9613

исходного линейного дифференциального уравнения в виде

y u(x,C)v (x) .

получим общее решение исходного уравнения

y(t) (g a Ce at ) .

Отметим, что так называемое уравнение Бернулли, имеющее вид

y p(x) y q(x) y 0 ,

сводится к линейному уравнению следующим образом. Будем считать, что0 и 1, т.к. оба эти случая соответствуют линейным уравнениям.

Поделим обе части уравнения на y

yy p(x) y1 q(x) 0

и введем новую переменную z y1 . В новых переменных исходное уравнение будет линейным

1z p(x)z q(x) 0 .

42.2.Приближенные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Теперь остановимся на приближенных методах. Сначала рассмотрим метод Пикара (метод последовательных приближений). Представим задачу Коши

в следующем эквивалентном виде: найти функцию y(x) такую, что

y(x) y0 x f (x, y(x))dx .

x0

Фактически, мы заменили дифференциальное уравнение интегральным

Оказывается, что при определенных условиях эта последовательность сходится к решению исходной задачи Коши. Под этим понимается, что для каждого x из рассматриваемого интервала числовая последовательность (42.2) имеет пределом соответствующее значение решения y(x) .

Справедлива следующая теорема, которую приведём без доказательства. Теорема. Пусть в окрестности точки (x0 , y0 ) функция f (x, y) и ее

частная производная fy (x, y) непрерывны. Тогда в некотором интервале, содержащем точку x0 , последовательность функций (42.2) сходится к функции y(x) , являющейся решением задачи Коши для данного уравнения.

Пример. Решим этим методом следующую задачу

В точке (x0 , y0 ) известно направление поля f (x0 , y0 ) , т.е. угловой коэффициент касательной к неизвестной интегральной кривой. Поэтому из

y2 y1 f (x1, y1 )h .

Таким образом, приближённо искомая интегральная кривая заменяется ломаной и приближённые значения искомого решения вычисляются по формуле

yk yk 1 f (xk 1, yk 1 )h .

Решение уравнения представляется в виде таблицы с шагом аргумента h

График прибл. реш.

Точное

реш.

Рис. 42.2

Пример. Методом Эйлера на отрезке [ 0;0,8 ] получить решение

которое можно получить, решив уравнение как однородное (решите!), а

сравнения приведены также значения точного и приближённых решений в соответствующих точках.

X:0.2

Y:1.2

Рис. 42.3

Лекция 43. Дифференциальные уравнения второго порядка

43.1. Задача Коши. Перейдем теперь к изучению дифференциального уравнения второго порядка. Общий вид этого уравнения следующий

Если из этого уравнения можно выразить старшую производную как функцию остальных переменных

то такое его представление называют формой Коши.

Общее решение уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Например, уравнение y x легко решается

путем повторного интегрирования

y x C1 , y x2 C1x C2 . 2

Для выделения частного решения требуется задать два условия. Один из возможных вариантов их задания представляет собой задачу Коши, состоящую в нахождении решения y(x) , удовлетворяющего заданным

Геометрически они означают, что интегральная кривая проходит через заданную точку (x0 , y0 ) и касательная к интегральной кривой в этой точке

имеет заданный угловой коэффициент y1 . Условия существования и

единственности решения задачи Коши формулируются в следующей теореме.

Теорема Коши. Пусть функции f (x, y, y ) , f y (x, y, y ) и f y (x, y, y ) непрерывны в некоторой окрестности точки (x0 , y0 , y1 ) трехмерного

пространства. Тогда существует и единственно решение уравнения (43.2), удовлетворяющее начальным условиям (43.3).

В отличие от дифференциального уравнения первого порядка, для которого при выполнении условий теоремы Коши интегральные кривые не пересекались на плоскости (x, y) , для дифференциального уравнения

пространстве (x, y, y ) , то согласно теореме Коши они не пересекаются.

43.2. Задача о цепной линии. Прежде, чем перейти к изложению некоторых методов решения дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрим задачу о так называемой цепной линии: какую форму

принимает под действием силы тяжести однородная гибкая нерастяжимая тяжёлая нить с закреплёнными концами?

Эта задача возникла очень давно. Леонардо да Винчи (1452-1519) считал, что нить примет форму дуги окружности (если стрела прогиба нити невелика), а голландский математик Альбер Жирар (1595-1633) высказал предположение, что нить примет форму параболы. Получим дифференциальное уравнение, решением которого и будет функция, описывающая форму цепной линии. Выберем систему координат как на рис.

43.1.

участка AB равен ∙ , где p – вес единицы длины нити, а s – длина дуги

AB . Согласно условиям равновесия сумма проекций вертикальных и горизонтальных составляющих всех сил должна быть равной нулю. Поэтому получаем

T cos HT sin p s .

Разделив второе равенство на первое, находим

tg yx dy p s . dx H

Наша задача свелась к решению этого дифференциального уравнения. Для того чтобы исключить переменную s , продифференцируем его по переменной x . В итоге получаем

Сложив (43.4) с последним равенством, приходим к дифференциальному уравнению первого порядка

z y 12 exa e xa .

Ясно, что любая кривая этого семейства имеет одну и ту же форму цепной линии

y a2 exa e xa a ch ax .

На рис. 43.2 эта кривая приведена для сравнения вместе с параболой. Таким образом, оказывается, что нить принимает форму

гиперболического косинуса. В оправдание выдающихся ученых, занимающихся этой задачей, стоит сказать, что в то время ещё не было показательной функции с основанием e 2,71828... . Задачу о провисающей верёвке решил в 1697г. оксфордский астроном и математик Д. Грегори (1661-1708).

43.3. Методы понижения порядка уравнения. Для решения задачи о цепной линии был использован метод, который применяется для дифференциальных уравнений второго порядка вида

Введем новую функцию p p( y) так, чтобы выполнялось y (x) p( y(x)) . При этом предполагается, что y(x) const , так как в этом случае этот метод

не применим (поэтому наличие таких решений нужно проверять отдельно). Найдем

y dpdy dydx dpdy p .

Тогда уравнение (43.5) сводится к уравнению первого порядка

dpdy p f ( y, p)

относительно неизвестной функции p p( y) . Пусть p p( y,C1 ) – его

общее решение. Возвращаясь к исходной переменной, получим дифференциальное уравнение первого порядка

dydx p( y,C1 )

с разделяющимися переменными, решая которое, окончательно найдем общее решение уравнения (43.5)

dy

p( y,C1) x C2 .

Заметим, что решение получилось как зависимость x x( y,C1,C2 ) .