8443

121

элементов тока провода быстро убывает с расстоянием до точки наблюдения, а у витка все элементы вносят одинаковый вклад.

3.4.Линии индукции магнитного поля. Циркуляция

Для наглядного графического изображения магнитного поля так же, как в случае электрического поля, используют линии индукции магнитного поля.

Линия индукции магнитного поля (силовая линия) это линия, касательная в которой в данной точке совпадает с направлением вектора В.

Найдем направление вектора индукции магнитного поля прямого провода с током в разных точках пространства.

B B

R

Вектор индукции во всех точках окружности радиуса R одинаков по величине и направлен по касательной. Следовательно, линия индукции прямого провода с током есть окружность с центром на оси провода.

Принимая во внимание закон Био – Савара – Лапласа, можно сделать вывод, что линии индукции магнитного поля всегда замкнуты. Так обстоит дело с силовыми линиями элемента тока, которые вблизи от элемента похожи на линии бесконечного прямого тока. Для проводника произвольной формы такая форма линий сохраняется вблизи от провода, где наибольший вклад в поле дает ближайший к точке наблюдения элемент тока.

Замкнутый характер силовых линий магнитного поля принципиально отличает их от аналогичных линий электростатического поля. Это проявляется при вычислении циркуляции поля. Циркуляцией СВ вектораВ по замкнутому

контуру L называется интеграл:

CB = ∫ B × dL .

В том случае, если циркуляция равна нулю поле называют безвихревым или потенциальным. Если циркуляция отлична от нуля, поле имеет вихревой характер. Таким образом можно сказать, что электростатическое поле – безвихревое.

Вычислим циркуляцию магнитного поля прямого провода с током, равным I. В

122

качестве контура L выберем одну линию индукции магнитного поля (окружность радиуса R, изображенную на последнем рисунке).

dl

R

B

Т.к. вектора коллинеарны, то B × dL = B × dL . Тогда

Таким образом мы получили, что циркуляция магнитного прямого провода с током по замкнутому контуру пропорциональна току.

Замечание: Мы убедились, что COB = μµ0I в одном частном случае, однако можно убедиться, что этот закон справедлив всегда. Только справа должен стоять суммарный ток, пронизывающий площадь S(L) , ограниченную контуром L .

S (L)

Закон (теорема) о циркуляции магнитного поля: циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру пропорциональна величине суммарного тока, пронизывающего поверхность, ограниченную этим контуром.

– сумма токов, которые пронизывают поверхность S (L), ограниченную контуром L.

Используя плотность тока j этот закон можно записать так:

Это соотношение может быть использовано вместо закона Био – Савара – Лапласа для расчета магнитного поля по заданному распределению токов. Если к токам проводимости добавить токи смещения, имеющие место при переменных во времени электрических полях, то полученное соотношение будет представлять собой одно из системы уравнений Максвелла, позволяющей рассчитывать электромагнитные поля во всех ситуациях.

Воспользуемся законом о циркуляции для вычисления индукции магнитного поля внутри длинного соленоида – цилиндрической катушки, на

поверхности которой намотан провод (в изоляции), по которому пропущен ток. В случае длинного соленоида можно пренебречь влиянием его торцов.

123

Магнитное поле соленоида представляет собой сумму полей всех его витков и поэтому направлено вдоль оси.

Выберем точку наблюдения внутри соленоида. Исследуем замкнутый контур

1-2-3-4.

следовательно, их скалярное произведение равно 0. Окончательно: COB = BL12 . Далее в соответствии с законом о циркуляции, находим суммарный ток, пронизывающий площадку S(L), ограниченную контуром интегрирования. Замечаем, что каждый виток соленоида, расположенный на отрезке L12 пронизывает этот контур. Таких витков будет N штук, следовательно

суммарный ток в N раз больше, чем I, т.е.

