7991

третьего x

a

или x

a

, соответственно.

cos t

sin t

a2

x2

x

Пример 10.1.

Найти интеграл

dx .

a2 a2 sin 2 t

a

cos t dt

a sin t

a

cos2 t

dt a

1 sin 2 t

dt

a

dt

a sin t dt

sin t

sin t

sin t

Вычисление интеграла

dt

(см. пример 9.1)

sin t

a ln

cost

a cost C .

1

sin t

sin t

Учитывая, что sin t

x

, cost

a2

x2

, получим:

a

x

a2

x2

a a2 x2

dx a ln

a2 x2

C .

x

x

dx

Пример 10.2. Найти интеграл

.

x

a2 x2

1

Выполняя подстановку x a tgt , получим dx a

dt . Тогда интеграл

cos2 t

запишется

a dt

1

dt

1

dt

a

a

sin t

cos

2

t a tg t a

2

a

2

tg

2

sin t

cos

2

t sin

2

t

cos2 t

t

cost

cos2 t

1

ln

cosect ctgt

C

a

a

a2 x2

ctg t

, а cosect

1 ctg2 t

, получим:

x

x

dx

1

ln

a2 x2

a

C .

x

a

x

a2 x2

1.

р –целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от

рациональной функции с помощью подстановки x t S , где

S HOK знаменателей дробей т и п ;

2.

т 1

- целое число, в этом случае интеграл рационализируется с

п

помощью подстановки a bxn t k , где k – знаменатель дроби р.

3.

т 1

р - целое число, в этом случае к цели приводит подстановка

п

a x n

b t k , где k – знаменатель дроби р.

Пример 10.3.

Найти интеграл

dx

.

x 1 x3

1

Запишем подынтегральную функцию в виде x 1 1 x3

.

2

Из записи следует, что р

1

, т 1,

п 3 .

2

Так как

т 1

1 1 0

- целое число, то выполняя подстановку 1 x3 t 2 ,

п

3

получим 3x2 dx 2t dt , x2

dx

2

t dt .

3

Преобразуем интеграл

dx

x2 dx

t dt

2 dt

2

2 1

t 1

ln

C и

x

1

3

t 2 1 t

3

t 2 1

3

2

t 1

1 x3

3

3

x

1 x

2

учитывая, что

t

1 x3

, получим:

dx

1

t 1

1

1 x3 1

C .

ln

C

ln

x

3

t 1

3

1 x3

1 x3 1

Пример 10.4. Найти интеграл

dx

x2

1 x3 3

Запишем интеграл в виде:

dx

3

x 2 1 x2 2 dx .

x2

3

1 x2