9714

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

cos(ÐBO C) =

» 0.65 ÐBO C » arccos 0.65 » 49O

cos(ÐBO C) =

» 0.65 ÐBO C » arccos 0.65 » 49O

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 296 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

[Введите текст]

Введём декартову систему координат, взяв за начало точку A и вы-

R R º

брав базис {e1,e2} {0.5AB, AD} (см. рис.7.3). Пусть длины базисных векторов для определённости равны единице.

D C

Рис. 7.3

В этом базисе диагонали параллелограмма имеют разложение

R	R	,	R	R
d1 = DB = 2e1	- e2	,	d2 = AC = 2e1	+ e2 .

Искомые величины выражаются через скалярное произведение

cos(ÐBO C) =	< d1	, d2	>		R		=	< d1, d	2	>
				ПрR	d
	R	R	,					R		.
1	\| d1 \|	× \| d2 \|		d2		1		\| d2	\|

Вычисляем скалярное произведение, применяя более компактное по написанию обозначение

d1 × d	R	R	R	R	R	R	R	R	= 3.
d1 × d	2 = (2e1	- e2 ) × (2e1		+ e2 ) = 4e1		× e1	- e2	× e2	= 3.

Модули векторов вычисляем по формуле (7.1):

| d1 |=

Итак,

R		R
R		R					R	R
d	× d		=				R	R
d	× d		=			(2e		- e )2
1		1					1	2
R
R		\|=				R		R	=
\| d						R		R
\| d	2			(2e			+ e )2
	2				1			2
		R	=		< d1, d2 >				=
		R			< d1, d2 >
		R					R
Прd2 d1							\| d2 \|
							\| d2 \|

R R

= 5 - 4cos60O = 3

4e 2

- 4e e

+ e 2

R R

5 + 4cos60O = 7 .

4e e

+ e 2

»1.13

[Введите текст]

7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах. Вы-

разим скалярное произведение через координаты его сомножителей. Пусть задана декартова прямоугольная система координат с ортонормированным

R R		R	ax , ay , az } и	b = { bx ,by ,bz } . Тогда,
базисом { i , j, k } и два вектора		a = {
учитывая свойства скалярного произведения, получим
R	R	R	R	j + bz k > =
< a,b > = < axi + ay j + az k , bxi + by

= axbx < i , i > + axby < i , j > + axbz < i , k > +

+ aybx < j ,i > + ayby < j , j > + aybz < j , k > +

+ azbx < k , i > + azby < k , j > + azbz < k , k > =

= axbx + ayby + azbz .

Итак, скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат сомножителей:

R	+ ayby	+ azbz .
< a,b > = axbx

Теперь мы в состоянии выразить полученные выше формулы для модуля вектора, проекции вектора на вектор и угла между векторами в координатах данных векторов. А именно,

R R

> =

a2 + a

+ a2

= < a, a

axbx + ayby + azbz

< a,b

Прb

| b |

bx2 + by2 + bz2

axbx + ayby + azbz

cos j

< a,b >

ax2 + ay2 + az2

bx2 + by2 + bz2

| a |

×| b |

В частности, условие ортогональности двух векторов выражается через их координаты следующим образом:

axbx + ayby + azb = 0 .

[Введите текст]

Продемонстрируем, как в декартовой системе координат решаются некоторые задачи.

7.3. Деление отрезка в заданном отношении: найти координаты точки

C(x, y, z), которая делит отрезок, соединяющий точки

A(x1, y1, z1)

и B(x2 , y2 , z2 )

(внутренним или внешним образом), в отношении

λ (см. рис. 7.4).

Рис. 7.4

Для её решения отметим, что

векторы

AC = {x − x1, y − y1,

z − z1} и

CB = {x2 − x,

y2 − y, z2 − z} коллинеарны, то есть AC = λ CB . Запишем это

векторное равенство в координатах:

x − x1 = λ (x2 − x) ,

y − y1 = λ ( y2 − y) ,

z − z1 = λ (z2 − z) ,

откуда найдем координаты точки

x =

x1 + λ x2

, y =

y1 + λy2

, z =

z1 + λz2

1 + λ

Покажем в заключение этого раздела, как векторная алгебра объясняет действие так называемого уголкового отражателя, представляющего собой комбинацию из трёх взаимно перпендикулярных зеркал. Многочисленные применения этого прибора связаны с его способностью менять направление света на строго противоположное независимо от того, с какого направления свет на него падает. Пусть луч света сначала попадает, например, на плоскость xOy и направляющий вектор этого луча a = {ax , ay , az }. Спрашивается, каков будет направляющий вектор a1 для

