9703
.pdf[Введите текст]
Теперь, что касается модуля смешанного произведения. Рассмотрим рисунок
R |
× b |
|
a |
c |
|
|
|
θ h b
ϕ
a
Рис. 8.9
и запишем
R |
R |
R |
R |
|< a |
´ b , c |
>| = | a | × | b | × | sin j | × | c | × | cos q | = S h = V |
гдеV – объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c .
Итак, смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Нам осталось только научиться вычислять смешанное произведение векторов, заданных своими координатами. Пусть
R |
= {ax , ay |
, az } , b |
= |
{bx ,by |
,bz |
} , с = {cx ,cy ,cz }. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R |
|
R |
R |
= |
i |
|
|
|
|
|
j |
|
|
k |
|
R |
|
|
ay |
az |
|
|
R |
|
a |
|
|
a |
|
|
R |
|
ax |
ay |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
d = a |
× b |
x |
|
y |
|
z |
|
= i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− j |
|
|
x |
|
|
z |
|
+ k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
bx |
|
bz |
|
|
|
|
bx |
by |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
by |
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
R |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||||
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
− |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
> = |
||||||||||||||||
|
< d , c |
> = < i |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
j |
|
|
x |
|
|
z |
|
|
+ k |
|
|
x |
|
y |
|
, cxi |
+ cy j |
+ cz k |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
by bz |
|
|
|
|
|
bx bz |
|
|
|
|
|
bx by |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= c |
|
a2 |
|
a3 |
|
− c |
|
a1 |
|
|
a3 |
|
+ c |
|
a1 |
|
|
a2 |
|
= |
|
ax |
|
|
ay |
az |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b b b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
b b |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
b b |
|
|
3 |
|
b b |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
cx |
|
|
cy |
cz |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Введите текст]
Итак, мы получили выражение смешанного произведения через координаты сомножителей
|
R |
R R |
> = |
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
||
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|||||
|
< a |
× b,c |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
R |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
||
Следовательно, объём параллелепипеда, построенного на векторах |
, b |
, |
||||||||||
a |
||||||||||||
R |
вычисляется по фор муле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V =| |
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
| . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
|
|
|
|
Часто возникает задача вычисления объема пирамиды по координатам ее вершин. Сведем эту задачу к вычислению объема параллелепипеда. Для этого разделим параллелепипед диагональным сечением на две равновеликих призмы
c
b
a
Рис. 8.10
В свою очередь каждую из полученных призм можно разделить на три равновеликих пирамиды.
Рис. 8.11
61
[Введите текст]
Таким образом, объем пирамиды равен 1/ 6 от объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах, т.е.
|
= |
1 |
|
a1 |
a2 |
a3 |
| . |
|
V |
| |
b |
b |
b |
||||
|
||||||||
пир |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
|
||
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
|||
|
|
|
|
|
В заключение этой темы обратимся к геометрической интерпретации однородных систем линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Одно из её решений очевидно. Это нулевое решение. Его называют тривиальным. Естественно возникает вопрос о существовании других решений. В «солидных» курсах алгебры доказывается, что для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно, чтобы определитель системы однородных уравнений был равен нулю. Это утверждение становится очевидным (в трёхмерном случае), если сформулировать задачу на «языке» векторной алгебры.
Действительно, так как линейное уравнение вида a1x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0
означает, |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= {a1, a2 , a3} и |
|
что скалярное |
|
произведение |
векторов |
a |
|||||||
R |
= {x1, x2 |
, x3} равно нулю, т.е. они ортогональны, то решить систему |
|||||||||
x |
|||||||||||
|
|
a x + a x + a x = 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
b1x1 |
+ b2 x2 |
+ b3 x3 = 0 |
(8.2) |
|
|
||||
|
|
c x + c x + c x = 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
это, значит, найти такой вектор |
R |
= {x1, x2 , x3} , который был бы перпенди- |
|||
x |
|||||
кулярен к трём векторам |
|
|
|
|
|
R |
, a2 |
, a3} |
|
R |
= {c1 ,c2 ,c3} . |
a = {a1 |
, b = {b1 ,b2 ,b3} , c |
Очевидно, что такой ненулевой вектор x существует тогда и только тогда,
R R |
лежат в одной плоскости, то есть они компланарны. |
|||||
когда векторы a, b, c |
||||||
А равенство нулю определителя этой системы |
||||||
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
= 0 |
|
|
|
||||
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
|
и есть условие компланарности этихвекторов.
62
[Введите текст]
Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости
Лекция 9. Прямая линия на плоскости
Любая точка на плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел – ее декартовыми координатами. Также и вектор на плоскости задается парой своих декартовых координат. В этой и ближайших лекциях мы получим аналитические представления для таких геометрических объектов, как прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве.
