9805

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова

64 лекции по математике

Книга 1

( лекции 1–39 )

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекционным занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки

09.03.03 – Прикладная информатика

профиль – Прикладная информатика в менеджменте

Нижний Новгород

ННГАСУ

2018

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова

64 лекции по математике

Книга 1

( лекции 1–39 )

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекционным занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки

09.03.03 – Прикладная информатика

профиль – Прикладная информатика в менеджменте

Нижний Новгород ННГАСУ

2018

1

Содержание

Введение ……………………………………………………………… …………… 7

Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений Лекция 1. Введение в матричную алгебру

1.1.Основные понятия …………………………………………………………. 9

1.2.Сложение матриц и умножение на число …………………………………. 10

1.3.Умножение матриц ………………………………………………………….. 10

1.4.Матрицы и линейные преобразования …………………………………….. 11

Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц

2.1.Системы двух уравнений с двумя неизвестными ………………………… 15

2.2.Системы трех уравнений с тремя неизвестными ………………………... 18

Лекция 3. Системы и определители матриц n -го порядка

Раздел 2. Векторная алгебра Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними

Лекция 6. Линейная комбинация векторов. Системы координат

6.1. Линейная комбинация векторов …………………………………… .. 42

6.3. Декартова система координат……………………………………………….. 45 6.4. Полярная система координат ………………………………………………...46

Лекция 7. Скалярное произведение

7.1.Скалярное произведение двух векторов …………………………………. 48

7.2.Скалярное произведение в прямоугольных координатах ………………...51

7.3.Деление отрезка в заданном отношении ……………………………………52

Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов

8.1. Векторное произведение ………………………………………………….. 54 8.2.Смешанное произведение …………………………………………………… 58

Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости Лекция 9. Прямая линия на плоскости

9.1.Общее уравнение прямой …………………………………………………... 64

9.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом …………………………... 65

9.3. Параметрические и канонические уравнения прямой …………………… 66

Лекция 10. Задачи, связанные с прямыми на плоскости

10.1.Взаимное расположение двух прямых ……………………………………. 68

10.2.Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми ……..72

3

10.3. Расстояние от точки до прямой ……………………………………………. 72 10.4 Линейные неравенства ……………………………………………………... 74

Лекция 11. Плоскость

11.1.Различные виды уравнения плоскости …………………………………... 76

11.2.Взаимное расположение двух плоскостей ………………………………. 80

11.3.Расстояние от точки до плоскости ………………………………………. 82

Лекция 12. Прямая линия в пространстве

12.1. Различные виды уравнений прямой ……………………………………… 84

12.2.Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве …………………………. 88

12.3.Пересечение прямых в пространстве ……………………………………. 89

12.4.Расстояние между двумя прямыми ……………………….......................... 91

Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление Лекция 15. Функция

15.1.Функция и способы её задания ………………………………………….. 104

15.2.Обратная функция ………………………………………………………... 105

15.3.Предел последовательности ……………………………………………... 107

Лекция 16. Свойства пределов. Второй замечательный предел

16.1. Свойства сходящихся последовательностей …………………………... 109

Лекция 17. Предел функции. Непрерывность

Лекция 18. Производная

18.1. Физический, геометрический и математический смысл производной .. 126

Лекция 19. Производная (продолжение)

19.1.Дифференцирование сложной и обратной функций ………………….. 133

19.2.Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Касательная к параметрически заданной кривой …………………….. 135 19.3. Производная функции, заданной неявно.

Касательная к неявно заданной кривой ……………………………….. 137

19.4.Логарифмическое дифференцирование ……………………………….. 138

19.5.Сводка формул производных и правил дифференцирования ……….. 139

Лекция 20. Вектор-функция

20.1. Вектор-функция и её задание …………………………………………. 142

20.2.Предел, непрерывность и производная вектор-функции …………….. 143

20.3.Уравнения касательной к пространственной кривой и

4

уравнение нормальной плоскости …………………………………….. 145

Лекция 21. Дифференциал

21.1. Дифференциал функции ……………………………………………….. 148 21.2. Правило Лопиталя ……………………………………………………… 152

Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков

Лекция 23. Исследование функций и построение их графиков

(продолжение)

Лекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений

Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 25. Линии второго порядка

25.1. Эллипс ……………………………………………………………………… 177 25.2. Гипербола ………………………………………………………………… 179

Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду

26.1. Парабола ……………………………………………………………………183

26.2. Вырожденные случаи …………………………………………………… 184 26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду 185

Лекция 27. Поверхности второго порядка

27.1. Цилиндрические поверхности ………………………………………… 193 27.2. Поверхности вращения ……………………………………………………195

Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей

второго порядка

28.1. Эллипсоиды…………………………………………………………………… 197 28.2. Гиперболоиды…………………………………………………………………..200 28.3. Конусы………………………………………………………………………… 203 28.4. Параболоиды………………………………………………………………….. 204

Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление

Лекция 29. Неопределенный интеграл

29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл ……………… 207 29.2. Интегрирование методами подстановки и замены переменной …… 211

Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)

