9027

геометрически такое свойство не очевидно. Тем не менее, как мы убедились, однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью. Более того, он обладает двумя системами прямолинейных образующих

(рис. 3.22).

Рис. 3.22

Знаменитый русский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853 - 1939) использовал в строительной технике возможность образования однополостного гиперболоида прямыми линиями. Ему принадлежит идея создания металлических конструкций из балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Эти конструкции обладают большой жёсткостью, прочностью и малым весом. Они

80

применяются для устройства водонапорных башен и высоких радиомачт.

В 1896 году на Всероссийской промышленной и художественной выставке в Нижнем Новгороде были выставлены сетчатые конструкции, изготовленные по проекту В.Г. Шухова: павильоны с висячими покрытиями и павильоны с сетчатыми оболочками, а также гиперболоидная водонапорная башня. Это было моментом рождения рациональной архитектуры, использовавшей новаторские конструктивные формы. В Москве и Нижегородской области сохранились подлинные сооружения В.Г. Шухова, являющиеся памятниками инженерного искусства мирового уровня.

3.7. Рассмотрим далее уравнение

В сечениях плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются гиперболы,

эллипсы (рис. 3.23). Но при z 0 получается уравнение

x2 y2 1, не имеющее решений. Это означает, что a2 b2

поверхность не пересекается с координатной плоскостью xOy , также как со всеми плоскостями

z h , если h c . Следовательно, она состоит из двух

отдельных «полостей», имеющих вид бесконечных выпуклых чаш (рис. 3.24) и называется «двуполостный гиперболоид» .

81

82

Эта поверхность обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a b , то двуполостный гиперболоид становится поверхностью вращения и может быть получен

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz

поверхности, определяемой этим уравнением, получаются пересекающиеся прямые, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOy - эллипсы

(рис. 3.25). Эта поверхность называется конусом второго порядка.

Если a b , то конус становится поверхностью вращения (в этом случае он называется круговым конусом) и может быть получен вращением вокруг оси

Oz прямой z bc y .

83

84

Если ту же прямую закрутить вокруг оси Oy , то

Особенностью конуса является то, что любое его сечение плоскостью, не проходящей через вершину, есть эллипс, гипербола или парабола - в зависимости от наклона секущей плоскости (рис. 3.27). Поэтому эти классические линии со времён Древней Греции называют коническими сечениями. Часто встречаясь в явлениях природы и деятельности человека, эти линии приобрели особое значение после открытия, сделанного из наблюдений И.Кеплером в 1609 году и теоретически обоснованного И.Ньютоном в 1687 году: планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Рис. 3.27

85

3.9. Рассмотрим уравнение

координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются параболы, а в сечениях z h , если h 0 - эллипсы (рис. 3.28). Общий вид поверхности изображен на рисунке 3.29. она называется эллиптическим параболоидом.

Эллиптический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и

Если p q , то параболоид становится поверхностью

вращения (в этом случае он называется параболоидом вращения) и может быть получен вращением параболы вокруг своей оси.

Далее переходим к рассмотрению уравнения

Рис. 3.28

Рис. 3.29

87

Аналогично, каждая плоскость y h пересекает поверхность по «восходящей» параболе, а каждая плоскость x h – по «нисходящей» параболе. В сечениях, параллельных координатной плоскости xOy ,

получаются гиперболы (рис. 3.31). Поверхность обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ) и имеет вид «седла» (рис.

88

89