8062

УДК 539.3(075)

Кожанов Д.А. Сопротивление материалов часть 2 [Электронный ресурс]: учеб.- метод.пос./А.Н.Анисимов, М.Ф.Сухов, С.Ю. Лихачева, Д.А. Кожанов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2016. – 72; электрон. опт. диск

(CD-RW)

Пособие содержит теоретические сведения и основные методы расчета элементов конструкций с привлечением классических теорий прочности, примеры расчета сопровождаются необходимыми пояснениями к решению. Даются рекомендации по самостоятельной работе обучающихся по дисциплине «Сопротивление материалов». Пособие включает многочисленные примеры и задачи для самостоятельного решения.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекционным и практическим занятиям по специальности 08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений, специализации: Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений, Строительство гидротехнических сооружений повышенной ответственности.

© А.Н. Анисимов, М.Ф. Сухов С.Ю. Лихачева, Д.А. Кожанов,

2016

© ННГАСУ, 2016

Содержание

Часть 2

1.Перемещения в балках при изгибе

1.1.Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения

1.1.1.Линейные и угловые перемещения. Основные обозначения

1.1.2.Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его решение

1.1.3.Примеры решения балок методом непосредственного интегрирования по участ-

кам

1.2.Метод начальных параметров

1.2.1Основные положения метода

1.2.2Универсальное уравнение прогибов и углов поворота.

1.2.3Примеры решения балок методом начальных параметров.

2.Напряженно-деформированное состояние в точке.

2.1Напряженное состояние в точке тела

2.2Обобщенный закон Гука

3.Гипотезы прочности

4.Сложное сопротивление стержня

4.1Внутренние силы при сложном сопротивлении стержня

4.2Косой (сложный) изгиб

4.3Внецентренное растяжение-сжатие

4.4Общий случай сложного сопротивления

4.4.1Изгиб в двух плоскостях балки прямоугольного поперечного сечения

4.4.2Изгиб в двух плоскостях балки круглого поперечного сечения

4.4.3Растяжение с кручением

4.4.4Общий случай: изгиб + растяжение + кручение

5.Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб

5.1Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия.

5.2Упругий продольный изгиб. Формула Эйлера для критической силы

5.3Критическое напряжение. Неупругий продольный изгиб.

5.4График зависимости критических напряжений от гибкости стержня

5.5Практический метод расчёта сжатых стержней на устойчивость (продольный изгиб).

6.Оценка прочности при ударной нагрузке.

1.Перемещения в балках при изгибе

Всоответствии с требованиями строительных норм и правил ряд строительных конст-

рукций должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жёсткость. К элементам конструкций, рассчитываемых на жёсткость, относятся, в частности, балки. Прогибы балок,

т.е. вертикальные перемещения поперечных сечений, не должны превышать значений, опре-

деляемых нормами. Условие жёсткости выражается следующим неравенством:

f ≤ [ f ],

т.е. максимальный прогиб (стрела прогиба f ) не должен превышать допустимого нормами значения [ f ]. Значение допускаемого прогиба зависит от назначения и условий работы рас-

считываемой балки и колеблется в широких пределах. Обычно допускаемую стрелу прогиба указывают в долях пролёта l балки. Например, вертикальный предельный прогиб равен

[ f ] = l / 400.

Для расчёта на жёсткость необходимо уметь определять перемещения поперечных се-

чений балок. Можно выделить следующие методы расчета:

∙метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки;

∙метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки).

1.1. Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения

1.1.1. Линейные и угловые перемещения. Основные обозначения

Расчёт балок на прочность может не удовлетворять условиям её нормальной эксплуа-

тации из-за появления в ней значительных деформаций. Поэтому кроме расчёта на прочность необходимо проводить расчёт балки на жёсткость.

От действия внешних нагрузок, расположенных в плоскости одной из главных осей инерции поперечного сечения, балка изгибается в той же плоскости. Нейтральная продоль-

ная ось балки, прямая до деформации, переходит в плоскую кривую, которая называется изо-

гнутой осью или упругой линией балки (рис. 1.1).

Сделанное ранее допущение о малости перемещений позволяет считать, что линейные перемещения – прогибы v - направлены перпендикулярно продольной оси недеформиро-

ванной балки (оси z). Наибольший прогиб называется стрелой прогиба f.

