9698
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова
64 лекции по математике
Книга 1
( лекции 1–39 )
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки
08.03.01 – Строительство, профиль – Строительство автомобильных дорог, аэродромов,
объектов транспортной инфраструктуры
Нижний Новгород
ННГАСУ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова
64 лекции по математике
Книга 1
( лекции 1–39 )
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным занятиям по дисциплине ««Математика»
для обучающихся по направлению подготовки
08.03.01 – Строительство, профиль – Строительство автомобильных дорог, аэродромов,
объектов транспортной инфраструктуры
Нижний Новгород
ННГАСУ
2016
ББК 22.1 (Я 7)
Ш 51
УДК 51 (075)
Важдаев В. П. 64 лекции по математике. Книга 1 (лекции 1 – 39). [ Текст]: монография / В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова; Нижегор. гос. архитектур.- строит ун-т – Н.Новгород ННГАСУ, 2016. – 284 с. ISBN 978-5-87941- 841-5
Лекции по математике в двух книгах написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Первая книга включает в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений.
ББК 22.1 (Я 7)
ISBN 978-5-87941-841-5
© Коллектив авторов 2016
© ННГАСУ, 2016.
|
Содержание |
Введение …………………………………………………………………………… |
7 |
Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений Лекция 1. Введение в матричную алгебру
1.1.Основные понятия …………………………………………………………. 8
1.2.Сложение матриц и умножение на число …………………………………. 9
1.3.Умножение матриц ………………………………………………………….. 9
1.4.Матрицы и линейные преобразования …………………………………….. 11
Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц
2.1.Системы двух уравнений с двумя неизвестными ………………………… 14
2.2.Системы трех уравнений с тремя неизвестными ………………………... 17
Лекция 3. Системы и определители матриц n -го порядка
3.1. Матричная запись системы линейных уравнений ……………………… |
20 |
3.2. Определители матриц порядка n и их свойства ……………………… |
21 |
3.3. Обратная матрица ……………………………………………………………25 |
|
Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными
4.1.Ранг матрицы ………………………………………………………………. 28
4.2.Теорема Кронекера-Капелли ……………………………………………… 29
Раздел 2. Векторная алгебра
Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними
5.1. Основные понятия и определения ………………………………………… 33 5.2. Линейные операции над векторами ………………………………………. 34 5.3 Проекция вектора на ось …………………………………………………… 37
Лекция 6. Линейная комбинация векторов. Системы координат
6.1. Линейная комбинация векторов ………………………………………… 40
6.2.Разложение вектора по базису. Координаты вектора ……………… …… 42
6.3.Декартова система координат……………………………………………….. 43
6.4.Полярная система координат ………………………………………………...44
Лекция 7. Скалярное произведение
7.1.Скалярное произведение двух векторов …………………………………. 46
7.2.Скалярное произведение в прямоугольных координатах ………………... 49
7.3.Деление отрезка в заданном отношении ……………………………………50
Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов
8.1. Векторное произведение ………………………………………………….. 52 8.2.Смешанное произведение …………………………………………………… 57
Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости Лекция 9. Прямая линия на плоскости
9.1.Общее уравнение прямой …………………………………………………... 61
9.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом …………………………... 64
9.3. Параметрические и канонические уравнения прямой …………………… 65
Лекция 10. Задачи, связанные с прямыми на плоскости
10.1.Взаимное расположение двух прямых ……………………………………. 66
10.2.Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми …….. 70
3
10.3. Расстояние от точки до прямой ……………………………………………. 70 10.3 Линейные неравенства ……………………………………………………... 72
Лекция 11. Плоскость
11.1.Различные виды уравнения плоскости …………………………………... 73
11.2.Взаимное расположение двух плоскостей ………………………………. 78
11.3.Расстояние от точки до плоскости ………………………………………. 79
Лекция 12. Прямая линия в пространстве
12.1. Различные виды уравнений прямой ……………………………………… 81
12.2.Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве …………………………. 86
