7831

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(2 + x 2 )3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

sin2 x

7.54. ∫ x × sin(1 - x2 )dx .

arctg2 x

7.57. ∫ 1 + x 2 dx .

7.60. ∫ arccos 2 x × 1 - x 2

tg x

7.55. ∫ cos2 x dx.

7. 58. ∫ 3arcsin x dx .

1 - x 2

3x + arcsin x

. 7.61. ∫ 1 - x 2 dx .

7.63. ∫	dx			.	7.64. ∫		dx	.

	4x - 3	- x	2			1 - 2 x - x 2

7.56. ∫ ctg x dx .

7.59.	∫			dx			.

			4 - (2x + 3)2
7.62.	∫			dx		.

		x 2 + 2x + 2
7.65.	∫			dx	.


				4x + x 2
				4x + x 2

§3.

Интегрирование по частям

В задачах 7.66-7.92

вычислить интегралы

7.66.

∫ x × sin xdx .

7.67.

∫ x × cos 2x dx .

7.68.

∫ (5x + 6)× sin 3xdx .

7.69.

∫

dx .

7.70.

∫ (3 - x )× e 2 x dx .

7.71.

∫ x × 2 − x dx .

7.72.

∫

dx .

7.73.

∫

dx .

7.74.

∫

x × cos x

dx .

sin 2

cos2

sin2 x

7.75.

∫

x ×sin x

dx .

7.76.

∫ ln xdx .

7.77.

∫ x × ln(x - 1)dx .

cos2 x

7.78. ∫

dx .

7.79.

∫

ln x

dx .

7.80.

∫ ln (x 2 + 1)dx .

x 3

7.81.

∫ arcsin xdx .

7.82.

∫

arcsin x

dx .

7.83.

∫ arctgxdx .

1 + x

arctg

arcsin

7.84.

∫ x arcctgxdx .

7.85.

∫

dx .

7.86. ∫

dx .

1 - x

7.87.

∫ x 2 sin xdx .

7.88.

∫ ln 2 xdx .

7.89.

∫ x 2 × e − x dx .

7.90.

∫ x 2 × 2 x dx .

7.91.

∫ e x sin xdx .

7.92.

∫ e x cos xdx .

7.93. Вычислить разность

F (2) − F (1) ,

если F (x) -

первообразная для

функции x ln x .

7.94. Вычислить разность

, если

F (x)

- первообразная для

F (2π ) - F

функции (x + 6)cos3x .

§4.

Интегрирование рациональных функций

В задачах 7.95-7.115 вычислить интегралы

∫

7.95.

dx .

7.96.

dx .

7.97.

dx .

x -

x2 -

x + 2

∫

(x − 4)dx

7.98.

7.99.

7.100.

(x + 2)(x + 3)

(x + 1)(2x - 3)

(x - 2)× (x - 3)

(2x + 7)dx

x dx

7.101. ∫

∫

3x + 2x - 3

dx .

7.102.

7.103.

+ x -

- 3x - 2

x3 - x

7.104. ∫

x3 -1

∫

7.106. ∫

x + 2

dx .

7.105.

dx .

x × (x +1)2

x3 + x

x3 - x

+ 1

+ x + 1

x + 1

∫

7.107. ∫

dx .

7.108.

dx .

7.109.

dx .

x 3 - x

x 4 - x

x 4 - x 2

x dx

7.110. ∫

x ×(x2 +1).

7.111.

∫

7.112.

∫

x 3 - 1

113. ∫

x − 2

7.114. ∫

x − 2

dx . 7.115. ∫

2 + 4

dx .

4 -

x 4 + x3

2x2 + x

+ 4x 2 + 4x

§5. Интегрирование тригонометрических функций

В задачах 7.116-7.133 вычислить интегралы

7.116. ∫ sin 3x ×sin 7x dx .

7.117.

∫ sin 2x × cos6x dx .

7.118. ∫ cos

× cos

dx .

7.119.

∫ sin3 x dx .

7.120. ∫ cos5 x dx .

7.121. ∫ sin2 x × cos3 x dx .