Магнитное поле соленоида определяется произведением тока на число витков, т.е. числом ампер-витков. Удобно использовать также количество

магнитного поля длинного соленоида получим :

B = μμ0 nI -

Реальные соленоиды имеют конечную длину, поэтому данная формула справедлива вблизи центральной части соленоида, а при приближении к его концам поле уменьшается. Нетрудно убедиться, что поле в торцевой части соленоида в два раза меньше, чем в центральной части, поскольку витки расположены только с одной стороны от точки наблюдения.

3.5.Взаимодействие параллельных токов

Пусть имеется два параллельных проводника, длиной L1 и L2 , расположенных на расстоянии R друг от друга. Если по проводникам текут токи I1 и I 2 , то проводники взаимодействуют через создаваемое ими магнитное

124

поле. Сила F12 действующая на первый проводник со стороны второго может быть найдена по закону Ампера: F12 = [L1 I1 ; B2 ], где B2 - магнитное поле второго проводника в точках расположения первого:

I1

В2

Это поле перпендикулярно первому проводнику и обуславливает силу притяжения F12 = L1 I1 B2 , если токи в проводниках одного направления и силу отталкивания в случае токов противоположного направления. Объединяя две последние формулы для модуля силы получим выражение:

Аналогично можно вычислить силу F21 действия первого проводника на второй. Мы предлагаем Вам повторить аналогичные рассуждения в качестве упражнения. Однако симметрия задачи позволяет сразу записать выражение для величины этой силы. Действительно, поскольку проводники полностью равноправны, при замене их местами нужно просто изменить их номера. Таким

При этом сила, действующая на единицу длины проводника одинакова для

обоих проводников:

F12 = F21 = μμ0 I1 I 2 .

L1 L2 2πR

Полученная формула в системе единиц СИ положена в основу определения единицы силы тока Ампер (А), которая является основной среди электрических

Поэтому можно сказать, что один Ампер, это сила такого тока, который,

125

протекая по каждому из двух параллельных длинных проводников, вызывает действие силы 2 ×10−7 Н , на единицу длины проводника.

3.6.Рамка с током в магнитном поле. Магнитный момент

Предположим имеется прямоугольная рамка из проволоки, которая может вращаться относительно вертикальной оси , лежащей в плоскости рамки, а однородное магнитное поле - горизонтально. Если по рамке пропускать ток I, на проводники рамки будут действовать силы Ампера. Поскольку токи в параллельных сторонах рамки имеют противоположные направления, а длины и магнитные поля одинаковы, ясно что силы действующие на противоположные стороны в сумме дают 0. Следовательно равнодействующая всех сил действующих на рамку равна нулю. Это же справедливо и для рамки произвольной формы. В то же время, как мы сейчас увидим, на рамку с током в магнитном поле действует вращающий момент.

Положение рамки, как и любого витка с током принято характеризовать единичным вектором нормали n к плоскости витка. Если угол между вектором нормали и магнитным полем равен α, то силы действующие на горизонтальные стороны рамки (длиной L1 ) равны FВЕРТ = IL1 Bcosα . Эти силы имеют вертикальные направления и не создают вращающего момента относительно оси рамки. Силы, действующие на вертикальные стороны рамки (длиной L2 ) равны FГОР = IL2 × B . Плечо каждой из этих сил относительно вертикальной оси равно d = (L1/2)sinα . Поэтому суммарный вращающий момент сил, действующих на рамку в магнитном поле равен:

M = 2FГОР × d = IL1 L2 Bsinα .

Как видим, существуют два положения, при которых вращающий момент обращается в ноль, когда нормаль рамки направлена вдоль или противоположна магнитному полю (α = 0, π ) . Это положения равновесия рамки. Одно из этих положения является неустойчивым, а второе устойчивым. Таким образом можно заключить что рамка с током, помещенная в однородное магнитное поле будет поворачиваться пока не займет устойчивого положения равновесия, в котором плоскость рамки перпендикулярна полю. Так же ведет себя в магнитном поле стрелка компаса.

