9111

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

"Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

(ННГАСУ)

Е.Н. Голованова

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-методическое пособие для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Экономико-математические модели управления» для обучающихся по направлению подготовки 09.04.02 Информационные системы и технологии, направленность (профиль) Искусственный интеллект

всистемах и сетях передачи данных, Компьютерная графика и Web-

визуализация, Технология разработки информационных систем

Нижний Новгород

2022

1.ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Целями освоения дисциплины Б.1.О.10.Экономико-математические модели управления являются выработать у обучающихся представление об экономикоматематические методах и моделях анализа конкретной экономической ситуации; развить умения формулировать задачи предметной области и находить критерии и соответствующие способы изучения математических моделей экономики; развить навыки содержательной интерпретации результатов экономико-математического моделирования, полученных при использовании аналитических методов исследования..

Дисциплина относится к обязательной части.

2. ПЕРЕЧЕНЬ ПЛАНИРУЕМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ, СООТНЕСЁННЫХ С ПЛАНИРУЕМЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ ОСВОЕНИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ

Таблица 2.1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине, соотнесённых с планируемыми результатами освоения образовательной программы

4. СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ, СТРУКТУРИРОВАННЫЕ ПО РАЗДЕЛАМ (ТЕМАМ)

4.1. Содержание разделов дисциплины

Таблица 4.1 Содержание разделов дисциплины

1.Линейное программирование 1.1.Введение в линейное программирование

Линейное программирование представляет собой раздел математики, занимающийся изучением оптимальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными и разработкой методов их решения.

Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р2 – соответственно 2 и 3 д.е. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через х1, х2 – количество единиц продукции Р1 и Р2 соответственно. Тогда суммарная прибыль F составит 2x1 д.е. от реализации продукции Р1 и 3х2 д.е. от реализации продукции Р2, то есть

Поскольку количество ресурсов, необходимых для производства продукции ограниченно, составим систему ограничений по ресурсам. Для изготовления продукции потребуется (2x1 + 3x2) единиц ресурса S1, 3x1 единиц ресурса S2 и (x1 + 4x2) единиц ресурса S3. Так как потребление ресурсов S1, S2, S3 не должно превышать их запасов, 20, 18, 10 единиц, соответственно, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой ограничений неравенств:

Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции X (x1 , x2 ) , удовлетворяющий системе ограничений (2), при котором целевая функция (1)

принимает максимальное значение.

Задачу об использовании ресурсов можно обобщить на случай выпуска n видов продукции с использованием m видов ресурсов.

Обозначим через x (j = 1, 2,…,n) – число единиц продукции Pj, запланированной к производству; b1 (i = 1, 2,…,m) – запасы ресурсов Si, aij – число единиц ресурса Si, затрачиваемого на изготовление единицы продукции Pj; cj – прибыль от реализации единицы продукции Pj. Тогда экономико-математическая модель задачи в общей постановке примет вид:

Найти такой план X (x1; x2 ; ; xn ) выпуска продукции, удовлетворяющий системе (4),

при котором функция (3) принимает максимальное значение.

Замечание. Данную задачу называют ещё задачей определения оптимального ассортимента продукции.

Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)

Имеется два вида продукции П1 и П2, содержащие питательные вещества S1, S2, S3, S4 (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.

Таблица 2

Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д.е.

Решение. Обозначим через х1 и х2 – количество продукции П1 и П2, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)

С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x1 + 2x2) единиц питательного вещества S1, (3x1 + 2x2) единиц питательного вещества S2, (2x1 + x2) единиц питательного вещества S3 и (2x1 + 2x2) единиц питательного вещества S4. Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4 в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион X (x1; x2 ) ,

удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.

Сформулируем данную задачу в общей постановке.

Обозначим через xj (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее bi (i = 1,2,…,m) единиц, aij – число единиц питательного