12.3.Пересечение прямых в пространстве ……………………………………. 87
12.4.Расстояние между двумя прямыми ……………………….......................... 89
Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей
13.1. Угол между прямыми …………………………………………………….. 91 |
|
|
13.2. Угол между прямой и плоскостью ………………………………………. |
92 |
|
13.3. Пересечение прямой с плоскостью ……………………………………… |
93 |
|
Лекция 14. Другие задачи о прямых и плоскостях …………………. |
95 |
Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление Лекция 15. Функция
15.1.Функция и способы её задания ………………………………………….. 101
15.2.Обратная функция ………………………………………………………... 103
15.3.Предел последовательности ……………………………………………... 104
Лекция 16. Свойства пределов. Второй замечательный предел
16.1. Свойства сходящихся последовательностей …………………………... 106
16.2. |
Второй замечательный предел ………………………………………… |
110 |
16.3. |
Раскрытие неопределённостей ………………………………………… |
112 |
Лекция 17. Предел функции. Непрерывность
17.1. |
Предел функции ………………………………………………………… 114 |
|
17.2. |
Первый замечательный предел ……………………………………….. |
116 |
17.3. |
Непрерывность функции ………………………………………………. 118 |
|
17.4. |
Свойства непрерывных функций ……………………………………… |
120 |
Лекция 18. Производная
18.1.Физический, геометрический и математический смысл производной .. 123
18.2.Вычисление производных ………………………………………………. 125
18.3.Уравнение касательной. Угол между кривыми ………………………. 127
18.4. Правила дифференцирования …………………………………………… 128
Лекция 19. Производная (продолжение)
18.1. Дифференцирование сложной и обратной функций ………………….. |
130 |
|
||
19.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. |
|
|||
Касательная к параметрически заданной кривой …………………….. |
132 |
|
||
19.3. Производная функции, заданной неявно. |
|
|
|
|
Касательная к неявно заданной кривой ……………………………….. |
134 |
|
|
|
19.4. Логарифмическое дифференцирование ……………………………….. |
135 |
|
|
|
19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования ……….. |
136 |
|||
19.6. Производные высших порядков ………………………………………. |
137 |
|
|
|
Лекция 20. Вектор-функция
20.1. Вектор-функция и её задание …………………………………………. 138
20.2.Предел, непрерывность и производная вектор-функции …………….. 139
20.3.Уравнения касательной к пространственной кривой и
уравнение нормальной плоскости …………………………………….. |
141 |
4
Лекция 21. Дифференциал
21.1. Дифференциал функции ……………………………………………….. 144 21.2. Правило Лопиталя ……………………………………………………… 148
Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков
22.1 Формула Лагранжа …………………………………………………….. |
151 |
|
|
22.2. Признак монотонности функции ……………………………………... |
151 |
||
22.3. Экстремумы …………………………………………………………….. |
152 |
|
|
Лекция 23. Исследование функций и построение их графиков
(продолжение)
23.1. Выпуклость ……………………………………………………………… |
156 |
|
23.2. Точки перегиба ………………………………………………………….. |
159 |
|
23.3. Асимптоты ………………………………………………………………. |
160 |
|
23.4. Примерный план исследования функции ……………………………. |
163 |
Лекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений
24.1. Понятие кривизны ………………………………………………………. |
164 |
|
|
24.2. Вычисление кривизны плоской кривой ………………………………. |
165 |
||
24.3. Геометрический смысл кривизны ……………………………………… |
166 |
||
24.4. Приближённое решение уравнений …………………………………… |
|
167 |
Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Лекция 25. Линии второго порядка
25.1. Эллипс ……………………………………………………………………… 171 25.2. Гипербола ………………………………………………………………… 173
Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду
26.1. Парабола ……………………………………………………………………… 176 |
|
26.2. Вырожденные случаи …………………………………………………… |
178 |
26.3.Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду…. 178
26.4.Параллельный перенос осей координат ……………………………………. 179
26.5.Преобразование поворота системы координат …………………………….. 181
Лекция 27. Поверхности второго порядка
27.1. Цилиндрические поверхности ……………………………………………… 187 27.2. Поверхности вращения ……………………………………………………… 189
Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей
второго порядка
