8459

неравномерности распределения температуры в теле. При Bi 0 (практически при Bi 0,1) =1. При Bi (практически при Bi 100) =0.

При Bi , или, что то же, , темп охлаждения становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности материала тела (Вторая теорема Кондратьева [1]).

Коэффициент пропорциональности К зависит от геометрической формы и размеров тела. Докажем это на примере охлаждения пластины. Напомним, что из соотношения (4.12) следует

μ 2 a m 1 ,

δ2

при Bi имеем ctg 0, а стремится к своему предельному значению /2. С учетом этого коэффициент пропорциональности для пластины равен

На основе теории регулярного режима разработаны различные экспериментальные методы определения теплофизических свойств разных материалов. При определении этих свойств поступают следующим образом. Для определения коэффициента температуропроводности используют a- калориметр, имеющий форму цилиндра или шара. Создают условия охлаждения, близкие к , измеряют изменение избыточной температуры во времени и строят зависимость в полулогарифмических координатах. По соотношению (4.15) определяют темп охлаждения, а по формуле (4.19) рассчитывают коэффициент температуропроводности.

41

5.Конвективный теплообмен

5.1.Основные понятия и определения

Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс теплообмена при движении жидкости. При этом перенос теплоты осуществляется одновременно, как это показано в главе 1, конвекцией и теплопроводностью. В любой точке потока жидкости плотность теплового потока определяется соотношением (2.3)

. q q K qT ρwcp T λ grad T

Поэтому, если определить плотность теплового потока в точках на границе обтекаемого жидкостью твердого тела и проинтегрировать по всей поверхности, то можно рассчитать поток тепла, подводимый (или отводимый) к этому телу. Если проинтегрировать полученное соотношение для потока тепла по интересующему нас промежутку времени, то можно определить количество тепла, подведенного (или отведенного) к телу за этот промежуток времени. Однако, как это видно из соотношения для плотности теплового потока, для этого необходимо знание полей скоростей и температур в движущейся жидкости. Для определения этих полей можно использовать дифференциальные уравнения сохранения массы (уравнение неразрывности), сохранения энергии (уравнение энергии) и уравнение движения в проекциях на координатные оси, которые были выведены в главе 2. Система этих пяти уравнений при соответствующих краевых условиях для конкретной задачи конвективного теплообмена, в принципе, казалось бы, позволяет решить задачу. Т.е. определить поле температур T=T(x,y,z, ), поля проекций скоростей на оси координат wx=wx(x,y,z, ), wy=wy(x,y,z, ), wz=wz(x,y,z, ) и поле давлений p=p(x,y,z, ). Попытки аналитического решения системы уравнений, даже для ламинарного течения жидкости, наталкиваются на серьезные математические трудности. При ламинарном течении жидкости частицы жидкости движутся без перемешивания, слоисто. Поперек потока ламинарно-текущей жидкости тепло передается только теплопроводностью. Турбулентное течение жидкости представляет собой хаотическое движение разных по размерам частиц жидкости с их перемешиванием. Любая физическая величина (температура, скорость, давление и т.д.), измеренная в фиксированной точке турбулентного потока жидкости, показывает хаотические пульсации около некоторого среднего во времени значения. Мгновенные значения скорости w, температуры T, давления р можно представить в виде суммы средних во времени значений и пульсационных:

Если подставить эти мгновенные значения скорости w, температуры T, давления р в выведенные в главе 2 дифференциальные уравнения конвективного теплообмена, то последние существенно усложняются. Физический анализ процессов конвективного теплообмена показывает, что в ряде случаев дифференциальные уравнения могут быть упрощены без внесения

42

существенных погрешностей. Например, математическая формулировка задачи может быть упрощена при использовании понятия пограничного слоя.