Угловые перемещения представляют собой углы поворота θ поперечных сечений

балки вокруг их нейтральных линий, или углы между направлениями продольной оси балки до и после деформирования. В упругой стадии работы материала углы поворота настолько малы, что можно считать θ ≈ tg θ. А так как согласно геометрическому смыслу производной tgθ = dv/dz, то с достаточной степенью точности угол поворота сечения можно принять рав-

ным первой производной от прогиба по абсциссе сечения:

Линейные и угловые перемещения сечений балки являются геометрическими харак-

теристиками, поэтому их знак зависит от выбранной при решении задачи системы коорди-

нат. На рис. 2 показаны положительные и отрицательные перемещения сечений балок для возможных систем координат.

Рис. 1.2

1.1.2. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его решение

Для определения прогибов в любом сечении балки необходимо найти аналитическое выражение уравнения изогнутой оси v = v(z). Определяется оно с использованием зависимо-

сти между кривизной изогнутой оси и изгибающим моментом:

1 = M x .

ρEJ x

Сучетом малости углов поворота дифференциальное уравнение изогнутой оси при-

нимает упрощенный вид:

Выбор знака в уравнении (1.2) зависит от принятой системы координат.

Рис. 1.3

При положительном направлении оси у вверх (рис. 1.3) знаки изгибающего момента и кривизны изогнутой оси балки совпадают. В этом случае в уравнении (1.2) следует

сохранить знак «плюс».

При положительном направлении оси у вниз (рис. 1.3) знаки изгибающего момента и кривизны изогнутой оси балки разные. В этом случае в уравнении (1.2) следует сохранить

знак «минус».

Для балки постоянного сечения уравнение (1.2) удобнее записывать в виде

Перед решением полученных дифференциальных уравнений необходимо изгибающие моменты в балке Мх представить аналитической функцией от координаты z.

Интегрируя уравнение (1.3) один раз получим уравнение угла поворота поперечных сечений балки:

мо составлять для каждого участка балки. Для вычисления перемещений требуется составить n выражений изгибающего момента, дважды проинтегрировать n дифференциальных урав-

нений и определить 2n постоянных интегрирования.

Следовательно, для определения 2n постоянных интегрирования необходимо иметь 2n

условий для их нахождения, которые называются граничными условиями.

Граничными условиями являются следующие условия:

1). Условия закрепления балки, т.е. условия опирания балки - 2 условия (рис.1. 4).

Рис. 1.4

2). Условие плавности изогнутой оси балки на границе участков – ( n-1) условие (рис. 1.5). 3). Условие непрерывности изогнутой оси на границе участков – ( n-1) условие (рис. 1.5).

На границе смежных участков балки прогиб и угол поворота одинаковы как для ле-

вого, так и правого участка, т.е. перемещение, полученное из уравнения (i-1) участка, равно перемещению, найденному из уравнения для (i) участка.

Таким образом, в сумме условия закрепления балки и условия плавности и непрерыв-

ности изогнутой оси на границе участков составляют 2n условий, которые позволяют найти

2n постоянных интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки оказывается весьма трудоёмким уже при числе участков n ≥ 3, поскольку необхо-

димо выполнить большой объём вычислительной работы, связанной с определением произ-

вольных постоянных интегрирования.

1.1.3. Примеры решения балок методом непосредственного интегрирования по участкам

Пример 1. Для заданной деревянной консоли (рис. 1.6) подобрать размеры прямоугольного сечения h и b.

Расчётные характеристики балки следующие:

[ σ ] = 12 МПа, [ τ ] = 2 МПа, Е = 104 МПа. Длина балки l = 1 м.

Допускаемый прогиб [ f ] = l / 200 = 1000 мм / 200 = 5 мм.

При z = 0: v(0) = 0. Отсюда находим D = 0.

7. Для углов поворота и прогибов окончательно имеем следующие выражения:

EJx θ (z) = +10 z -10 z2 + 10/3 z3. EJx v(z) = +5 z2 - 10/3 z3 + 10/12 z4.

8. Вычисляем углы поворота и прогибы в сечениях балки (рис. 1.6).

9. Условие жёсткости балки: мaxv = f = 2,56 мм < [ f ] = 5 мм.

Таким образом, прочность и жёсткость балки обеспечены при b = 11 см, h = 22 см.