Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Переходя к «старой» переменной 7x 4 u , запишем

cos 7x 4 dx

cosu du

sin u C

sin 7x 4

C .

Пример 4.3. Найти

cos2 4x

Обозначая 4x t , находим, что

4dx dt

или dx

. Искомый интеграл

cos

4cos

cos

свёлся к табличному

tg t C .

cos

Переходя к исходной переменной t 4x , получим:

tg 4x C .

cos2 4x

Решения примеров 4.2 и 4.3 демонстрирует, что правило (3) параграфа 3, по существу, сводится к замене вида u ax b ;

f u du f ax b d ax b a f ax b dx ,

			a
Откуда	f	ax b dx	1	f	u	du .
Откуда	f	ax b dx		f	u	du .

Пример 4.4. Найти интеграл sin3 x cos x dx .

Выполним замену переменной по формуле sin x t . Находя дифференциал от обеих частей равенства sin x t , получим cos xdx dt Подынтегральное выражение sin3 x cos xdx после замены переменной интегрирования x на t запишется

sin3 x cos x dx t3 dt .

Искомый интеграл свёлся к табличному sin3 x cos xdx t3 dt , который равен

t3 dt t4 C .

Выполняя обратную замену переменной по формуле t sin x , получим

											sin3 x cos x dx															sin4 x				C .
											sin3 x cos x dx																			C .
																									4
Пример 4.5. Найти интеграл																ln x			dx .
Пример 4.5. Найти интеграл																	x		dx .
Выполняя замену ln x t , получим d ln x dt																											или dt								1	dx . Интеграл равен
Выполняя замену ln x t , получим d ln x dt																											или dt									dx . Интеграл равен
																																			x
											ln x				1		dx t dt										t	2		C .

																x											2
																x											2
Переходя к «старой» переменной t ln x , получим
														ln x			dx						1		ln x 2 C .
														x			dx						2		ln x 2 C .

Пример 4.6. Найти интеграл 2x 3 3 4x2 2																											dx .
Преобразуем интеграл к виду:

							2x 3 3 4x2 2 dx 2 3 4x2 23 x dx .
Заменяя t 3 4x2 , находим dt 8 x dx или xdx																																	dt	.
Заменяя t 3 4x2 , находим dt 8 x dx или xdx																																		.
																																	8
Интеграл запишется:
	3			2					2			1									2			2					1 t		2	3	1				3		5
			2	2	3				2			1									2			2					1 t			3					3		5	3 C .
2		4x				x dx	2	t		3			dt										t		3dt										C			t
2		4x				x dx	2	t		3		8	dt								8		t		3dt			4 2							C		20	t
												8									8							4 2			3		1				20
																															3
															3			3 4x2 53 C .
Тогда		2x			3 3 4x2 2					dx					3
Тогда		2x			3 3 4x2 2					dx					20
															20
Пример 4.7 Найти интеграл																e3x dx						.
Пример 4.7 Найти интеграл															5		e			3x		.
															5		e
Делая замену переменной 5 e3x																		t , получим											3e3x dx dt или e3x dx												1	dt .
Делая замену переменной 5 e3x																		t , получим											3e3x dx dt или e3x dx													dt .
																																								3

Интеграл запишется в виде:

e3x dx

C .

5 e3x

e3x dx

e3x

C .

Тогда

5 e3x

Пример 4.8. Найти интеграл

ctg x dx .

Преобразуем интеграл к виду:

ctg x dx

cos x dx

sin x

Выполняя замену sin x t , получим cos x dx dt .

Тогда

cos x dx

C ln

sin x

C .

sin x

Пример 4.9. Найти интеграл

dx .

Вычисляемый интеграл сводится к интегралу, записанному в таблице под номером (9). Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель получим:

Заменяя

t , находим

dx dt

или dx a dt .

a2 x2

x 2

Интеграл преобразуется к виду:

a dt

arctgt C .

x 2

1 t 2

Переходя к «старой» переменной

, получим:

arctg

C .

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть даны две произвольные дифференцируемые функции u = u x и v = v x

. Тогда u v ' u' v u v' и, следовательно,

d u v u d v v d u .

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

d u v u d v v d u u d v v d u ,

откуда

udv d u v vdu .

Поскольку d uv uv , то получаем:

u d v uv v d u

(5)

Формула (5) называется формулой интегрирования по частям для неопределённого интеграла.

