
В данной точке циклоиды она равна					′	= ctg					= ctg		=	3 . Поэтому
В данной точке циклоиды она равна					yx	= ctg				2	= ctg		=	3 . Поэтому
										2		6
уравнение касательной в этой точке y =							3x + 2 − π /					3 (см. рис. 19.2).
2.5	y=sqrt3*x+2-pi/sqrt3
2
1.5
1									x = t - sint
									y =1 - cost
0.5									0 < t < pi
0.5
		X: 0.18
		Y: 0.498
0
-0.5	0		0.5	1	1.5					2		2.5		3	3.5
-0.5	0		0.5	1	1.5					2		2.5		3	3.5

Рис. 19.3

19.3. Производная функции, заданной неявно. Касательная к неявно заданной кривой. Рассмотрим случай, когда функция задана неяв-

но. Пример такой функции y = f ( x) дается уравнением

x2	+	y2	= 1 ( y > 0 ).
a2		b2

Графиком этой функции служит верхняя половина эллипса. Покажем, как находить производную этой функции, не выражая явно y через x (для некоторых неявно заданных функций такое вообще невозможно). Продиффе-

ренцируем это уравнением по переменной							x , считая, что переменная y
является функцией x
1		1			′			b2 x
		2x +		2yy		= 0	y′ = −
	a2		b2
								a2 y
				137

	В общем случае неявно заданной функции нужно действовать анало-
гичным образом.
Задача. Получить уравнение касательной к эллипсу в точке M 0 ( x0 , y0 ) .
Уравнение касательной
					y − y			= − b2 x0 ( x − x					)
							0	a 2 y	0		0
									0
после умножения на				y0	примет вид				x0	x + y0				y = 1.
				b2					a2		b2
	Для эллипса		x2	+ y2	= 1	в точке			M	0	(3, 1.6)					уравнение касатель-
			25	4						0
			25	4
ной	3x + 10 y − 25 = 0			(см. рис. 19.4).
	3
			X: 0
			Y: 2.5
	2.5
	2						X: 3
							X: 3
							Y: 1.6
	1.5										3
											3
												x
													+
	1													1
	1													0
															y
																-
																2
				2		2										5=
				2		2											0
	0.5		1/25x + 1/4y					= 1									0
	0.5		1/25x + 1/4y					= 1
	0
	-0.5	0	1		2	3		4	5		6				7		8	9
	-1	0	1		2	3		4	5		6				7		8	9
								Рис. 19.4
	19.4. Логарифмическое дифференцирование. Применим метод на-
хождения производной неявно заданной функции к выводу производной
показательно-степенной функции вида

y = u(x)v( x) .

Прологарифмируем обе части этого равенства, опуская для краткости аргумент

ln y = v ln u .

Найдем теперь y′( x) как производную неявно заданной функции

138

y¢ = v¢ln u + v

u¢

и отсюда

′

v−1 ′

= u

+ vu

(v ln u + v u ) = u

ln u v

u .

Этот прием, называемый логарифмическим дифференцированием,

применим также для упрощения нахождения производных. Например,

( x +1)2

y =

x -1

ln y = 2ln ( x +1) +

ln ( x -1) - 3ln ( x + 4) - x,

( x + 4)3 ex

y¢

-1,

x +1

2( x -1)

x + 4

( x +1)2

y¢ =

x -1

-1

( x + 4)3 ex

( x +1)

2( x -1)

+ 4

19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования.

Сведём в одном месте формулы производных элементарных функций

				1	′							1					¢			1
				1	′							1					¢			1
(xα )¢ = axα−1,										= -				,	(	x ) =
												x	2
													2								x
				x												2					x
(sin x)′ = cos x,											(cos x)′ = − sin x
(tgx)′ =			1			,				(ctgx)′ = −						1
(tgx)′ =						,				(ctgx)′ = −						sin2 x
		cos2 x														sin2 x
(a rc s in x )′ =			1		,						(arccos x)′ = −									1				,
			1


1			− x 2																	1 − x2
(arctgx )′ =			1				,					(arcctgx)′ = −								1			,
			1																	+ x		2
																						2
	1 + x 2															1
(loga x)¢ =				1				×	1		,				(ln x)¢ =			1	,
(loga x)¢ =								×			,				(ln x)¢ =				,
				ln a						x								x
			139

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.25 Mб09802.pdf
#
25.11.20233.25 Mб09803.pdf
#
25.11.20233.25 Mб09804.pdf
#
25.11.20233.25 Mб09805.pdf
#
25.11.20233.25 Mб09806.pdf
#
25.11.20233.25 Mб09807.pdf
#
25.11.20233.25 Mб09808.pdf
#
25.11.20233.25 Mб09809.pdf
#
21.11.2023166.48 Кб0981.pdf
#
25.11.20233.25 Mб09810.pdf
#
25.11.20233.26 Mб09811.pdf