8203
.pdfy y f x
f c
a c |
b |
x |
|
|
Рис. 22 |
|
|
1 |
h |
|
Число f c |
f x dx называется средним значением функции |
||
|
|||
|
b a a |
fx на отрезке a,b .
7.Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела:
x |
|
|
f x . |
|
f t dt |
|
|
a |
x |
|
|
6. Вычисление определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.
Теорема. Если F x – одна из первообразных непрерывной на отрезке
a,b функции f x , то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница:
b |
|
|
f x dx F x ba |
F b F a . |
(4.1) |
a
50
Доказательство. |
Доказательство |
проведем, |
|
используя |
свойство |
7. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f t dt |
|
обозначим определенный интеграл с переменным верхним пределом |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через функцию |
F x , |
т.е. F x |
f t dt . Тогда в силу свойства 7 |
можно |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
f |
x . |
Следовательно, F x |
является одной |
|||||||||||
записать F x f t dt |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из первообразных для интеграла |
f t dt . |
Так |
как, |
все |
|
первообразные |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
отличаются |
на |
постоянную, то |
имеет |
место |
равенство |
f t |
dt F x C , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a x b, |
где |
C – некоторое |
число. Подставляя |
в |
это |
равенство значение |
|||||||||||||||
|
|
a |
|
t dt |
F a C |
0 F a C |
C F a , т.е. |
|
|||||||||||||
x a, |
имеем f |
для |
|||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a,b |
|
|
|
|
|
x |
t dt |
F x F a . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
любого |
имеем f |
Полагая x b, получаем |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x dx F b F a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
соотношение |
|
|
|
f |
|
Обозначим |
|
разность |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F b F a F x |
|
b . |
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ba |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виде f x dx F x |
|
F b F a . Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что при вычислении |
|||||||||||||||||||||
определенного |
|
интеграла |
надо |
найти |
первообразную |
|
F x |
|
для |
||||||||||||
подынтегральной |
функции |
f x |
и |
вычислить |
разность |
F b F a . |
Следовательно, формально все сводится к вычислению неопределенного интеграла, и здесь применимы все методы вычисления неопределенного интеграла.
51
2
Пример. Вычислить x2 dx .
1
|
Решение. |
|
|
Взяв |
неопределенный интеграл x2 dx |
x3 |
C |
и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
воспользовавшись формулой (4.1), решаем: |
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 dx x |
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
3 |
|
8 1 7 2 1 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Вычисление определенного интеграла
заменой переменной
Для вычисления определенного интеграла заменой переменной поступают так же, как и при нахождения неопределенного интеграла заменой переменной.
Но при этом есть одна особенность, суть которой заключается в том, что неопределенный интеграл есть функция, а определенный интеграл есть число.
Как было показано в примере выше (см. п. 4 § 3), для того, чтобы при помощи замены переменной привести заданный неопределенный интеграл к табличному, аргумент выражают через новую переменную, затем находят неопределенный интеграл, и полученный результат снова выражают через первоначальный аргумент. В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной.
Таким образом, для вычисления определенного интеграла заменой переменной пользуются формулой:
b |
d |
f t t dt , |
(4.2) |
|
f x dx |
||
|
|
|
|
a |
c |
|
|
52
где c и d , отличные от a и b пределы интегрирования, находятся из
подстановки x t , т. е. |
a c , |
b d , |
где t непрерывна вместе |
||
со своей первой производной t на промежутке , и монотонна |
|||||
1 |
dx |
|
|
|
|
Пример. Вычислить |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
3x 2 |
|
|
|
|
Решение. Заменяя |
3x 2 t , |
находим |
|
|
|
3x 2 |
dx t dt , или |
3dx dt , откуда dx dt3 . Найдем новые пределы интегрирования по формуле:
t 3x 2.
Нижний предел t при x 0 равен: t 3 0 2 2, а верхний предел t при x 1 равен: t 3 1 2 5.
Тогда вычисление данного интеграла запишется так:
1 |
dx |
5 |
dt |
|
1 |
5 |
dt |
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
t |
|
|
|
|
ln |
5 |
|
ln |
2 |
|
ln |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3x 2 |
3t |
3 |
t |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
0 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 13 ln 52 .
8. Вычисление определенного интеграла
интегрированием по частям.
