9498

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.С. Аистов, О.И. Ведяйкина, Г.А. Маковкин

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим и лекционным занятиям по аналитической механике

(включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство»,

направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство

Нижний Новгород

2022

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.С. Аистов, О.И. Ведяйкина, Г.А. Маковкин

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим и лекционным занятиям по аналитической механике

(включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство», направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство

Нижний Новгород ННГАСУ

2022

УДК 531.1

Аистов, А. С. Аналитическая механика : учебно-методическое пособие /О. И. Ведяйкина, Г. А. Маковкин; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 68 с. : 34 ил. – Текст : электронный.

Даются тематика лекций, их краткое содержание, планы практических занятий, а также методические рекомендации по организации самостоятельной работы обучающихся по дисциплине «Аналитическая механика». Указывается необходимая литература и источники, разъясняется последовательность их изучения, выделяются наиболее сложные вопросы и даются рекомендации по их изучению.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекциям и практическим занятиям, организации самостоятельной работы по направлению подготовки 08.03.01

Строительство, направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство

© А. С. Аистов, О.И. Ведяйкина, Г.А. Маковкин, 2022

© ННГАСУ, 2022.

3

4

ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Целями освоения учебной дисциплины Аналитическая механика являются:

-дать студенту представление о постановке инженерных и технических задач, их формализации, выборе модели изучаемого механического явления;

- привить навыки использования математического аппарата для решения инженерных задач в области механики;

-развить логическое мышление и творческий подход к решению профессиональных задач;

-уметь прилагать полученные знания для решения соответствующих конкретных задач техники;

Обучающийся, освоивший программу дисциплины, должен обладать: -способностью использовать основные законы естественнонаучных

дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и математического (компьютерного) моделирования, теоретического и экспериментального исследования;

-способностью выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения соответствующий физико-математический аппарат:

В результате изучения учебной дисциплины обучающиеся должны: -уметь поставить и решать задачи о движении и равновесии материальных объектов, конструкций и сооружений.

При самостоятельной работе над Р.Г.Р. необходимо выполнять следующие требования:

˗работа оформляется в файле, сформированном в формате Word;

˗обязательно наличие условий задачи и значений исходных данных;

˗чертежи выполнять либо в графическом редакторе, либо вручную, но с использованием линейки;

˗рисунки, выполненные в графическом редакторе, вставляются в текст через буфер (копировать – вставить):

˗рисунки, выполненные вручную, фотографируются и вставляются в нужное место текста через буфер;

˗формулы, набираются с помощью редактора формул.

5

Предмет и разделы аналитической механики

Аналитическая механика представляет собой дисциплину, содержанием которой является совокупность универсальных математических методов решения задач динамики.

Этот раздел механики можно рассматривать как учение о дифференциальных уравнениях движения произвольных механических систем. Начало такому пониманию было положено Лагранжем в его знаменитой «Аналитической механике».

Тема 1.

Аксиомы и задачи динамики

1.1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение

механических систем под действием сил.

Динамика является синтезом

статики, которая изучает преобразования систем сил и условия их равновесия, и

кинематики, которая изучает способы математического описания

движения тел.

Задачи, решаемые методами динамики, условно можно разделить на две

группы:

Первая задача динамики (прямая) предполагает, что закон движения механической системы известен, а силы, которые вызывают это движение, необходимо найти.

Вторая задача динамики (обратная) предполагает, что известны силы,

действующие на механическую систему, а найти необходимо закон движения.

Рис. 1.1

Динамика основывается на ряде принципов, которые могут быть названы законами или аксиомами.

1.2. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ

Аксиома 1. (Закон инерции).

Под действием уравновешенной системы сил тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя.

Аксиома 2. (Закон равенства действия и противодействия).

Два тела взаимодействуют с силами, равными по величине, действующими вдоль одной прямой, соединяющей точки их приложения и направленными в противоположные стороны.

Аксиома 3. (Принцип освобождаемости от связей).

Несвободное тело можно считать свободным, если вместе с активными силами приложить к нему реакции отброшенных связей.

Аксиома 4. (Основной закон динамики).

Фундаментальное значение имеет второй закон Ньютона.

Сила, действующая на свободную материальную точку, сообщает ей ускорение,

которое в инерциальной системе отсчета пропорционально этой силе:

Примечания:

В уравнение (1.1) входит величина m, которая называется массой материальной точки. Она является мерой инертности точки: чем больше масса, тем меньшее ускорение сообщает точке приложенная сила

8

2.2. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ

Если закон движения задан в векторной форме, выражение для вектора силы может быть найдено путем дифференцирования радиус-вектора по формуле

(2.1). Если закон движения задан в аналитической форме, проекции силы на декартовые оси могут быть найдены путем дифференцирования координат по формулам (2.2).

постоянные величины.

Найти силу, вызывающую это движение.

Решение

Движение точки задано координатным способом, поэтому применим уравнения

(2.2), учитывая, что: ̈= 2 2; ̈= 0 см2.

Тогда = ̈= 2 2 ; = = 0.

Ответ:

Действующая сила равна по модулю = 2 2 и направлена по оси x .

2.3. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ

Вторая задача динамики заключается в определении движения под действием заданных сил. Ее решение сводится к интегрированию дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) или (2.3).

Пусть, движение точки описывается в декартовых осях. Тогда система уравнений (2.2)

̈= ( , , , ̇, ̇, ̇, ) { ̈= ( , , , ̇, ̇, ̇, ).

̈= ( , , , ̇, ̇, ̇, )

имеет общее решение в виде

9

При решении задач обычно принимают, что t0 0 , а C1, C2 , C3 , D1, D2 , D3 −

постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий,

описывающих состояние материальной точки в начальный момент времени

t t0 .

В качестве начальных условий задаются начальное положение точки и ее начальная скорость:

|=0 = 0

|=0 = 0

|=0 = 0 .

̇|=0 = 0 ̇|=0 = 0 { ̇|=0 = 0

Из этих шести уравнений определяются шесть постоянных интегрирования.

Тема 3.

Теорема о движении центра масс

3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек. Положение k-й

точки определяется радиус-вектором . Точка имеет массу и движется со скоростью и с ускорением .

Силы, действующие на материальную точку можно разбить на две группы.

Сделать это можно разными способами.

Первый способ

Разделим силы, действующие на k-ю точку, на внешние и внутренние. Получим следующую запись основного уравнения динамики: