7988

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

обозначив x

t , получим

at 2 k 2 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

(4x 4) dx

dt 3

2x2 4x 6

C .

2x2 4x 6

Тогда:

3x 5

2x 4x 6

x 1

C .

2x2 4x 6

x 3

Рассмотрим интеграл

при а > 0 и при а < 0.

a x2

b x

Если а > 0, то интеграл преобразуется к виду:

a x2 b x с

x2 px q

где p

, а знак перед k2

(см. пример I1).

Выполняя замену x

t , интеграл сведется к табличному:

t t 2 k 2

C .

t 2

k 2

Тогда

px q

a x2 b x c

В случае а < 0, так что а

, радикал преобразуется к виду:

a x

Вычисляемый интеграл преобразуется к табличному

ax2 bx c

at 2 k 2

k 2 at 2

при условии, что знак перед k 2 положительный.

Тогда, выполняя замену а t U , получим:

arcsin

x C .

k 2 at 2

k 2 U 2

Интеграл вида:

Ax B

ax2

bx с

вычисляется с помощью преобразований, аналогичных тем, которые ранее рассмотрены в вычислении интеграла I2:

Ax B

(2a x b) B

bx с

2ax b dx

ax2 bx с

2a ax2

bx с

Выполняя в первом из полученных интегралов подстановку ax2 bx C t ,

получим 2ax b dx dt .

Тогда

A 2ax b dx

A dt A

bx с R .

t R

ax2 bx с

Второй интеграл был рассмотрен (см. I3).

Вычисляя производную подкоренного выражения 2a b 2x2 8x 1 , находим,

что 2ax b 4x 8 . Подставляя найденное значение в интеграл, последний запишется

в виде:

											2		4x 8 4 3
	2x 3									4			4x 8 4 3														2				4x 8																dx
	2x 3							dx													dx						2				4x 8							dx	7								dx

																											4
	2x	2	8x			1								2x		2	8x		1								4			2x			2											2x		2
	2x		8x			1								2x			8x		1											2x					8x 1									2x			8x 1
		1		dt			7								dx												7									dx
		1		dt			7								dx							t					7									dx

		2
		2			t				2										1								2							2							1
												x2 4x																				x 2					4
												x2 4x							2													x 2					4			2
																			2																					2

													7						dV																					7									7
	2x2 8x 1												7						dV										2x2 8x 1											7			ln		V			V 2	7	C

																																																	2
													2													2																2
													2					V 2		7						2																2
																				7


																				2
																				2

													7																			1
	2x2 8x 1												7		ln			x 2					x2 4x									1				C
																															2
													2
													2
Пример 7.5.								Найти интеграл																2x 1											dx .


																				3x					2			6x 9
																				3x								6x 9

В вычисляемом интеграле а < 0. Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:

															2	6x 6 3
				2x 1												6x 6 3
				2x 1						dx			6									dx
													6

	3x					2									3x		2
	3x							6x 9							3x			6x 9
	2							6x 6				dx 3									dx


			6				3x2 6x 9												3(x 1)2 12
Производя замену t 3x2											6x 9					в первом и втором (x 1) U интеграле,

		1			dt						dU									2			3	arcsin		3	U C .
запишем:		1			dt			3			dU									2	3x2 6x 9		3			3
								3													3x2 6x 9
		3																							12
						t												3					3
									12					3U
											2					2

Тогда

2x 1

3x2 6x 9

C .

3 arcsin

(x 1)

3x2 6x 9

							m

						a x b n
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА R						x,
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА R						x,

						c x d

Рассмотрим интеграл
		m1		m
		m1		m
R		n1	,...,x	n
R	x, x		,...,x		dx , где R- рациональная функция своих аргументов, т.е.

mi – рациональное число. ni

Пусть k – наименьшее общее кратное (НОК) чисел n1 , n2 ,...,n . Выполняя подстановку x t k , получим dx k t k 1 dt , что каждая дробная степень х выразится

через целую степень t. Подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию аргумента t.