28.1. Эллипсоиды…………………………………………………………………… 191 28.2. Гиперболоиды…………………………………………………………………..193 28.3. Конусы………………………………………………………………………… 196 28.4. Параболоиды………………………………………………………………….. 197
Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление
Лекция 29. Неопределенный интеграл
29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл ……………… |
200 |
29.2. Интегрирование методами подстановки и замены переменной …… 204
Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)
30.1. Интегрирование простейших иррациональностей …………………… |
206 |
30.2. Интегрирование по частям ……………………………………………… 207 |
|
30.3. Интегрирование тригонометрические выражений ……………………. |
209 |
Лекция 31. Комплексные числа
5
31.1. Введение ………………………………………………………………… 211
31.2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел …………………. 212
31.3.Тригонометрическая форма комплексного числа ……………………... 213
31.4.Операции над комплексными числами …………………………………. 214
Лекция 32. Решение алгебраических уравнений
32.1.Извлечение корня из комплексного числа ……………………………… 217
32.2.Квадратное уравнение …………………………………………………… 219
32.3.Разложение многочлена на множители ………………………………… 221
32.4.Разложение на простые дроби и интегрирование дробно-рациональных функций ………………………………………….. 222
Лекция 33. Определённый интеграл
33.1.Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ………….. 224
33.2.Понятие определённого интеграла ……………………………………... 225
33.3.Основные свойства определённого интеграла………………………….. 226
33.4 Существование первообразной функции ……………………………… 229 33.5. Формула Ньютона - Лейбница ………………………………………… 230
Лекция 34. Вычисление определённого интеграла
34.1. Интегрирование по частям и замена переменной ……………………... 231 34.2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат ……… 234
34.3.Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически ……………………………………………… 236
Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла
35.1.Объём тела с известной площадью поперечного сечения …………….. 238
35.2.Вычисление объёмов тел вращения ……………………………………... 239
35.3. Несобственные интегралы ………………………………………………. 240
Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Лекция 36. Функции многих переменных
36.1.Понятие функции двух переменных …………………………………….. 245
36.2.Предел и непрерывность функции двух переменных …………………. 246
36.3.Частные производные, производная по направлению ………………… 248
Лекция 37. Производные сложных функций
37.1.Дифференцирование сложных функций ………………………………… 251
37.2.Вычисление производной по направлению …………………………….. 252
37.3.Дифференцирование неявных функций …………………………………. 253
37.4.Градиент …………………………………………………………………… 254
37.5.Касательная плоскость и нормаль к поверхности ……………………… 257
Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух
переменных
38.1.Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал ….. 259
38.2.Производные и дифференциалы высших порядков ……………………. 263
38.3. Экстремумы функции многих переменных …………………………… 263
Лекция 39. Условный экстремум
39.1. |
Понятие условного экстремума ………………………………………… |
267 |
39.2. |
Метод множителей Лагранжа …………………………………………… |
268 |
6
Даже плавая на поверхности океана знаний, можно достичь его глубин.
Френсис Бэкон
Введение
Лекции написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета (ННГАСУ) для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Общий объем материала ограничивался количеством часов, которое отводится изучению математики современными образовательными стандартами этих специальностей, а его «глубина» определялась педагогическим опытом авторов. Лекции изданы в двух книгах, которые содержат материал, излагаемый в ННГАСУ на первом и втором курсах соответственно. По стилю изложения и по структуре это действительно лекции: весь материал разбит на части, излагаемые примерно за полтора часа и расположенные в том порядке (не единственно возможном), который соответствует читаемому в ННГАСУ курсу. Лекции включают в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений, теории рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.
Следует заметить, что существующие классические учебники математики достаточно сложны для студентов нематематических специальностей, а учебные пособия, появившиеся в последнее время, носят, как правило, справочный характер: в них формулируются определения и приводятся соответствующие формулы для вычислений. По мнению авторов, сейчас востребована учебная литература, которая в доступной форме раскрывает содержание основных математических понятий и методов, сочетая математическую строгость и простоту изложения. В соответствии с этим основная задача, которую ставили перед собой авторы, – повысить общую математическую культуру
студентов, обучить их простейшим навыкам математического моделирования, развить умение устанавливать причинноследственные связи и рационально мыслить. Это как раз то, что требуется для эффективной деятельности в любой сфере.
Усилия авторского коллектива распределялись следующим образом: доцент В.П. Важдаев и профессор М.М. Коган написали лекции по алгебре, геометрии, функциям одной и нескольких переменных, дифференциальному и интегральному исчислениям, дифференциальным уравнениям, рядам Фурье (лекции 1–24, 29–48, 60, 61), доцент М.И. Лиогонький – по криволинейным интегралам, теории рядов, элементам
7
математической логики, теории множеств и теории графов (лекции 54–59, 62–64), доцент Л.А. Протасова – по кривым и поверхностям второго порядка, кратным интегралам (лекции 25–28, 49–53). Рисунки к лекциям выполнили В.П. Важдаев, М.И. Лиогонький, Г.Л. Пугач (кривые и поверхности второго порядка, кратные интегралы). Общее редактирование лекций осуществили В.П. Важдаев и М.М. Коган. Авторы будут благодарны за любую (положительную или отрицательную) «обратную связь» (например, по электронной почте mkogan@nngasu.ru).
Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений
Лекция 1. Введение в матричную алгебру
Теорию матриц можно справедливо считать арифметикой высшей математики.
Ричард Беллман (1920-1984 гг.)
Матрицы широко применяются в различных разделах математики, физики и других дисциплинах; они находят широкое применение при исследованиях экономических проблем. В матричной записи легко и наглядно обнаруживаются те или иные особенности решаемой задачи, а теория матриц дает инструмент для ее эффективного решения.
1.1. Основные понятия. Таблица чисел вида
a11 |
a12 |
K |
a1n |
|
|
a |
a |
K |
a |
|
|
A = 21 |
22 |
|
2n |
, |
|
K |
K |
|
K |
|
|
am1 |
am2 K amn |
|
|||
|
|
|
|
|
|
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей A размера (m × n)
(читается « m » на « n »). Числа m и n не обязаны быть одинаковыми. Если m = n , то матрица называется квадратной, а число n называют её порядком. Более компактная форма записи матрицы имеет вид
|
A =|| aij ||, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n , |
||
где элемент матрицы |
ai j расположен в |
i -й строке и |
j -м столбце. |
Частные случаи: |
A = (a11 |
a12 K a1n ) – |
матрица-строка, |
8
a11 |
|
|
|
a |
|
– матрица-столбец. |
|
A = |
21 |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
|
Понятие равенства двух матриц естественно вводится для матриц одинаковых размеров. Две матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы:
A = B || aij ||=|| bij || aij = bij , i, j ,
где символ означает «тогда и только тогда», а читается «для всех».
1.2. Сложение матриц и умножение на число. Сумма (разность) двух матриц A и B одинакового размера определяется следующим образом
A ± B =|| aij ± bij || .
Поскольку введенные операции сводятся к соответствующим операциям над элементами матриц, то следующие законы сложения очевидны:
A + B = B + A , A + (B + C) = (A + B) + C , A + 0 = A ,
где символом « 0 » обозначена нулевая матрица соответствующего размера, все элементы которой равны нулю.
Для умножения матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число:
a |
a |
|
la |
la |
|
, A × l = l × A = |
|
laij |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l 11 |
12 |
|
= |
11 |
12 |
|
|
|
. |
||
a21 |
a22 |
la21 |
la22 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его можно выносить за знак матрицы. При умножении матрицы на нуль получается нулевая матрица. Имеют место следующие свойства операции умножения матрицы на число:
1× A = A , 0 × A = 0 , |
λ1 (λ2 A) = λ2 (λ1 A) = (λ1λ2 ) A , |
λ(A + B) = λA + λB , |
(λ1 + λ2 ) A = λ1 A + λ2 A . |
9