5.2.Гидродинамический и тепловой пограничные слои

Винженерной практике особый интерес представляют задачи теплообмена между движущейся жидкостью и омываемым ею твердым телом. В настоящее время при течении вязкой жидкости получила признание гипотеза о том, что частицы жидкости, непосредственно прилегающие к твердому телу, адсорбируются им, как бы прилипают к его поверхности. Т.е. их скорость равна скорости твердого тела (а если тело неподвижно, то нулю). Этот слой «прилипшей» жидкости нужно рассматривать как бесконечно тонкий слой. Равенство нулю скорости жидкости на стенке выполняется до тех пор, пока газ можно считать сплошной средой. По мере увеличения разряжения газа ослабляется его взаимодействие со стенкой, и разряженный газ вблизи стенки начинает проскальзывать. Степень разряжения газа характеризуется числом

Кнудсена Kn / 0 , представляющего отношение средней длины свободного пробега молекул газа к характерному размеру твердого тела (например, диаметру трубы или проволоки). Если примерно Kn 0,001, то газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду. В дальнейшем будем полагать, что газ – сплошная среда и условия «прилипания» выполняются.

Так как у поверхности твердого тела имеется тонкий слой неподвижной жидкости, то плотность теплового потока на стенке может быть определена по уравнению Фурье

q c λ ( T/ n) n 0 ,

где – коэффициент теплопроводности жидкости, n- нормаль к поверхности тела.

Если известно температурное поле, то qc можно вычислить, не обращаясь к закону теплоотдачи Ньютона-Рихмана

q c α (Tc Tж ) .

По известному температурному полю в жидкости можно определить коэффициент теплоотдачи, приравнивая правые части этих уравнений

Рассмотрим на рис. 5.1 продольное обтекание плоской поверхности тела безграничным потоком жидкости. Скорость и температура потока жидкости вдали от тела постоянны и равны соответственно w0 и T0. При соприкосновении частиц жидкости с поверхностью тела они «прилипают» к ней. В области около пластины вследствие действия сил вязкости образуется тонкий слой заторможенной жидкости. В пределах этого слоя скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока (вдали от тела). Этот слой заторможенной жидкости получил название гидродинамического пограничного слоя.

43

невозмущенного потока. Таким образом, при обтекании тела поток жидкости как бы разделяется на две части: пограничный слой и внешний поток. Во внешнем потоке преобладают силы инерции, а вязкими силами можно пренебречь. Напротив, в пограничном слое силы инерции и вязкости соизмеримы, но иногда можно пренебречь силами давления и массовыми силами. Эти обстоятельства позволяют упростить выведенные в главе 2 уравнения движения вязкой жидкости как для области пограничного слоя, так и для внешнего потока.

Аналогично понятию гидродинамического пограничного слоя было введено понятие теплового пограничного слоя. Тепловой пограничный слой – это слой жидкости у стенки толщиной к (см. рис. 5.1), в пределах которого температура изменяется от значения, равного температуре стенки Тс до 0,99 Т0 температуры невозмущенного потока. Все изменения температуры локализованы в сравнительно тонком слое, непосредственно прилегающем к поверхности тела. Для области внутри теплового пограничного слоя

можно пренебречь теплопроводностью вдоль слоя по сравнению с поперечным переносом теплоты. Это упрощает уравнение энергии, выведенное в главе 2. Толщины гидродинамического и теплового пограничных слоев в общем случае не совпадают. Они зависят от рода жидкости и параметров процесса течения и теплообмена.

44

5.3. Подобие и моделирование процессов конвективного теплообмена

Вследствие сложности процессов конвективного теплообмена при его изучении широко используются методы экспериментального исследования. В эксперименте получают синтезированные сведения о процессе конвективного теплообмена. Влияние отдельных факторов не всегда легко выделить. Эти трудности помогает преодолеть теория подобия. Основой теории подобия является математическая формулировка краевой задачи конвективного теплообмена.