В интеграле вида:

a x b n1

a x b n

R x,

,...,

c x

c x d

выполняя подстановку

a x b

t k ,

где

k НОК n ,

c x d	i 1

подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t. Приемы интегрирования рациональных функций описаны в § 6.

подстановку x t 6 , тогда dx 6t 5dt и, следовательно,

					1
																										t 6
				x 6				dx								t			6t 5 dt 6							t 6				dt 6							t 4			t 2				1			1			dt
				1				dx										2	6t 5 dt 6									2		dt 6							t 4			t 2				1			2			dt
														1		t									1 t																					1 t
		1 x 3												1		t									1 t																					1 t
		1 x 3
				t 5							t 3
	6											t arctgt										C
	6				5					3		t arctgt										C
					5					3
Переходя к «старой» переменной, получим:
				6										6			5				3		1									1
				6		x								6			5				3		1									1
										dx						x 6		2x 6				6x 6		6arctg x 6											C .
			1 3											5
			1 3				x							5
Пример 8.2.													Найти интеграл																				dx										.


																																					1			2x		2
																										1 2x 3																2
																										1 2x 3
В подынтегральной функции n1 2, n2																										3 , поэтому k НОК 2,3 т.е. k = 6.
Заменяя 1-2х = t6, получим 2dx 6t5dt .
Интеграл запишется в виде:
										dx											3t 5 dt								t 2 dt										t 2 dt											1
																								3												3								t 1							dt


		1 2x 3 1 2x 2																		t 3 t 4							1				t							t		1									t	1
		3	t	2	3t 3ln										t 1				C .
		3		2
	2
Тогда	2
Тогда
									dx											3	1 2x			1	3 1						2x			1							1			2x	1
									dx											3

																																				3ln											1	C =
																								3										6		3ln									6		1	C =
																				2				3										6											6

		1 2x 3 1 2x 2
		1 2x 3 1 2x 2

32 3 1 2x 36 1 2x 3ln 61 2x 1 C .

§9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Вэтом параграфе рассматриваются способы интегрирования рациональных функций sin x и cos x, т.е. интегралы виды:

R sin x, cos x dx

Подстановка tg 2x t , которую называют универсальной, рационализирует

рассматриваемый интеграл, т.е. сводит его к интегралу от рациональной функции аргумента t.

Из тригонометрии известно, что

	2 tg	x			1 tg	2	x
sin x	2 tg	2		и cos x	1 tg		2	.
		2					2

	1 tg	2	x		1 tg	2	x
	1 tg		2		1 tg		2
			2				2

Тогда в соответствии с подстановкой получим:

sinx

cosx

1 t 2

t 2

1 t 2

Выражая из подстановки t tg

, х как функцию от t, получим:

arctgt arctg tg

или

arctgt ,

x 2arctgt

тогда dx

2 dt

1 t 2

Пример 9.1. Найти интеграл sindxx .

В соответствии с подстановкой t tg 2x интеграл запишется в виде:

1 t 2

C .

sin x

1 t 2

Тогда

C ln

1 cos x

C ln

ctg x

sin x


ln	cosec x ctg x	C
Пример 9.2. Найти интеграл			dx	.
			cos x

Выполним тождественные преобразования:

cos x

sin

Обозначая V

, получим

sin V

sin

Первообразная последнего интеграла найдена в примере 9.1. Запишем её:

dV	ln	tg	V

sin V			2

Искомый интеграл равен:

Пример 9.3. Найти интеграл

C .

dx .

3sinx 4cosx

Выполняя универсальную подстановку, получим:

dx	1 t 2	2dt	dt		dt
	3 2t 4 1 t 2		3t 2 1 t 2			.
3sinx 4cosx		1 t 2		2t 2	3t 2

Нахождение последнего интеграла описано в § 7 (см. I1).

Интеграл запишем в виде:

1						dx				1				dV				1	4	ln	4V 5	C

2					3	2	9			2		2			5		2	2	2 5		4V 5
			t						1		V
			t						1		V
					4		16								4
													t			1
																1
		1	ln		16t 8			C		1	ln				2		C
	5		ln	16t 32				C		5	ln		t			1	C
	5			16t 32						5						1
															2

Тогда

				tg	x	1
dx	1		ln	tg	2	2	C .
dx	1

3sin x 4cos x		5			x	1
				tg
				tg	2	2

Основные случаи применения частных подстановок

а. В интеграле

sinm x cosn x dx , где m или n – нечетное положительное целое число.

Допустим, что m 2k 1, тогда

sin2k 1x cosn x dx cosn x sin2k x sinx dx cosn x 1 cos2 x k sinx dx .

Выполняя замену cosx t , получим -sin x dx dt , sin xdx dt.

Интеграл запишется

cosn x 1 cos2 x k sinx dx t n 1 t 2 k dt , а это есть интеграл от

рациональной функции.

Пример 9.4. Найти интеграл 3sin2 x cos3 x dx .

Показатель		степени				косинуса нечетное число. Выполняя подстановку
sin x t,	cos x dx dt , получим:
sin23 x cos2		x cosx dx sin23 x 1 sin2 x cosx dx t							23 1 t 2 dt
2		8	3		5		3	11
t	3 dt t	3 dt		t		3		t 3 C
			5				11

Тогда

3 sin 2 x cos3 x dx 53 sin x 53 113 (sin x)113 C .

б. В интеграле

sinm x cosn x dx , где m и n –четные неотрицательные числа.

Применение тригонометрических формул

sin2 ax	1 cos2ax	,	cos2 bx	1 cos2bx	позволяет понизить степень синуса и
	2			2

косинуса, в конечном счете, свести рассматриваемый интеграл к сумме интегралов от констант и нечетных степеней синуса и косинуса.

Пример 9.5. Найти интеграл sin4 x cos2 x dx .

Применяя тождественные преобразования, получим:

	4		2		1 cos 2x 2	1 cos 2x
sin		x cos		x dx			dx
					2	2

18 1 2 cos 2x cos2 2x 1 cos 2x dx

18 1 cos 2x cos2 2x cos3 2x dx

	1	dx				1	cos 2x dx						1		1 cos 4x					dx					1	cos 2x 1 sin 2 2x dx
	8					8							8												8
																			2
	1	x			1	sin 2x			1	x				1				sin 4x				1			sin 2x				1	cos 2x sin 2	2x dx

	8	16						16					16 4						16							8
Выполняя замену								sin 2x t ,						cos 2x 2dx dt											в последнем интеграле, получим:
			1	cos2x sin2 2x dx													1		t 2dt				1				t 3	C .

		8												16									16			3
Тогда		sin4 x cos2 x dx									1	x				1		sin4x			1			sin3 2x C .

								8						64					48
Пример 9.6.								Найти интеграл cos2 x dx .

Преобразуем интеграл к виду:

cos2 x dx 1 cos2 2xdx 12 dx 12 cos2x dx .

Тогда

cos2 x dx 12 x 14 sin2x C .

в. В интегралах вида:

cosm x sin n x dx ; cosm x cosn x dx ; sinm x sin n x dx

применяются следующие формулы (m ≠ n):

sin m x cos n x dx 12 sin m n x sin m n x ,

cos m x cos n x dx	1	cos m n x cos m n x ,	(15)
	2

sin m x sin n x dx 12 cos m n x cos m n x .

Например, подставляя в интеграл и интегрируя, получим:

cos m x sin n x dx
	1		sin m n x sin m n x dx
			sin m n x sin m n x dx
2
			1	cos m n x	1	cos m n x	C
						m n	C
		2		m n	2	m n
Два других интеграла находятся аналогично.
	Пример 9.7. Найти интеграл						sin4x sin6x dx .