9743

Парабола

Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной

точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется

параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы

принято обозначать через p (рис. 5.3). Величину p называют

фокальным параметром параболы.

Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Координаты произвольной точки M параболы обозначим x

перпендикуляра, опущенного из M на директрису. Поскольку Q

50

является частным случаем уравнения второго порядка. Оно

получается из (5.1) при

Уравнение (5.4) содержит переменную y только в чётной

степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси

Ox . Так как p > 0 , то переменная x должна быть

неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа

симметрично относительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 5.3). Ось симметрии параболы (в

данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью.

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её

вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат).

области, ограниченной параболой.

Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким

геометрическим случаям, называемым вырожденными.

Вырожденные случаи

Если в уравнении линии второго порядка (5.1)

A > 0,С > 0, F > 0 , то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

52

§6. Приведение уравнения линии второго порядка к

каноническому виду

Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (5.1). В

задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид

уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ) или переменные x и y без

квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к

какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение.

После этого легко будет построить график заданной кривой.

Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования

системы координат, которые не изменяют расстояния между

точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Разберём далее, что происходит с уравнениями при параллельном переносе координат.

Параллельный перенос осей координат

Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат xOy . Выберем начало вспомогательной системы координат в точке Oў(x0 ; y0 ). Оси Oўxў и Oўyў расположим

параллельно соответствующим осям Ox и Oy , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xOy к системе Oўxўyў называется параллельным переносом осей координат.

53

Рис. 6.1

Для произвольной точки M координаты относительно

исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям обозначим (xў; yў). Поскольку имеет

место векторное равенство OM = OOў+ OўM (рис. 6.1), то можно записать в координатах

Пример. Какой вид приобретёт уравнение прямой y = 3x - 1

в новой системе координат, если совершается параллельный перенос осей координат к новому началу Oў(1;2)?

54

Видим, что после параллельного переноса уравнение может упроститься (а может и усложниться). Важно правильно выбирать новое начало координат.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение

(x - 1)2 + (y + 3)2 = 4 . Построить кривую, заданную этим

уравнением.

Решение. Ясно, что полезен параллельный перенос

м

пп xў= x- 1 .

н

ппyў= y + 3

о

Уравнение xў2 + yў2 = 4 определяет окружность радиуса 2 с

центром в начале координат Oў(1;- 3). На рисунке 6.2 отражено

построение, соответствующее такому преобразованию.

Ответ: xў2 + yў2 = 4.

y y′

Рис. 6.2

55

Пример. Привести к каноническому виду уравнение:

x2 + 2x + 4 y2 - 16 y = 8 .

Решение. Здесь потребуется сначала выделить полные

Тогда после параллельного переноса, задаваемого формулами

Получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 5

O′ 2

x′

−1 O

x

Рис. 6.3

56

Классификация кривых второго порядка

Если исходное уравнение кривой второго порядка вида (5.1)

содержит произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ), то для приведения его к каноническому виду используется поворот системы координат (мы его здесь не рассматриваем).

Если же в уравнении (5.1) присутствуют переменные x и y

без квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ), то выполняется параллельный перенос осей координат для того, чтобы уравнение в новой системе координат приобрело канонический вид. Этих преобразований достаточно для решения поставленных задач.

Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их произведение.

Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно,

отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа. Тогда получаем классификацию:

57

I. Эллиптический тип:

III. Параболический тип:

6)y2 = 2 px (парабола),

7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),

8)y2 = 0 (прямая),

9)y2 = - a2 (пустое множество).

Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если,

например, в нём B ¹ 0 . Оказывается, по исходным

коэффициентам уравнения (5.1), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:

xy = 3 .

Решение. В заданном уравнении A = C = 0, 2B = 1. Так как

AC − B2 = − 14 < 0 , оно задаёт линию гиперболического типа, В

этом случае для построения можно пользоваться привычной записью уравнения гиперболы в виде y = 3x (x ¹ 0) .

Ответ: уравнение задает кривую гиперболического типа.

Итак, чтобы разобраться с построением линий по уравнению второго порядка (5.1), нужно сначала определить тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводят уравнение к каноническому виду, выполняя соответствующие преобразования координат.

§7. Поверхности второго порядка

Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение. Уравнение вида