9011

5

УДК 517.9

Бондарь Е.А. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии: учебнометодическое пособие /Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 92 с. : ил.

– Текст : электронный.

Рассмотрены основы линейной и векторной алгебры, необходимые для понимания теоретических вопросов и задач аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала.

подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».

© Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, 2022 © ННГАСУ, 2022.

3

Элементы линейной алгебры

§ 1. Матрицы и определители

Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел,

состоящая из m строк и n столбцов.

Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки и

обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Пример.

1

3.C – матрица – строка порядка 2 1.

2

Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется

квадратной.

1 2

Пример. D – квадратная матрица порядка 2 2.

3 4

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.

a2 3 6 –элемент матрицы A , находящийся во второй строке и в третьем столбце.

Транспонированной матрицей (обозначаемой как AT ) любой матрицы

A порядка m n называется матрица AT порядка n m, которая получается из матрицы A взаимной заменой строк на столбцы.

4

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствии некоторое число, называемое определителем (или детерминантом) этой матрицы.

Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число

Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется

a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31

a13 a22 a31 a21 a12 a33 a32 a23 a11 .

Правая часть этого равенства представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов,

расположенных в разных строках и разных столбцах матрицы. Соединив линией элементы каждого произведения, получим две легко запоминающиеся

5

схемы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них сомножителями:

1 2 4 4 3 1 8 12 0 0 8 12 0 .

Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица

представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по

определенному правилу.

Свойства определителей

1)Определитель матрицы не меняется при транспонировании.

2)Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3)Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

4)При перестановке двух строк определитель меняет свой знак.

5)Если элементы какой-либо строки умножить на число k, то определитель умножится на это число k.

6)Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.

2 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 6.

Так как 6 0, то данная система имеет единственное решение.

Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:

1 1 1 2 1 5 0 4 3 0 1 10 18.

Далее, по формулам Крамера, находим:

1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.

Ответ: 1; 2;3 .