отражённого луча? Оба эти вектора одинаковой длины и расположены в плоскости, перпендикулярной к плоскости xOy . Очевидно, что у направляющего вектора отражённого луча третья проекция сменит знак, а первые две проекции останутся прежними, т.е. a1 = {ax , ay , −az } (см. рис. 7.5).

[Введите текст]

z	y
	a	az
	a
	a1
	−az
O
		x
	Рис. 7.5

Таким образом, отразившись от трёх координатных плоскостей, луч света

будет иметь направление, противоположное	первоначальному
a3 = {−ax , −ay , −az } = −a .

Следующий рисунок иллюстрирует «работу» уголкового отражателя на конкретном примере.

2.5

1.5

0.5

0
0		1
1		2
2		2
	3	3
	4	3
	4

Рис. 7.6

Уголковые отражатели применяются для точного измерения расстояний, обеспечения безопасности движения транспорта и в военном деле.

[Введите текст]

Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов

8.1. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением

векторов a

и b

называется вектор

´ b ]

= [a

или просто c

= a ´ b такой,

что:

^ b

c a и c

правоориентированная

упорядоченная тройка векторов {a,b , c}

×sin j, где ϕ –

угол между векторами.

Упорядоченная тройка векторов называется правоориентированной или правой, если после приведения их к общему началу с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае – тройка называется левоориентированной или левой. При перестановке местами любых двух векторов или при замене одного из векторов на противоположный тройка меняет ориентацию.

c	c
b	a

Рис. 8.1

С этим расположением векторов a , b , c связаны правоориентированная и левоориентированная декартовы прямоугольные системы координат.

k	k
j	i
i	j
i

Рис. 8.2

[Введите текст]

Обратим внимание на то, что значение модуля векторного произве-

дения

R	=	R	×	R	× sin j
c	=	a	×	b	× sin j

равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах

Рис. 8.3

В механике с помощью этой операции вычисляется момент силы. Пусть, например, O – одна неподвижная точка некоторого тела, к другой точке A которого приложена сила F . Момент этой силы относительно неподвижной точки выражается векторным произведением M = OA ´ F , а его модуль равен M =| F | ×| OA | sin j =| F |d – « произведению силы | F |

на плечо d =| OA |sin j».

M		* +
M
	Мест	d	+
	Мест
	d

Рис. 8.4

Рассмотрим основные свойства операции векторного произведения. Во-первых, эта операция позволяет выяснить коллинеарны или нет два заданных вектора. А именно, векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю

R		R	× b = 0 .
a \|\| b		a

[Введите текст]

Действительно, это следует из равенства	R	R
	\|a ´ b \|=\| a \| × \| b \| sin 0 = 0 .
Что произойдет, если в векторном произведении		R	R
		c	= a × b переста-
вить местами сомножители, т.е. что собой представляет вектор				R
				d = b × a ?
Очевидно, что вектор d перпендикулярен векторам		a и	b ,	его модуль

	R R	стала левой, а, значит, тройка
равен модулю вектора c , но тройка {b , a, c}		стала левой, а, значит, тройка
R R		R	или	R	R
{b , a, -c} будет правой. Таким образом,	d = −c		или	[a	× b ] = −[b × a ] .

d	a

Рис. 8.5

Умножение одного из сомножителей векторного произведения на число приводит к умножению результата на это число, т.е.

R	R	R	´ b ] .
[ ka	´ b ] = [ a	´ kb ] = k [a	´ b ] .

В выражениях, содержащих векторное произведение и сложение, скобки «раскрываются» так же, как и при обычном умножении и сложении, т.е.

R	R	R	R	R	] .
[(a	+ b) × c	] = [a	× c	] + [b × c	] .