9.1. Общее уравнение прямой.Пусть на плоскости с декартовой прямоугольной системой координат проведена прямая L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой прямой.
y
|
|
|
L |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
M |
|
|
|
|
x |
|
|
|
O |
|
|
|
|
Рис. 9.1 |
|
Для этого зафиксируем какую-нибудь точку |
M 0 ( x0 , y0 ) L и возьмем век- |
|||
тор N = { A, B } , перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к этой |
||||
прямой L . Очевидно, |
что для произвольной точки M (x, y) L векторы |
|||
|
|
= { x − x0 ; y − y0 } |
и N перпендикулярны, т.е. их скалярное произве- |
|
|
M 0 M |
дение обращается в ноль < N, |
M0M |
> = 0 или в координатах |
|
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 |
(9.1) |
||
Таким образом, уравнение |
(9.1) – уравнение прямой L , проходящей че- |
рез заданную точку M 0 ( x0 , y0 ) перпендикулярно заданному вектору
N = { A, B } .
Раскрывая в (9.1) скобки, получим уравнение
Ax + By + C = 0 , |
(9.2) |
|
63 |
[Введите текст]
где для краткости обозначено C = − Ax0 − By0 .
Уравнение (9.2) называют общим уравнением прямой на плоскости. Обратим внимание, что уравнение прямой на плоскости является линейным уравнением относительно переменных x и y , а коэффициенты при
них – соответствующие координаты нормального к этой прямой вектора
N = { A, B } .
Обратно, покажем, что уравнение вида (9.2) определяет прямую на плоскости и построим эту прямую. По данным числам A и B образуем вектор N = { A, B } и введём вектор r = { x, y } . Тогда уравнение (9.2) мож-
но представить в виде < |
|
R |
|
R |
= −C . Отсюда |
N , r |
> +C = 0 или| N | ПрNR r |
||||
|
|
|
R |
= −C | N |, |
|
|
|
|
Пр NR r |
|
|
т.е. все радиус-векторы |
R |
= |
{ x, y } , |
координаты которых удовлетворяют |
|
r |
уравнению (9.2), имеют одну и ту же проекцию на фиксированный вектор
N = { A, B } . Это означает, что точки |
M( x, y ) принадлежат прямой, пер- |
|||||||
пендикулярной вектору N = { A, B } и отстоящей от начала координат на |
||||||||
расстояние | p |, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
p = − |
C |
= − |
|
C |
|
. |
||
R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
| N | |
|
|
A2 |
+ B2 |
|
|
Отсюда следует алгоритм построения прямой по заданному уравнению (9.2). Через начало координат проведем прямую в направлении вектора
N = { A, B } и отложим |
на ней от начала координат отрезок длиной |
N = { A, B } в направлении |
вектора N = { A, B } , если p > 0 , или в проти- |
воположном направлении, если p < 0 . Через конец P этого отрезка проводим перпендикулярно ему требуемую прямуюL .
y
N
P
p
|
M( x, y) |
x |
|
|
|
O |
L |
|
|
|
Рис. 9.2
64
[Введите текст]
Построение прямой производится гораздо проще, если воспользо-
ваться так называемым уравнением прямой в отрезках
x |
+ |
y |
= 1, |
(9.3) |
a |
|
|||
|
b |
|
где (a,0) и (0,b) – точки пересечения прямой L с осями абсцисс и ординат, соответственно.
Действительно, из (9.2) следует Ax + By = −С и далее, предполагая, что A ¹ 0, B ¹ 0,C ¹ 0 (т.е. прямая не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям) и разделив обе части этого уравнения на
−C , получим уравнение (9.3), в котором a = − C и b = − C величины от-
|
A |
A |
резков, которые прямая «отрезает» |
от осей координат (см. рис. 9.3). |
|
|
y |
|
|
|
L |
|
b |
|
|
|
x |
a |
O |
|
Рис. 9.3
9.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Иногда уравне-
ние прямой удобно представить в другом виде. Пусть прямая L пересекает ось ординат в точке (0,b) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол α , тангенс которого обозначим через k = tgα .
|
y |
|
L |
|
|
|
|
|
b |
α |
y − b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
x |
α |
|
|
O
Рис. 9.4
65
[Введите текст]
Из рисунка следует, что для любой точки M (x, y) L выполняется равенство
y − b = tga = k , x
из которого следует уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = kx + b . |
(9.4) |
Пусть точка M 0 ( x0 , y0 ) L , тогда y0 = kx0 + b . |
Выражая отсюда b и |
подставляя в (9.4), получим уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через заданную точку, в виде
y = y0 = k (x − x0 ) . |
(9.5) |
Заметим, что меняя в уравнении (9.5) величину k , мы получим множество прямых, проходящих через данную точку. Это множество прямых называется пучком прямых,проходящих через заданную точку.
