9398

Находя его общее решение в виде u = u(x,C) , получим общее решение исходного линейного дифференциального уравнения в виде

y = u(x,C)v (x) .

В качестве примера вернемся к уравнению m dy = mg − ky , которое

сводится к линейному уравнению следующим образом. Будем считать, что a ¹ 0 и a ¹1, т.к. оба эти случая соответствуют линейным уравнениям.

Поделим обе части уравнения на yα

y′ + 1−α + = yα p(x) y q(x) 0

и введем новую переменную z = y1−α . В новых переменных исходное уравнение будет линейным

1z′ + p(x)z + q(x) = 0 .

1− α

42.2.Приближенные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Теперь остановимся на приближенных методах. Сначала рассмотрим метод Пикара (метод последовательных приближений). Представим задачу Коши

y′ = f (x, y), y(x0 ) = y0

21

в следующем эквивалентном виде: найти функцию y(x) такую, что

x

y(x) = y0 + ∫ f (x, y(x))dx .

x0

Фактически, мы заменили дифференциальное уравнение интегральным уравнением, в котором неизвестная функция y(x) входит ещё и под знак

интеграла. Если под знаком интеграла функцию y(x) заменить её значением y0 , получим так называемое первое приближение

x

y1(x) = y0 + ∫ f (x, y0 )dx .

x0

Затем заменяем y(x) найденной функцией y1 (x) и получаем второе приближение

x

y2 (x) = y0 + ∫ f (x, y1 (x))dx .

x0

Продолжая процесс далее, найдем

x

yn (x) = y0 + ∫ f (x, yn−1 (x))dx .

x0

Таким образом, получаем последовательность функций

Оказывается, что при определенных условиях эта последовательность сходится к решению исходной задачи Коши. Под этим понимается, что для каждого x из рассматриваемого интервала числовая последовательность (42.2) имеет пределом соответствующее значение решения y(x) .

Справедлива следующая теорема, которую приведём без доказательства.

уравнения.

Пример. Решим этим методом следующую задачу

y′ = x − y, y(0) = 1, y(x) = ?

Подставив под знаком интеграла вместо неизвестной функции y(x) начальное значение y0 = 1 , получим первое приближение

22

23

коэффициент касательной к неизвестной интегральной кривой. Поэтому из

Таким образом, приближённо искомая интегральная кривая заменяется ломаной и приближённые значения искомого решения вычисляются по формуле

yk = yk −1 + f (xk −1, yk −1 )h .

Решение уравнения представляется в виде таблицы с шагом аргумента h

График прибл. реш.

Точное

Рис. 42.2

Пример. Методом Эйлера на отрезке [ 0;0,8 ] получить решение

уравнения y′ = y + x , y(0) = 1. y − x

На рис. 42.3 приведен график точного решения y(x) = x + 2x2 + 1 , которое можно получить, решив уравнение как однородное (решите!), а

сравнения приведены также значения точного и приближённых решений в соответствующих точках.

2.5

Рис. 42.3

25

Лекция 43. Дифференциальные уравнения второго порядка

43.1. Задача Коши. Перейдем теперь к изучению дифференциального уравнения второго порядка. Общий вид этого уравнения следующий

Если из этого уравнения можно выразить старшую производную как функцию остальных переменных

то такое его представление называют формой Коши.

Общее решение уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Например, уравнение y′′ = x легко решается

путем повторного интегрирования

y′ = x + C1 , y = x2 + C1x + C2 .

2

Для выделения частного решения требуется задать два условия. Один из возможных вариантов их задания представляет собой задачу Коши,

Геометрически они означают, что интегральная кривая проходит через заданную точку ( x0 , y0 ) и касательная к интегральной кривой в этой

точке имеет заданный угловой коэффициент y1 . Условия существования и

единственности решения задачи Коши формулируются в следующей теореме.

Теорема Коши. Пусть функции f (x, y, y′) , f y′(x, y, y′) и f y′′ ( x, y, y′) непрерывны в некоторой окрестности точки (x0 , y0 , y1 ) трехмерного

пространства. Тогда существует и единственно решение уравнения (43.2), удовлетворяющее начальным условиям (43.3).

В отличие от дифференциального уравнения первого порядка, для которого при выполнении условий теоремы Коши интегральные кривые не пересекались на плоскости ( x, y) , для дифференциального уравнения

Наша задача свелась к решению этого дифференциального уравнения.

Сложив (43.4) с последним равенством, приходим к дифференциальному уравнению первого порядка

z = y′ = 12 (exa − e−xa ).

28

Ясно, что любая кривая этого семейства имеет одну и ту же форму цепной линии

На рис. 43.2 эта кривая приведена для сравнения вместе с параболой. Таким образом, оказывается, что нить принимает форму

гиперболического косинуса. В оправдание выдающихся ученых, занимающихся этой задачей, стоит сказать, что в то время ещё не было показательной функции с основанием e ≈ 2,71828... . Задачу о провисающей верёвке решил в 1697г. оксфордский астроном и математик Д. Грегори (1661-1708).

43.3. Методы понижения порядка уравнения. Для решения задачи о цепной линии был использован метод, который применяется для дифференциальных уравнений второго порядка вида

29

Введем новую функцию p = p( y) так, чтобы выполнялось y′(x) = p( y(x)) . При этом предполагается, что y(x) ¹ const , так как в этом случае этот

метод не применим (поэтому наличие таких решений нужно проверять отдельно). Найдем

y′′ = dp dy = dp p . dy dx dy

Тогда уравнение (43.5) сводится к уравнению первого порядка

dp p = f ( y, p) dy

относительно неизвестной функции p = p( y) . Пусть p = p( y,C1 ) – его

общее решение. Возвращаясь к исходной переменной, получим дифференциальное уравнение первого порядка

dy = p( y,C1 ) dx

с разделяющимися переменными, решая которое, окончательно найдем общее решение уравнения (43.5)

dy

∫ p( y,C1 ) = x + C2 .

Заметим, что решение получилось как зависимость x = x( y,C1,C2 ) .

30