9633

и потому

Sn . Но

при n>2 выполняется неравенство Sn Sn .

Отсюда

следует, что

последовательность Sn

также стремится к

бесконечности и, следовательно, гармонический ряд расходится.

При изучении рядов решаются в основном две задачи. Первая задача

состоит в исследовании

ряда на сходимость. Вторая задача состоит в

1

Пример. Найти сумму ряда

,

если он сходится.

n 1 n(n 1)

Так как

1

1

1

,

n(n 1)

n

(n 1)

то для частичной суммы

Sn

этого ряда будем иметь:

1

1

1

...

1

1

1

1

1

1

S n

1

2

2 3

3

4

(n 1)n

n(n

1)

1

2

2

3

.

1

1

1

1

1

1

1

...

1

3

4

n

1

n

n

(n 1)

n

1

Отсюда следует, что

lim Sn 1 lim(1

1

) 1

,

n

n

n 1

и, таким образом,

1

1 .

n(n 1)

n 1

Пусть имеются два ряда uk и

vk . Суммой (разностью) этих

k 1

k 1

рядов называется ряд (uk vk ) ,

элементы которого получены в

3) Если ряды

uk и

vk сходятся и их суммы равны

k 1

k 1

соответственно S1 и

S2 , то ряд

(uk

vk ) также сходится и его сумма

k 1

Если ряд un сходится,

то

limun 0. Т.е. в сходящихся рядах

n 1

n

общий член обязательно стремиться к нулю.

Действительно, можно

записать,

что

un Sn Sn 1 .

Если ряд (57.1)

сходится и S его сумма, то

lim un lim Sn

lim Sn 1 S S 0 .

n

n

n

2n

Пример. Исследовать на сходимость ряд

. Так как

3n 1

n 1

lim

2n

lim

2

2

0 ,

n

3n 1

n 3 1/ n 3

ряда. Действительно, для гармонического ряда lim un

lim

1

0 . Но

n

n n

Остановимся

на

рассмотрении

каждого

из

перечисленных

признаков.

Почленный признак

сравнения.

Пусть

имеются

два

знакоположительных ряда

(u) : un , v) : vn

n 1

n 1

и пусть, начиная с некоторого натурального числа

N , для

всех n

справедливо неравенство un vn . Тогда, если ряд

(v)

сходится, то ряд

(u) также сходится,

если

же

ряд (u)

расходится,

то и

ряд

(v)

влияет

на его сходимость,

то

можно считать,

что

N 1. Пусть

S1, S2 ,...,Sn ,...и S1, S2 ,..., Sn ,... частичные суммы ряда (v). Очевидно, что

справедливо неравенство

Sn

Sn .

Поэтому из сходимости ряда (v)

следует

ограниченность

последовательности Sn

и,

следовательно,

1

1

1 ...

1 ...

n 2 ln n

ln 2

ln 3

ln n

1

1

1

Так как при

n 2 верно,

что

,

а гармонический ряд

ln n

n

n

n 1

расходится, то расходится и исследуемый ряд.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

1

1

1

1

...

.....

2

2

2

2

n 1

n

1

2

n

Так как

1

1

, а ряд

1

сходится, то и исследуемый ряд

(n 1)

2

n(n 1)

n(n 1)

n 1

сходится.

Предельный признак сравнения. Пусть имеются два

знакоположительных ряда

(u) : un , v) : vn

n 1

n 1

и пусть существует lim un

A 0 ,

тогда или оба ряда сходятся, или

n v

n

оба ряда расходятся.

Доказательство. Пусть ε 0 и такое,

что A ε 0. Тогда найдется целое

положительное N , начиная с которого будет выполняться неравенство

A ε

un

A ε

или

( A ε)v

u

( A ε)v .

n

vn

n

n

Из почленного признака сравнения следует, что, если ряд (u)

сходится,

то сходится ряд (A ε)(v) , если же ряд (u)

расходится,

то расходится ряд

(A ε)(v) . Но сходимость

или

расходимость

рядов

(A ε)(v) , (A ε)(v)

означает сходимость или расходимость ряда (v).

При

применении признаков

сравнения

полезно

использовать

в

качестве эталонных обобщенные гармонические ряды. Это ряды вида

1

1

1

1

...

... ,

(57.7)

k

k

k

k

n 1

n

1

2

n

где

k есть постоянное положительное число.

При

k 1 данный ряд

совпадает с гармоническим рядом.

Относительно таких рядов справедлив

следующий факт (который далее будет доказан): при

k 1 ряд (57.7)

сходится, а при k 1 ряд (57.7) расходится.

Из этого факта следует, например, что обобщенный гармонический

1

1

ряд

сходится, а

обобщенный

гармонический

ряд

3

3

2

n 1

n

n 1

n

расходится.

n 5

Пример. Исследовать на сходимость ряд

(u) :

.

5n

6

n 1

n 1

1

обобщенный гармонический ряд (v):

с показателем k=2 (равным

2

n 1

n

lim

un

lim

(n 5)n2

n vn

n 5n6

n 1 .

lim un lim

1 5 / п

1

0

5

n v

n

5 1/ n

5

1/ n

6

n

математик). Пусть дан ряд

un с положительными членами и пусть

n 1

существует

lim

un 1

q . Тогда: если q 1, то ряд сходится; если q 1,

n

un

то ряд расходится; если q 1, то ничего определенного сказать нельзя

(нужны другие методы исследования).

Доказательство. Пусть

q 1 и пусть ε 0 и такое,

что q ε 1. Тогда

найдется целое положительное N ,

начиная с которого будет выполняться

неравенство

q ε

un 1

q ε ,

или

un 1 (q ε)un

q1un (здесь

un

q1 q ε 1).

Не теряя общности, можно считать,

что

N 1. Тогда будем

иметь

u

2

u q

,

u

3

u

q

1

u q2 , ... ,u

n 1

u

q

1

u qn ,.....

1 1

2

1 1

n

1 1

Это означает, что члены исследуемого ряда меньше членов ряда u1q1n .

n 1

Но последний ряд

представляет

собой

сумму

членов

геометрической

прогрессии со знаменателем

q1 1

и потому является сходящимся. По

Пример. Исследовать на сходимость ряд

n!

(u) :

.

n

n 1

n

Применяя признак Даламбера, имеем:

un 1

(n 1)!nn

(n 1)nn

nn

1

1

un

(n 1)n 1 n!

(n 1)n 1

(n 1)n

(1 1/ n)n

n

e

.

(Здесь мы вспомнили второй замечательный предел).

Т.к.

1

1 то

e

исследуемый ряд сходится.

Признак Коши

(радикальный).

Пусть

дан

ряд un

с

n 1

положительными членами и пусть

существует

lim n

un

q . Тогда: если

n

q 1, то ряд сходится; если q 1, то ряд расходится; если

q 1, то ничего

определенного сказать нельзя (нужны другие методы исследования).

При применении признака Коши полезно помнить, что lim n n 1.

n

Более того, если Pk (n) есть многочлен степени k относительно n , с

положительным коэффициентом при старшей степени, то

lim n P (n) 1.

n

k

n2

Пример. Исследовать на сходимость ряд (u) :

2

n . Имеем:

n 1

n2

( n n )2

1

un lim n

lim n

lim

1.

2

2

2

n

n

n

n

Поэтому исследуемый ряд сходится.