5

Лекция 31. Комплексные числа

31.1.Введение ………………………………………………………………… .. 220

31.2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел …………………. 221

31.3.Тригонометрическая форма комплексного числа ……………………... 221

31.4.Операции над комплексными числами …………………………………. 222

Лекция 32. Решение алгебраических уравнений

32.1.Извлечение корня из комплексного числа ……………………………… 226

32.2.Квадратное уравнение …………………………………………………… 228

32.3.Разложение многочлена на множители ………………………………… 229

32.4.Разложение на простые дроби и интегрирование дробно-рациональных функций ………………………………………….. 230

Лекция 33. Определённый интеграл

33.1.Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ………….. 232

33.2.Понятие определённого интеграла ……………………………………... 233

33.3.Основные свойства определённого интеграла………………………….. 234

Лекция 34. Вычисление определённого интеграла

Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла

35.1.Объём тела с известной площадью поперечного сечения …………….. 246

35.2.Вычисление объёмов тел вращения ……………………………………..... 247

35.3. Несобственные интегралы ………………………………………………. 248

Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Лекция 36. Функции многих переменных

36.1.Понятие функции двух переменных …………………………………….. 253

36.2.Предел и непрерывность функции двух переменных …………………. 254

36.3.Частные производные, производная по направлению ………………… 256

Лекция 37. Производные сложных функций

37.1.Дифференцирование сложных функций ………………………………… 260

37.2.Вычисление производной по направлению …………………………….. 261

37.3.Дифференцирование неявных функций …………………………………. 262

37.4.Градиент …………………………………………………………………… 262

37.5.Касательная плоскость и нормаль к поверхности ……………………… 266

Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух

переменных

38.1.Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал ….. 269

38.2.Производные и дифференциалы высших порядков ……………………. 272

6

Даже плавая на поверхности океана знаний, можно достичь его глубин.

Френсис Бэкон

Введение

Лекции написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета (ННГАСУ) для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Общий объем материала ограничивался количеством часов, которое отводится изучению математики современными образовательными стандартами этих специальностей, а его «глубина» определялась педагогическим опытом авторов. Лекции изданы в двух книгах, которые содержат материал, излагаемый в ННГАСУ на первом и втором курсах соответственно. По стилю изложения и по структуре это действительно лекции: весь материал разбит на части, излагаемые примерно за полтора часа и расположенные в том порядке (не единственно возможном), который соответствует читаемому в ННГАСУ курсу. Лекции включают в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений, теории рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.

Следует заметить, что существующие классические учебники математики достаточно сложны для студентов нематематических специальностей, а учебные пособия, появившиеся в последнее время, носят, как правило, справочный характер: в них формулируются определения и приводятся соответствующие формулы для вычислений. По мнению авторов, сейчас востребована учебная литература, которая в доступной форме раскрывает содержание основных математических понятий и методов, сочетая математическую строгость и простоту изложения. В соответствии с этим основная задача, которую ставили перед собой авторы, – повысить общую математическую культуру студентов, обучить их простейшим навыкам математического моделирования, развить умение устанавливать причинно-следственные связи и рационально мыслить. Это как раз то,

что требуется для эффективной деятельности в любой сфере.

Усилия авторского коллектива распределялись следующим образом: доцент В.П. Важдаев и профессор М.М. Коган написали лекции по алгебре, геометрии, функциям одной и нескольких переменных, дифференциальному и интегральному исчислениям, дифференциальным уравнениям, рядам Фурье (лекции 1–24, 29–48, 60, 61), доцент М.И. Лиогонький – по криволинейным интегралам, теории рядов, элементам математической логики, теории множеств и теории графов (лекции 54–59, 62–64), доцент Л.А. Протасова – по кривым и поверхностям второго порядка, кратным инте-

7

гралам (лекции 25–28, 49–53). Рисунки к лекциям выполнили В.П. Важдаев, М.И. Лиогонький, Г.Л. Пугач (кривые и поверхности второго порядка, кратные интегралы). Общее редактирование лекций осуществили В.П. Важдаев и М.М. Коган. Авторы будут благодарны за любую (положительную или отрицательную) «обратную связь» (например, по электронной почте mkogan@nngasu.ru).

8

Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений

Лекция 1. Введение в матричную алгебру

Теорию матриц можно справедливо считать арифметикой высшей математики.

Ричард Беллман (1920-1984 гг.)

Матрицы широко применяются в различных разделах математики, физики и других дисциплинах; они находят широкое применение при исследованиях экономических проблем. В матричной записи легко и наглядно обнаруживаются те или иные особенности решаемой задачи, а теория матриц дает инструмент для ее эффективного решения.

1.1. Основные понятия. Таблица чисел вида

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей A размера (m × n)

(читается « m » на « n »). Числа m и n не обязаны быть одинаковыми. Если m = n , то матрица называется квадратной, а число n называют её порядком. Более компактная форма записи матрицы имеет вид

Понятие равенства двух матриц естественно вводится для матриц одинаковых размеров. Две матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы:

A = B || aij ||=|| bij || aij = bij , i, j ,

где символ означает «тогда и только тогда», а читается «для всех».

9