9615

46.1. Метод неопределенных коэффициентов. Перейдем к нахождению частного решения неоднородного дифференциального уравнения

комплексное число i . Рассмотрим для начала случай действительной характеристики, т.е. когда правая часть имеет вид

Будем искать решение в таком же виде, что и правая часть уравнения, т.е.

где Qn (x) – многочлен, коэффициенты которого подлежат определению

(отсюда происходит и название метода – метод неопределённых коэффициентов). Искомое решение (46.3) должно удовлетворять уравнению с заданной правой частью. Выполнив соответствующую подстановку y(x) в уравнение (46.1), получим равенство двух многочленов

2 a1 a2 0.

Пусть не совпадает с корнями характеристического уравнения. Тогда в равенстве (46.4) слева многочлен тоже степени n ,как и справа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему

A0 , A1 , , An .

Если простой (однократный) корень характеристического уравнения, то в левой части равенства (46.4) будет многочлен степени n 1. В этом случае умножим искомый многочлен на x . Степень многочлена увеличится, а число неизвестных коэффициентов не изменится. Задача свелась к предыдущей.

И, наконец, если характеристика совпадёт с двукратным корнем характеристического уравнения, то искомый многочлен умножаем на x2 .

Итак, если правая часть неоднородного уравнения имеет вид (46.2), то его частное решение отыскиваем в виде

y(x) xmQn (x)e x ,

где m 0,1, 2 число совпадений корней характеристического уравнения с характеристикой правой части , а Qn (x) – многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой

и подставив в уравнение, получим тождество

6 A1x (2 A1 3A2 ) x .

Приравнивая теперь коэффициенты многочленов справа и слева, получим A1 1/ 6 , A2 1/ 9 и в результате

y(x) (1/ 6)x2 (1/ 9)x .

В случае комплексной характеристики частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y(x) xme x (Qn (x)cos x Rn (x)sin x) ,

где m – число совпадений корней характеристического уравнения с характеристикой правой части i , а Qn (x) и Rn (x) – многочлены степени

n , коэффициенты которых подлежат определению. Заметим, что в решение входит «полный» тригонометрический многочлен, содержащий как синус,

так и косинус, и что перед каждой тригонометрической функцией в качестве множителя находится «свой» многочлен.

В заключение этого раздела подчеркнем, что если правая часть уравнения (46.1) представляет собой сумму двух функций

f (x) f1 (x) f2 (x) ,

то следует найти частные решения y1 (x) и y2 (x) уравнения (46.1) с правыми частями f1 (x) и f2 (x) , соответственно. Тогда частное решение исходного уравнения (46.1) равно сумме этих частных решений

y(x) y1 (x) y2 (x) .

Это легко проверяется подстановкой y(x) в уравнение

( y1 y2 ) a1( y1 y2 ) a2 ( y1 y2 )

y1 a1 y1 a2 y1 y2 a1 y2 a2 y2 f1 f2 .

46.2.Метод вариаций произвольных постоянных – это метод

нахождения частного решения y(x) линейного неоднородного

дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

y a1 y a2 y f (x)

с помощью известного общего решения однородного уравнения

y a1 y a2 y 0 .

Если метод неопределённых коэффициентов применим для правых частей, имеющих специальный вид, то рассматриваемый метод является

y (x) u1 (x) y1 (x) u2 (x) y2 (x) .

Задача состоит в нахождении этих функций. Отсюда название – метод вариаций постоянных (постоянные варьируются, изменяются). В дальнейшем, для краткости будем опускать аргументы функций.

Вычисляем производную

Перед вычислением второй производной,потребуем дополнительно, чтобы

Далее мы увидим, что это ограничение поможет нам найти требуемые функции. Тогда

y (x) u1 y1 u2 y2

и

y (x) u1 y1 u1 y1 u2 y2 u2 y2 .

Подставляя в уравнение y a1 y a2 y f (x) и группируя слагаемые,

получаем

u1 ( y1 a1 y1 a2 y1 ) u2 ( y2 a1 y2 a2 y2 ) u1 y1 u2 y2 f (x) .

Отсюда, наряду с условием (46.5), получаем ещё одно условие u1 y1 u2 y2 f (x) .

Таким образом, мы имеем линейную систему уравнений относительно производных искомых функций

Так как определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимых функций y1 (x) и y2 (x) , то он не равен нулю и эта

система имеет единственное решение

u1 1 (x) , u2 2 (x) .

Проинтегрируем найденные функции

и запишем частное решение неоднородного уравнения

Применяя метод вариаций, будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y(x) u1(x)cos x u2 (x)sin x .

Для производных искомых функций составляем систему

u1 (x) 1, u2 (x) cos xsin x

и после интегрирования

u1 (x) x , u2 (x) ln sin x .

Итак, общее решение уравнения

y C1 cos x C2 sin x x cos x sin x ln sin x .

Лекция 47. Биения и резонанс

Рассмотрим теперь случай, когда на колебательную систему воздействует периодическая внешняя сила. Этот случай встречается наиболее часто: давление газа на поршень в двигателе внутреннего

сгорания, удары рельса на стыке по колесу железнодорожного вагона, действие струи газа или пара на лопатку турбины, удары волн о корпус судна и т.д. Для простоты анализа будем предполагать, что сопротивление

среды отсутствует. В этом случае уравнение линейного осциллятора y a1 y a2 y f (t) , примет вид

где 1 – частота колебаний вынуждающей силы.

Решение однородного уравнения приведено (см.45.4). Это

Сначала пусть частота вынуждающей силы не совпадает с частотой

и общее решение уравнения (47.1) представляет собой сумму двух гармонических колебаний с разными частотами

Посмотрим, что произойдет, когда частота вынуждающей силы и собственная частота близки, т.е. 1 . Вернемся к записи общего решения уравнения (47.1) в виде

y(t) C cos t C sin t A sin t .

1 2 2 12 1

Для простоты возьмем частное решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям: y(0) 0, y (0) 0 . Нетрудно проверить, что ему

y(t) ( 2 A 12) ( sin 1t 1 sin t) .

В случае близости частот выражение в скобках можно преобразовать к следующему виду:

Первый множитель sin 1 t медленно меняющаяся функция времени, а

2

второй – cos t быстро изменяющаяся функция. В приближённом решении уравнения

множитель перед быстро изменяющимся косинусом можно рассматривать как «амплитуду» этого сложного колебания, называемого биением.

Пример «сложения» таких колебаний приведён на рисунке 47.1. Теперь пусть частота внешней вынуждающей силы и собственная

частота совпадают, т.е. 1 . Найдем решение уравнения

y 2 y Asin t .

Характеристика правой части уравнения совпадает с корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y(t) t(M cos t N sin t) .

Рис. 47.2

Итак, мы выяснили, что при отсутствии сопротивления среды и при совпадении частоты приложенной силы с частотой собственных колебаний возникает колебательное движение той же частоты, но с неограниченно возрастающей амплитудой. В более реалистичном случае учета

y(t) e 0,1t ( 451401sin t 1000401 cost) 40150 sin t 1000401 cost

или

y(t) e 0,1 t (9 / 8sin t 5/ 2cost) 1/ 8sin t 5/ 2cost .

Как видим, хотя амплитуда внешнего воздействия на колебательную систему всего 0,5, тем не менее эта внешняя сила «раскачала» систему до колебаний с амплитудой примерно 2,5. В дальнейшем система будет колебаться с частотой вынуждающей силы, а амплитуда колебаний расти не будет (см. рис. 47.4).