9.3. Параметрические и каноническое уравнения |
пря- |
мой.Уравнение прямойL можно получить, задавая точку M 0 ( x0 , y0 ) |
и её |
направляющий векторS = {m,n} (см. рис. 9.5). |
|
S M
L
M 0
Рис. 9.5
Пусть M (x, y) L – произвольная точка. В силу коллинеарности векторов
S и M 0 M = { x − x0 ; y − y0 } имеем равенство |
M0M = t × S .В координатах |
||
это равенство примет вид |
|
|
|
x = x0 + m |
× t |
- ¥ < t < + ¥ . |
(9.6) |
|
× t |
||
y = y0 + n |
|
|
66
[Введите текст]
Это так называемые параметрические уравнения прямой. Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от −∞ до +∞ точка M (x, y) «пробегает» всю прямую L . Очевидно, что точке M 0 ( x0 , y0 ) соответствует значение параметра t = 0 . Исключая из этих уравнений параметр t , полу-
чим каноническое уравнение прямойна плоскости
x − x0 |
= |
y − y0 |
. |
(9.7) |
|
|
mn
Вчастности, если одна из координат направляющего вектора равна
нулю, например, S = {m,0}, то получаем уравнение прямой y = y0 .
В качестве следствия из уравнения (9.7) получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 ( x1, y1 ) и M 2 ( x2 , y2 ) . Как известно, прямая определяется двумя своими точками. Нетрудно понять, что вектор
M1M 2 = { x2 − x1; y2 − y1}
можно считать направляющим вектором данной прямой. Отсюда получим
уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
x − x1 |
= |
y − y1 |
. |
|
|
||
x2 − x1 |
y2 − y1 |
67
[Введите текст]
Лекция 10. Прямые линии на плоскости
10.1. Взаимное расположение двух прямых. Пусть сначала две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:
y = k1x + b1, y = k2 x + b2 .
Найдем наименьший положительный угол ϕ между прямыми L1 и L2 .
|
|
|
y |
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
a1 |
j |
a2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
O |
|
x |
|
|
|
|
Рис. 10.1 |
|
Пусть α1 |
и |
α2 — |
углы между положительным направлением оси Ox и |
||
прямыми |
L2 |
и L2 |
соответственно. Тогда α2 = α1 + ϕ (внешний угол тре- |
угольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных). Отсюда следует, что ϕ = α2 − α1 ,
|
|
|
tg j = tg (a2 - a1 ) = |
|
|
tg α2 − tg α1 |
. |
|||
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ tg a1 × tg a2 |
|||||
Так как |
|
tg α1 = k1 , tg α2 = k2 , то |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
k2 − k1 |
|
. (10.1) |
|
|
|
|
|
|
|
tg j = 1 + k × k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По этой формуле вычисляется положительный угол |
ϕ , который отсчиты- |
|||||||||
вается от прямой |
|
y = k1x + b1 до прямой |
y = k2x + b2 . Поскольку тангенс |
|||||||
этого угла может быть и отрицательным, |
|
то угол ϕ |
между прямыми ра- |
|||||||
вен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− k2 |
|
|
|
||
|
|
|
ϕ =| arctg |
k1 |
| . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 + k1k2 |
|
|
|||||
|
|
68 |
|
|
|
|
|
|
|
[Введите текст]
Иногда по заданному углу между прямыми и известному угловому коэффициенту одной из прямых нужно найти угловой коэффициент другой прямой. Поэтому нужно быть внимательными при применении формулы (10.1). Чтобы подчеркнуть, какой угол вычисляется по этой формуле, в ней ставят стрелку, показывающую, что угол отсчитывается от прямой с угловым коэффициентом k1 до прямой с угловым коэффициентом k2 .
Пример.В |
плоскости луч |
света направлен по прямой |
L1 : x − 2 y + 5 = 0 |
идойдя до прямой |
L2 : 3x − 2 y + 7 = 0 от неё отразился. |
Получить уравнение прямой, по которой направлен отражённый луч.
|
|
3 |
|
- |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
Вычисляем тангенс угла «падения» |
tg j = |
2 |
2 |
|
|
|
= |
|
|
(см. рис. 10.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 + |
|
× |
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k3 = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
= |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L1 |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
= |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.2
Из аналогичной формулы для тангенса угла «отражения» α
tgα = |
4 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
= k3 |
− |
|
|
1 |
+ |
|
k3 |
|
|
7 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
получаем угловой коэффициент k3 = 29 / 2 |
прямой, по которой направлен |
отражённый луч. Находим координаты точки M 0 (−1, 2) пересечения пря- |
|
мых L1 и L2 , решив систему уравнений |
|
3x − 2 y + 7 |
= 0 |
|
. |
x − 2 y + 5 |
= 0 |
Из уравнения пучка прямых y − y0 = k ( x − x0 ) получаем уравнение искомой прямой 29x − 2 y + 33 = 0 .
69