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
записывается в виде:
b |
|
|
ba |
b |
|
udv u v |
|
v du . |
|
||
|
|
||||
a |
|
|
|
a |
|
1 |
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить xex dx . |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Решение. Обозначая u x , |
dv ex dx , получаем |
du dx , v e x . Тогда |
53
1 |
10 |
1 |
|
10 e e1 e0 e e 1 1. |
xex dx xex |
ex dx 1 e1 0 e0 ex |
|||
0 |
|
0 |
|
|
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
9. Вычисление площади плоской фигуры |
|||
Если уравнение заданной линии есть |
y f x , то, как было показано, |
|||
площадь S криволинейной трапеции определяется формулой: |
||||
|
|
a |
|
|
|
|
S f x dx . |
||
|
|
a |
|
|
Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади |
||||
произвольной плоской фигуры. |
|
|
||
Площадь Q , |
ограниченная кривыми |
y f1 x и y f2 x и прямыми |
||
x a , x b, при |
условии f1 x f2 x , |
будет, очевидно, равна разности |
||
площадей криволинейных трапеций S1 a,b |
и S2 a,b , то есть |
Q S1 a,b S2 a,b
или
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
Q f1 |
x dx f2 |
x dx f1 |
x f2 |
x dx . |
|
(2.7) |
|||
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y |
|
|
x2 |
||||||
2x |
и y |
||||||||
|
|
||||||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(см. рис. 21). |
|
|
|
|
|
|
|
|
54
y |
y x |
2 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
y 2x |
0 |
2 |
x |
|
|
Рис. 21
Решение. Находим абсциссы точек пересечения заданных кривых:
|
|
|
x2 |
|
2x |
x4 |
|
|
8x x4 ; x x3 8 0, |
|
x a 0 , |
x |
|
b 2. |
|
2x |
; |
; |
|
откуда |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
в |
соответствие |
с |
формулой |
|
|
(2.7) |
2
Q
0
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
2x |
|
|
|
x x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
dx |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6 |
|
|
|
3 |
6 |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
4 |
(кв. ед.) |
|
3 |
6 |
3 |
||||||
|
|
|
|
Ответ: 43 кв.ед.
55
Контрольные задания
Задание № 1
Найти уравнения и построить линии уровня функции z f (x, y):
1.1 z у х 2 .
1.2 z ху .
1.3 z у 2х2 .
х
1.4z х2 у у .
1.5z ху .
1.6
1.7
z х у 1 . z ху у .
1.8z х у .
1.9z у 2 х .
1.10z у .
х3
56
Задание № 2
Для функции z f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) найти:
а) градиент,
б) производную по направлению вектора a .
2.1 |
z 3х 2 2 у , |
|
M0 (1; 3) |
, |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 6; 8 |
|||||
2.2 |
z ln(3x 2 y) , |
M0 ( 1; 2) , a 3; 4 . |
|||||||||||||||||
2.3 |
z arctg |
y |
, |
M0 (1; 1) , |
a 5; 12 . |
|
|||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 |
z |
|
x |
y |
|
, |
M0 (1; |
2) , |
a 1; 2 . |
|
|||||||||
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.5 |
z хy 3 x3 у , |
|
M 0 (1; 3) , a 2; 1 . |
||||||||||||||||
2.6 |
z х2 |
cos у , |
M 0 |
(1; ) , |
a 5; 12 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2.7 |
z sin( ху) , |
M0 (1; 1) , |
a 1; 1 . |
|
|||||||||||||||
2.8 |
z ln x y 2 , |
M 0 (3; |
4) , |
a 6; |
8 . |
||||||||||||||
|
z |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
M 0 (0; 1) , |
a 1; |
1 . |
||||||
2.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||
|
x |
2 |
y |
2 |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.10 |
z sin( x y) , |
|
M 0 ( |
; |
) |
, a 3; 4 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
57
Задание № 3
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
zf (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) :
3.1z 1 х2 2 у2 , M 0 (1; 1; 4) .
3.2х2 у2 z2 1, M 0 (2; 2; 3) .
3.3 z ln( х2 у2 ) , M0 (1; 0; 0) . 3.4 z 1 х2 2 у2 , M0 (1; 1; 4) .
3.5x2 y2 z 2 4x 6 y 8z 1 0, M0 (1; 2; 2) .
3.6z x4 2x2 y xy x , M0 (1; 0; 2) .
3.7 x2 2 y 2 3z 2 xy yz 2xz 16 0 , M 0 (1; 2; 3) .
3.8x2 2y2 3z2 6 , M 0 (1; 1; 1) .
3.9x2 4y2 2z2 6, M 0 (2; 2; 3) .
3.10z 3x4 xy y3 , M 0 (1; 2; 9) .
58
Задание № 4
С помощью дифференциала найти приближенное значение числового
выражения:
4.1 3 7,98 (1,04)7,98 .
4.2 3 (4,97)2 (1,06)2 1 .
4.3 ln(3 0,98 2 1,03 1) .
5,03
4.4 (5,03)3 (1,96)2 .
(3,04)2
4.5 arctg (2,97)2 .
4.6 5 (4,03)2 (0,96)5 15 .
4.7 ln((2,02)3 5 0,96 8) .
6
4.8(2,97)4 (2,03)3 .
4.9ln(3 8,02 0,96) .
4.102 3 0,97 4,03 .
59