Пусть поверхность твердого тела обтекается стационарным потоком несжимаемой жидкости. Скорость и температура жидкости вдали от тела постоянны и равны соответственно w0 и T0 (см. рис. 5.1). Размер тела 0 в направлении течения задан. По направлениям z тело неограниченно. Температура поверхности тела равна Тс. Для определенности примем, что Тс T0. Полагаем, что физические свойства жидкости постоянны (учтем, как это делали в главе 2, только подъемную силу, возникающую в результате зависимости плотности от температуры). Рассматриваемый процесс конвективного теплообмена является стационарным. Поля скоростей, температур и давлений в жидкости двумерны и не зависят от координаты z.

Вводя, как обычно, избыточную температуру Т Т0 , уравнение теплоотдачи можно записать в виде

Уравнение энергии (2.4) в нашем случае имеет вид

Все величины в уравнениях и условиях однозначности можно подразделить на три вида:

независимые переменные – это координаты x,y;

45

координат wx, wy, поле давлений р зависят от большого числа величин. Они являются функциями независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия однозначности, например,

Так как коэффициент теплоотдачи имеет смысл только на поверхности тела при у=0,то он не зависит от независимой переменной у.

Если бы удалось аналитически решить систему дифференциальных уравнений (5.2) – (5.5) при заданных краевых условиях, то был бы определен конкретный вид функций f1 и f2. Однако попытки аналитически решить систему дифференциальных уравнений (5.2) – (5.5) наталкиваются на серьезные трудности из-за нелинейности уравнения движения. Можно было бы попытаться найти вид функций f1 и f2 опытным путем. Однако не всегда легко проводить и опытное исследование. Для определения влияния на процесс теплообмена какой-либо одной величины остальные величины нужно сохранять неизменными в опыте. Это условие не всегда можно выполнить из-за большого количества переменных. Кроме того, при этом нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо опытной установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образцы). Величины, содержащиеся в уравнениях (5.2) – (5.5) и условиях однозначности, можно сгруппировать в безразмерные комплексы. Число безразмерных комплексов будет меньше числа размерных величин. Для приведения уравнений (5.2) – (5.5) и условий однозначности к безразмерному виду выберем в качестве масштабов постоянные величины, входящие в условия

однозначности: для длины o, для скорости w0, для температуры с. Обозначим безразмерные величины:

тогда размерные величины можно записать в виде

Подставив эти размерные величины в уравнения (5.2) – (5.5) и граничные условия, получим: безразмерное уравнение теплоотдачи

безразмерное уравнение энергии

46

называют числом Рейнольдса. Оно характеризует соотношение сил инерции и сил вязкого трения. Число Рейнольдса можно получить, если член уравнения движения, учитывающий инерционные силы, разделить на член, учитывающий в этом уравнении силы вязкого трения. Число Рейнольдса часто используют для характеристики режима течения жидкости: ламинарного или турбулентного. При числах Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Reкр, инерционные силы уравновешены силами вязкого трения, имеет место упорядоченное ламинарное течение жидкости. При числах Рейнольдса, больших критического значения Reкр, инерционные силы разрушают упорядоченное течение, и возникает турбулентное течение жидкости. Безразмерный комплекс

называют числом Грасгофа. Оно характеризует отношение подъемной силы, возникающей в жидкости вследствие разности плотностей, к силе вязкого трения. Это число широко используют в задачах теплообмена при естественной конвекции жидкости. Безразмерный комплекс

называют числом Эйлера. Это число характеризует соотношение в потоке жидкости сил давления и сил инерции. В уравнении движения это число входит только под знаком производной. Следовательно, для рассматриваемого процесса существенно не абсолютное значение давления, а его изменение.

При неизменной математической формулировке задачи новые безразмерные комплексы могут быть получены путем соответствующего комбинирования старых комплексов. Однако при этом число переменных под знаком функции в зависимости определяемых комплексов от определяющих не должно измениться. Если разделить число Пекле на число Рейнольдса, то получим

Безразмерный комплекс Pr представляет собой новую переменную, называемую числом Прандтля. Число Прандтля целиком составлено из физических параметров жидкости, а поэтому и само является физическим параметром. Все жидкости в зависимости от числа Прандтля можно подразделить на три типа. Жидкости, для которых Pr 1, это все капельные неметаллические жидкости. В случае теплообмена при течении таких жидкостей, толщина гидродинамического пограничного слоя больше толщины теплового пограничного слоя. Жидкости, для которых Pr 1, это все газообразные среды. Для них толщина гидродинамического пограничного слоя приблизительно равна толщине теплового пограничного слоя. Жидкости, для которых Pr 1, это все металлические жидкости. Для них толщина

48

гидродинамического пограничного слоя меньше толщины теплового пограничного слоя.