С помощью этой формулы нахождение интеграла u d v сводится к отысканию

другого интеграла v d u . Применение формулы (5) целесообразно в тех случаях,

когда интеграл v d u — табличный или проще исходного (легко может быть найден).

Пример 5.1. Найти интеграл ln x d x .

В предлагаемом интеграле, выбор переменных u и d v для интегрирования по

формуле (5) определяется самой структурой подынтегрального выражения.


Обозначим u ln x,			d v dx . Дифференцируя первое равенство, находим
d u d ln x или d u	1	dx , интегрируя второе, d v dx , получим v x .

	x

Формула интегрирования по частям запишется:

ln xdx x ln x 1x x dx

Интеграл 1x x dx dx более простой, чем исходный и находится по таблице.

Запишем результат интегрирования:

ln xdx x ln x x C .

Пример 5.2. Найти интеграл x ln x dx .

Полагая u ln x, d v xdx , находим d u 1 dx , v x2 . x 2

Согласно формуле (5) интеграл запишется:

x2dx

1 x2

x ln x dx

ln x

2 2

Пример 5.3. Найти x sin x dx .

Если принять u xsin x,

dv dx , тогда

du sin x

Подставив в формулу (5), получим:

	1	C .
ln x
ln x	2
	2

x cos x dx,

v x .

xsin x dx x2 sin x x sin x x cos x dx

или

xsin x dx x2 sin x xsin x dx x2 cos x dx .

Перенося одинаковые интегралы в левую часть, обнаруживаем:

xsin x dx 12 x2 sin x x2 cos x dx , что интеграл x2 cos x dx сложнее исходного,

так как степень множителя при тригонометрической функции увеличилась на единицу. Следовательно, выбранное разложение подынтегрального выражения на множители u и d v ошибочно.

Обозначая u x, d v sin x dx , получим d u dx, v cos x .

Результат интегрирования по частям запишется в виде:

xsin x d x x cos x cos x d x x cos x sin x C .

Пример 5.4. Найти xex dx .

Пусть u x , dv ex dx , тогда du dx , v ex . По формуле интегрирования по

частям находим:

xex dx xex ex dx xex ex C

или

xex dx ex x 1 C .

При интегрировании по частям выбор множителей u и dv для часто

встречающихся типов интегралов приведён в таблице:

Тип интеграла	u			dv

P x eax dx				eax dx
P x sin ax dx	P x — многочлен (полином)			sin ax dx
P x sin ax dx

P x cos ax dx				cos ax dx
P x cos ax dx

P x arcsin axdx	arcsin ax
	arcsin ax
P x arccos axdx	arccos ax			P x dx
P x arc tg axdx	arc tg ax			P x dx
	arc tg ax
	arcctg ax
P x arc ctg axdx	arcctg ax
P x arc ctg axdx

P x ln axdx	ln ax			P x dx

§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Интеграл f x dx от рациональной функции f x		Pn x	всегда может быть,
Интеграл f x dx от рациональной функции f x		Qm x	всегда может быть,
		Qm x

и притом стандартным способом, выражен через элементарные функции. Основной трудностью при практическом вычислении интеграла является разложение интеграла на сумму простых интегралов.

Рациональная дробь записывается в виде:

				16
Pn x	a xn a xn 1		a	n
	0	1		n	, где Pn x и Qm x — многочлены (полиномы), n и
Qm x	b0 xm b1xm 1				, где Pn x и Qm x — многочлены (полиномы), n и
Qm x	b0 xm b1xm 1		bm

m — степени, соответственно.

Если n m , то дробь называется правильной, а если n m , то дробь называется неправильной.

Приведем примеры рациональных дробей:

— правильные дроби

		x	n 1, m 2		,			x3			n 3, m 4			,

x	2	5		2		x	4	3x	2	7		3	4
			1

1 n 0, m 1 x 3 0 1

— неправильные дроби

		x2		m n	2 ,	x3 2			n 3, m 2			,

x	2	3x 1				x	2	4		3	2
x		3x 1				x		4		3	2
x5 3			n 5, m 1
				1
x 1
x 1			5

Неправильная дробь, в результате деления числителя на знаменатель,

представима в виде:

		Pn x		Gk x		R x
		Qm x		Gk x		Qm x
		Qm x				Qm x
где - Gk x многочлен,	R x		— правильная дробь m .
где - Gk x многочлен,	Qm x		— правильная дробь m .
	Qm x
Пример 6.1 Неправильную дробь					3x5	x4 2x3 x2 7
Пример 6.1 Неправильную дробь						x 1
						x 1

многочлена и правильной дроби.