Описанное явление вращения рамки с током в магнитном поле находит практическое применение в электродвигателях и в измерительных приборах.

Аналогичным свойством вращения в магнитном поле обладают витки с током независимо от их формы. Ниже мы приведем без вывода общие формулы для вращающего момента, справедливые для любых витков.

Вектором магнитного момента называют произведение силу тока в витке на площадь витка и на единичный вектор нормали к витку: pm = ISn ,причем из двух возможных направлений нормали нужно взять то, при котором из конца вектораn ток в витке виден текущим против часовой стрелки. Из сказанного ясно, что вектор магнитного момента витка направлен по нормали к витку.

126

Величина магнитного момента рамки с током, рассмотренной выше, равна pm = IL1 L2 .

Используя понятие магнитного момента, выражение для вращающего момента, действующего на виток с током в однородном магнитном поле удобно записать в следующем виде:

= R

M [ pm ; B] .

Эта формула определяет и величину момента и ось вращения витка в магнитном поле. В частном случае прямоугольной рамки с током эта формула соответствует величине момента сил, полученной в начале параграфа, а направление момента показано на рисунке.

3.7.Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

При движении заряженных частиц в магнитном поле на них действует сила, называемая силой Лоренца FЛ , направленная перпендикулярно скорости частицы V и индукции магнитного поля B :

FЛ = q ×[V ; B], q- заряд частицы.

Величину силы Лоренца можно вычислить по формуле модуля векторного произведения: FЛ = q ×VB × sinα , где a - угол между направлением скорости и индукции магнитного поля. На рисунке показано расположение указанных векторов в случае положительного заряда.

Поскольку движение заряженной частицы в магнитном поле эквивалентно току, ясно что направление силы Лоренца можно определять, как и силы Ампера, по правилу левой руки. Следует при этом иметь в виду, что за направление тока принимается движение положительного заряда. Закон Ампера может быть получен из выражения для силы Лоренца, если просуммировать все силы, действующие на движущиеся в проводнике носители заряда при протекании по нему тока. Поэтому можно сказать, что проявление силы Лоренца является более фундаментальным научным фактом.

Наличие силы, действующей на заряженные частицы в магнитном поле, существенно определяет характер их движения. Очень важным является то, что сила перпендикулярна скорости. Как известно из механики такая сила не совершает работы, следовательно сохраняется кинетическая энергия, а следовательно и модуль скорости частицы. Рассмотрим три возможных случая.

движется равномерно и прямолинейно.

127

2. Если частица влетает в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям (α = π / 2 ), то она движется с ускорением FЛ /m, перпендикулярным скорости и магнитному полю, с постоянной по величине скоростью. Такое движение представляет собой равномерное вращение по окружности вокруг силовой линии магнитного поля. Получим выражение для радиуса окружности. Если скорость равна V ,

Важно, что период вращения не зависит от скорости частицы. Поэтому частицы одного сорта делают один оборот вокруг силовой линии за одинаковое время, хотя радиус окружности зависит от скорости частиц.

3.В общем случае, частица, влетающая в магнитное поле со скоростью

V, имеет составляющую скорости вдоль магнитного поля, равную V|| = Vcosα и перпендикулярную полю V = Vsinα . Таким образом,

результирующее движение представляет совокупность равномерного вращения вокруг силовой линии и дрейф вдоль силовой линии с постоянной скоростью. Траектория такого движения представляет винтовую линию. Радиус винтовой линии и период вращения определяются прежде полученными соотношениями. Расстояние между витками или шаг винтовой линии h может быть вычислен по формуле:

h = V|| ×T .

Движение заряженных частиц в магнитных полях встречается во многих природных явлениях таких как полярные сияния, солнечные вспышки. Жизнь на Земле обязана своим существованием, в частности, наличию силы Лоренца. Заставляя космические заряженные частицы двигаться по окружности, земное магнитное поле защищает поверхность планеты от высокоэнергичных корпускул. Энергичные частицы совершают движение по винтовым линиям вдоль магнитного поля, образуя радиационные пояса Земли.

