8785

62

Эта теорема часто используется на практике для вычисления момента некоторой силы в том случае, когда сложно найти плечо самой силы, но легко определить плечи ее составляющих.

7.5ИНВАРИАНТЫ СИСТЕМЫ СИЛ

Первым (векторным) инвариантом системы сил является главный век-

тор, посколькуон не зависит от точки приведения.

В отличие от главного вектора главный момент не является инвариантом.При переносе центра приведения из точки О в точку А его величина меняется по закону

Второе слагаемое в правой части равно нулю, поскольку является скалярным произведением взаимно перпендикулярных векторов.

Следовательно MB ×R = MA ×R,что и требовалось доказать.

Таким образом,

скалярное произведение главного момента на главный вектор является вторым (скалярным) инвариантом системы сил.

Итак, каждая система сил имеет две не зависящие от центра приведения характеристики:

1.векторный инвариант, которым является главный вектор R ;

2.скалярный инвариант, которым является скалярное произведение главного момента на главный вектор.

Первый и второй инварианты независимы, то есть из одного из них не

следует другой.

63

Иногда в качестве скалярного инварианта системы сил принимают про-

екцию главного момента на направление главного вектора.

Модуль главного вектора не зависит от точки приведения. Поделив на него левую и правую части равенства получим:

ляющий вектор главного вектора.

Выражения в левой и правой частях представляют собой проекции главного момента на направление главного вектора. На рис. 7.5 показано, что для различных точек пространства эта величина одинакова, то есть не зависит от выбора центра приведения.

A B O

Рис. 7.5

7.6.ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИНТ, ГЛАВНАЯ ОСЬ СИСТЕМЫ СИЛ

По основной теореме статики (§7.2) система сил при приведении к произвольной точке пространства заменяется силой, равной главному вектору, и парой сил с моментом, равным главному вектору системы относительно точки приведения. Для некоторых точек пространства полученные в результате приведения главный вектор и главный момент окажутся коллинеарными, как это показано на рис. 7.5,в. Можно показать, что такие точки будут лежать на одной прямой.

Дадим определение:

64

геометрическое место точек, для которых главный вектор и главный момент системы сил коллинеарны, называется главной осью системы сил.

Рассмотрим случай когда к материальному телу приложена сила и пара сил таким образом, что линия действия силы расположена перпендикулярно плоскости действия сил пары.

Рис. 7.6

Эта система сил не может быть более упрощена.

Такая система сил называется динамическим винтом, силовым винтом или динамой.

Тема 8.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМ СИЛ

В частных случаях, когда на систему сил наложены какие-либо ограничения, число необходимых уравнений равновесия может быть меньше шести, поскольку часть из них будут являться тождествами.

Рассмотрим примеры.

Наиболее важной с точки зрения практического применения является случай, когда все силы расположены в одной плоскости. Такие системы называют плоски-

ми системами сил.

8.1. ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

66

Моменты присоединенных пар равны моментам сил системы относительно центра приведения, то есть

( R R′)= ( R )= ±

mi Fi , Fi MO Fi Fihi

Сложив алгебраические моменты всех сил относительно точки О, получим алгебраический главный момент системы сил относительно точки О.

Таким образом (рис. 8.1,в),

силы, произвольно расположенные на плоскости, можно привести к одной силе, приложенной в центре приведения, равной главному вектору данной системы сил, и к лежащей в той же плоскости паре сил с алгебраическим моментом, равным главному алгебраическому моменту системы сил относительно центра приведения.

То есть

( R R R ) ≡ ( R ).

F1 , F2 , ..., Fn R, MO

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора, но влияет на величину и знак главного момента.

8.2. УПРОЩЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Итак, любая плоская система сил может быть заменена

∙одной силой (равной главному вектору системы сил R и приложенной в центре приведения О) и/или

∙одной парой (с алгебраическим моментом, равным главному алгебраическому моменту системы сил относительно центра приведения MO ).

Однако в ряде случаев и эту систему сил можно упростить. Рассмотрим эти случаи.

1. Если R= 0 и MO = 0 , то система сил уравновешена (эквивалентна нулю), дальней-

шее упрощение ее невозможно.

2. Если R= 0 и MO ¹ 0 , то система сил эквивалентна одной паре сил, дальнейшее упрощение ее невозможно.

3. Если R¹ 0 и MO = 0 , то система сил эквивалентна одной силе, то есть имеет равно-

действующую, которая проходит через центр приведения О, Дальнейшее упрощение системы невозможно.

67

4. Если R¹ 0 и MO ¹ 0 , (имеются и сила и пара), то система сил оказывается экви-

валентной одной силе R , т. е. имеет равнодействующую равную главному вектору, которая не проходит через центр приведения О.

Рис. 8.2

Рассмотрим последний случайподробнее (рис. 8.2).

Так как элементы пары можно изменять, сохраняя при этом ее момент, распо-

( R R′)

ложим пару R, R , момент которой равен главному моменту системы сил MO сле-

дующим образом:

R

Исходная система сил оказывается эквивалентной одной силе R , т. е. имеет равнодействующую (равную главному вектору), линия действия которой проходит на расстоянииh = M0 R от центра О.

8.3. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Поскольку плоская система сил является частным случаем произвольной пространственной системы сил, для нее справедливы те же условия уравновешенности, что и для пространственной системы.