Как найти векторное произведение, если его сомножители заданы своими координатами? Пусть векторы a и b в ортонормированном бази-

се векторов {i , j , k },	образующих правую тройку, имеют следующее раз-
ложение:
R	= axi + ay j + az k , b = bxi + by j + bz k .
a	= axi + ay j + az k , b = bxi + by j + bz k .

Вначале приведем таблицу векторного умножения базисных векторов, где в левом столбце находится первый сомножитель, в верхней строке – второй, а на пересечении строки и столбца соответствующее произведение.

[Введите текст]

Таблица 1. Вычисление векторного произведения координатных ортов в

правоориентированной системе координат

×	i		j	k

i	0	k		- j

j	- k	0		i

k	j	- i		0

Теперь, используя эту таблицу и приведенные выше правила раскрытия скобок, получим:

R	× b ] = [ ( ax i	+ a y j + az k ) × ( bx i + by j + bz k )] =
[a

= axbx [i × i ] + aybx [ j × i ] + azbx [k × i ] + +axby [i × j ] + ayby [ j × j ] + azby [k × j ] +

+axbz [i × k ] + aybz [ j × k ] + azbz [k × k ] =

=i (aybz − azby ) − j (axbz − azbx ) + k (axby − aybx ) =

ay az

−

ax ay

= i

+ k

Чтобы запомнить, как вычисляются координаты векторного произведения, заметим, что

		R	R	R
		R	R	R
R	R	i	j	k
R	R	ax	ay	az
[a	× b] =	ax	ay	az	,
		bx	by	bz

где в правой части равенства стоит символический определитель, раскрывая который по элементам первой строки, получим приведенное выше выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Такое представление векторного произведения позволяет обнаружить те его свойства, о которых говорилось выше. Например, при смене порядка сомножителей в определителе поменяются местами две строки, что приводит

[Введите текст]

к смене знака определителя, а, значит, к смене знака векторного произведения. Любознательный читатель может таким образом проверить справедливость и других свойств векторного произведения.

Полученное выражение векторного произведения через координаты сомножителей дает возможность вычислить площадь треугольника по координатам его вершин

A( x1 , y1 , z1 )

C ( x3 , y3 , z3 )

B( x2 , y2 , z2 )

Рис. 8.6

Образуя какую-нибудь пару векторов, например,

R	= AB = { x2	− x1 , y2 − y1, z2 − z1} = { a1, a2 , a3} и
a

b = AC = { x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1} = { b1 , b2 , b3}

найдём

S =

| a

× b

a a a

| .

8.2. Смешанным произведением векторов			a , b , c называется чис-
ло, равное
R		R	(8.1)
< a	× b,c > ,
	R	× b , а затем он умножается скалярно на
т.е. сначала находится вектор d = a

вектор c . Поэтому смешанное произведение иногда называют векторноскалярным произведением векторов. Отметим, что смешанное произведение выражается через скалярное и векторное произведения и не является какой-то «новой» операцией над векторами. Как мы сейчас увидим, знак смешанного произведения говорит о взаимной ориентации данных трех векторов (правую или левую тройку они образуют), а его модуль дает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

[Введите текст]

Действительно, рассмотрим рисунки с правой и левой тройками векторов


d		c
	θ		b

a
	d

Рис. 8.7

R R

Из рисунков видно, что в случае правой тройки {a,b , c} вектор образует с вектором c острый угол θ , а в случае левой тройки – тупой. С учетом того, что

R	R	R	\| cos q ,
< a	´ b,c	> = \| d \| × \| c	\| cos q ,

= R × d a b

этот угол

мы получим, что в первом случае знак смешанного произведения будет положительным, а во втором – отрицательным. Таким образом, знак смешанного произведения «говорит» о взаимной ориентации тройки векторов

впространстве.

Ачто означает равенство нулю смешанного произведения? Очевидно, что это будет тогда и только тогда, когда cos θ = 0 , т.е. θ = π / 2 и, сле-

довательно, вектор c должен лежать в плоскости векторов a и b . Итак, обращение в нуль смешанного произведения эквивалентно компланарности данной тройки векторов.

- *

Рис. 8.8

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 296 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023166.03 Кб0971.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09710.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09711.pdf
#
25.11.20233.14 Mб19712.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09713.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09714.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09715.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09716.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09717.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09718.pdf
#
25.11.20233.14 Mб09719.pdf