Особенности движение заряженных частиц в магнитном поле используются в физике высоких энергий (ускорители), в электронике для создания генераторов излучения, в термоядерной энергетике для магнитного удержания плазмы.

128

3.8.Работа по перемещению проводника в магнитном поле

В настоящем параграфе на простой модели будет получено полезное соотношение для расчета работы при движении проводника с током в магнитном поле.

Пусть имеется цепь, по которой течет постоянный ток. Провод длиной L, изображенный на рисунке вертикальным, может скользить по горизонтальным подводящим проводам сохраняя электрический контакт с ними. Вся схема находится во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости рисунка. При этом на подвижный проводник будет действовать сила Ампера, также изображенная на рисунке.

Вычислим работу силы Ампера, если перемещение проводника равно r .

I r

Вычисление работы представим последовательностью формул:

Здесь учтено что, во-первых, сила перпендикулярна перемещению, во-вторых, ток в проводнике перпендикулярен магнитному полю, а кроме того, введено обозначение DS для площади, покрытой проводником при движении (эта же величина представляет собой увеличение площади замкнутого контура, по которому течет ток).

Величина DФ = В × DS представляет собой поток вектора магнитной индукции (или магнитный поток) через площадку DS , перпендикулярную магнитному полю. В случае произвольной площадки поток вектора

магнитной индукции Ф равен: DФ = В × DS = В × DS × cosα , где α -угол между

направлением вектора В и нормалью к площадке.

Нетрудно заметить, что понятие магнитного потока аналогично потоку вектора напряженности электрического поля. В физике рассматриваются потоки и других векторных полей, причем все они определяются аналогично. Например поток вектора скорости несжимаемой жидкости через площадь поперечного сечения трубы равен объему жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени.

129

Таким образом, полученная нами формула для работы может быть записана

сиспользованием понятия магнитного потока :

А= I × DФ ,

что означает, что работа по перемещению проводника с постоянным током в магнитном поле равна величине тока, умноженной на изменение магнитного потока через замкнутый контур, в который входит проводник.

Данная формула универсальна, хотя мы получили ее в частном случае. Удобство этой формулы состоит в том, что в ряде случаев при вычислении работы можно избежать интегрирования (например, вычисляя работу при повороте рамки с током в магнитном поле) .

Вопросы для самоконтроля и повторения

1.Что представляет собой магнитное поле, какими свойствами оно обладает?

2.Что называют индукцией магнитного поля? Как определяют направление вектора магнитной индукции?

3.Как связаны векторы напряженности и индукции магнитного поля?

4.Запишите закон Био-Савара-Лапласа. Что позволяет рассчитывать применение этого закона?

5.Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля, дайте их определения.

6.Сформулируйте закон Ампера. Какая сила действует со стороны магнитного поля на движущийся заряд? Чему она равна?

7.В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции? Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов E и B ?

8.Что называют потоком вектора магнитной индукции? Сформулируйте теорему Гаусса для магнитного поля, объясните ее физический смысл.

9.Из каких магнитных моментов складывается магнитный момент атома? Что такое намагниченность вещества?

10.Какие вещества называют диамагнетиками, парамагнетиками, ферромагнетиками? Каков механизм намагничивания ферромагнетиков? Что такое точка Кюри?

4.Электромагнитная индукция

Впредыдущих главах было выяснено, что электрическое поле вызывает протекание электрического тока в проводнике и, вследствие этого, приводит к возникновению магнитного поля. Как будет показано ниже, возможны и обратные процессы, при которых магнитное поле порождает поле

электрическое. Таким образом мы придем выводу о взаимной связи электрических и магнитных полей или к понятию электромагнитного поля.