Выполняя деление

(6)

представить в виде

3x5 x4 2x3 x2 7		x 1
3x5 x4 2x3 x2 7		x 1

	3x4 2x3 x 1
3x5 3x4

2x4 2x3 x2 72x4 2x3

x2 7

x2 x

x 7

x 1

получим	3x5 x4 2x3 x2 7	3x4 2x3 x 1	6	, где 3x4 2x3 x 1 —
	x 1		x 1

	6
многочлен, а			— правильная дробь.
многочлен, а		x 1	— правильная дробь.
Известно, что любой многочлен, m — степени имеет ровно m корней и его
можно представить в виде:
	Qm x xm d1xm 1 d2 xm 2					dm x a1 1 x a2 2
				1	x2	pr x qr	r
	x ak k x2 p1x q1				x2	pr x qr		,
где 1, 2,	k — кратность действительных корней, а							1, 2,	r — кратность

комплексных сопряжённых корней. Сумма всех показателей степеней разложения по корням

1 2 k 2 1 2 r m

равна степени полинома.
Пример 6.2. Разложить многочлены на множители:
a) x2 3x 2 ? Решая квадратное уравнение		x2 3x 2 0 ,
находим, что x1 1,	x2 2 его корни.

Тогда x2 3x 2 x x1 x x2 или x2 3x 2 x 1 x 2 , где x1 и x2 —

два действительных различных корня многочлена второй степени.

x3 x2 2x x x2 x 2 x x 1 x 2 , где

x1 0,

x2 1 и

x2 2 — три действительных различных корня многочлена третьей степени.

x3 6x2 9x x x2 6x 9 x x 3 x 3 x x 3 2 ,

где

x1 0,

x2 3 и

x3 3 — три действительных корня, из которых два корня

x2 и x3 — кратные.

x3 4x2 13x x x2

4x 13 , где

x1 0

один

простой

действительный корень и два комплексно сопряжённых корня.

Последние находятся из решения уравнения

x2 4x 13 0

4 16 52

x ,

2 3 1

2 3

x2 2 3i, x3

2 3i

Учитывая,

что

1 i , получим

два

комплексно

сопряжённых корня.

Доказано,

что

правильную дробь

R x

можно разложить

на

сумму

Qm x

простейших дробей. Под простейшими дробями понимают дроби вида:

;

Mx N

x a

x2 px q

px q

Разложение правильной дроби в виде суммы простейших дробей записывается:

a)В случае простых корней

R x	x am	A	A	A	(7)
x a1 x a2	x am	x a1	x a2	x am ,	(7)
		1	2	m

где каждому простому корню xi ai i 1, m соответствует простейшая дробь вида

Ai . x ai

Пример 6.3. Разложить правильную дробь	3x 4		на простейшие

	x x 7	x 2

дроби.

Согласно формуле (7) разложение запишется в виде:

3x 4		A1		A2			A3
x x 7 x 2		x		x	7		x 2

b)В случае кратных корней

x a1 1

x am m x a1

x a1 2

x a1 1

(8)

x am

x am 2

x am m

где каждому корню кратности i — соответствуют i простейших дробей вида

Ai i .

x a1

4x 1

Пример 6.4. Разложить правильную дробь на простейшие дроби.

x 1 2 x2

По формуле (8) разложение запишется в виде:

4x 1

x 1

c)В случае комплексных корней

R x

x N

, (9)

p1x q1

pr x qr

x2 p1x q1

x2 pr x qr

где каждой паре комплексных корней или множителю второй степени в знаменателе

соответствует простейшая дробь вида	Mi x Ni		.
	x2 p x q
	i	i

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.31 Mб07999.pdf
#
21.11.202374.54 Кб08.pdf
#
21.11.202388.12 Кб080.pdf
#
21.11.2023152.84 Кб0800.pdf
#
23.11.20231.31 Mб08000.pdf
#
23.11.20231.31 Mб08001.pdf
#
23.11.20231.32 Mб08002.pdf
#
23.11.20231.32 Mб08003.pdf
#
23.11.20231.32 Mб08004.pdf
#
23.11.20231.32 Mб08005.pdf
#
23.11.20231.32 Mб08006.pdf