Безразмерные величины θ, X, Y, Wx , Wy , Nu, Re, Gr, Pr, Eu являются теперь

новыми переменными. Их можно подразделить на три группы: независимые переменные – это безразмерные координаты X, Y; зависимые переменные – это θ, Nu, Wx , Wy , Eu ;

θ, Nu, Wx , Wy , Eu;

определяющие – это числа, составленные из независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия однозначности X, Y, Re, Gr, Pr.

Числа подобия, составленные из заданных параметров (постоянных) математического описания процесса, называют также критериями подобия.

Сравнивая соотношения (5.6), (5.7) и (5.18), (5.19), можно отметить, что в последних число переменных под знаком функций существенно меньше. Это значительно упрощает обработку опытных данных по теплоотдаче и их анализ. Весьма часто инженерную практику интересуют не локальные значения коэффициента теплоотдачи, а осредненные для всей поверхности теплообмена значения коэффициента теплоотдачи. В этом случае из соотношения (5.19) имеем

Иногда при течении жидкости можно пренебречь теми или иными действующими силами по сравнению с другими. Например, при свободной (естественной) конвекции жидкости можно пренебречь силами инерции по сравнению с подъемными и вязкими силами. В этом случае теплоотдача не зависит от числа Рейнольдса и для осредненного по всей поверхности его значения имеем

Для газообразных сред число Прандтля Pr 1, и соотношение (5.21) можно записать в виде

49

При вынужденном движении жидкости в каналах и трубах часто можно пренебречь подъемными силами по сравнению с вязкими и инерционными силами. Тогда для осредненного для всей смоченной поверхности канала или трубы безразмерного коэффициента теплоотдачи имеем

При течении в каналах и трубах газообразных сред при Pr 1 соотношение (5.23) можно записать в виде

Как видно, полученная система безразмерных дифференциальных уравнений (5.8) – (5.11) описывает бесконечное множество конкретных процессов конвективного теплообмена, характеризующихся одинаковым механизмом. В главе 3 мы познакомились с теплопроводностью.

Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности описывает бесчисленное множество процессов, принадлежащих к одному и тому же классу. Общность этих процессов определяется одинаковым микроскопическим механизмом переноса тепловой энергии. Однако известны и другие дифференциальные уравнения, аналогичные по форме записи уравнению теплопроводности, например, уравнение электрического потенциала. Если для температуры и электрического потенциала ввести одинаковые обозначения, то оба уравнения по своему внешнему виду не будут отличаться друг от друга. Хотя по форме записи оба уравнения совпадают, физическое содержание входящих в них величин различно. Такие явления природы называются аналогичными. Дифференциальные уравнения отражают наиболее общие черты явлений и не учитывают частные особенности. Такими особенностями являются форма и размеры системы, в которой протекает конвективный теплообмен. К частным особенностям относятся также физические свойства жидкости и условия протекания процесса на границах системы. Поэтому частные особенности различных явлений одного и того же класса определяются условиями однозначности.

Проведенный анализ позволяет сформулировать общие условия подобия процессов конвективного теплообмена в виде трех правил:

1.Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи безразмерными дифференциальными уравнениями.

2.Безразмерные условия однозначности подобных процессов должны быть численно одинаковыми.

3.Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение.

При вынужденном движении жидкости мы пренебрегали подъемными гравитационными силами. Очевидно, что это меняет механизм теплообмена и его математическое описание. Такие процессы не будут подобны процессам, в которых учитываются подъемные гравитационные силы. Из первого и Второго

50