7.122.

∫

cos 3 x

dx .

7.123.

∫

sin 3 x

dx .

7.124. ∫ ctg 3 xdx .

sin 2 x

cos x

∫ tg

∫ sin

7.127. ∫ cos

7.125.

xdx .

7.126.

dx .

7.128. ∫ cos 4 xdx .

∫

7.130. ∫

7.129.

3sin x

5 cos 2x

7.131. ∫

∫

7.133. ∫

7.132.

5cos x + 3

1 + sin x

1 + sin x + cos x

§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

В задачах 7.134-7.150 вычислить интегралы

7.134.

7.137.

7.140.

7.143.

7.146.

7.149.

∫ x ×

dx .

x + 5

∫

dx .

∫

x − 1

dx .

2x -

∫

dx .

4 x

∫ x3 ×

1 + x 2 dx .

∫

dx .

x2 - 1

7.135.

7.138.

7.141.

7.144.

7.147.

7.150.

∫

dx .

∫

dx .

x + 1

∫

dx .

x ×

x - 1

∫ x + 3 x 2 dx .

∫ x ×(1+ x )3 dx .

∫		1	dx .
	x ×

		x2 + 1

7.136. ∫ - dx .

x 1

7.139.	∫		x + 2	dx .
7.139.	∫			dx .
			x
	∫		x 2
7.142.				dx .


			x - 1
7.145.	∫	1			dx .



	1	+ 3 x - 2

7.148. ∫ 9 - x 2 dx .

§7. Смешанные примеры

7.151. Найти ту первообразную от функции

, которая принимает

значение 3 при

x = 2 .

x + 3

7.152. График первообразной

F(x) для функции

проходит

(x - 4)×

x - 4

через точку A( 5 ; 0 ) . Найти

F (8).

В задачах 7.153-7.196

вычислить интегралы

2 − 4x

7.153. ∫ (x + 1)×

∫

dx .

x2 + 2x dx .

7.154. ∫ x4 × 4 1 - 6x5 dx . 7.155.

7x -1

7.156.

7.159.

7.162.

7.165.

7.168.

7.171.

7.174.

7.177.

7.180.

7.183.

7.186.

7.189.

7.192.

7.195.

(2x + 3)dx

∫ x 2 - 4 .

xdx

∫ x 4 +1 .

∫ e x × 1 - e− 2 x .

∫ 1 - xdx . x

x− 1

∫1 - x dx .

∫x ×sin 2 xdx .

x2 + 1

∫x3 − x2 dx .

∫ sin x × cos3x dx .

ln x

∫ x 3 dx .

2 x

∫ dx .

1 + 2 x

x 2

∫ dx .

8x3 + 27

∫	dx
	x × (1	+ x) .

∫ sin2		x	× cos2	x	dx .
				2
	2
		dx
∫	ex × (3 + e− x ) .

7.157. ∫ 1 + 9x 2 .

e x dx

7.160. ∫ e2 x + 4 .

7.163. ∫ x × 3 - ln2 x .

7.166. ∫

x × (1 - x)

7.169. ∫

arccos x

dx .

1 − x 2

7.172. ∫ x × tg 2 xdx .

7.175. ∫

x4 +1

dx .

x3 - x 2

7.178.

∫ sin4 x × cos5 x dx .

7.181.

∫

tg x

dx .

cos x

∫

1 + tg

3 x

7.184.

dx .

cos2

7.193. ∫ tg2 4xdx .

7.196. ∫ 2 - 6x - 9x 2 .

7.158. ∫ 2x2 + 9 .

7.161. ∫ e x × 1 - e x dx .

	ln x dx
7.164. ∫	x × (1 - ln2 x).

7.167. ∫ x3 × 51 - 5x4 dx .

		1
	sin	1	dx
7.170. ∫		x2				.
7.170. ∫		x3				.
		x3
7.173. ∫	arctg x dx			.
7.173. ∫				.
	x2
7.176. ∫	sin 2x				dx .


	5 - cos 2x

7.179. ∫ cos5x × cos x dx .

7.182. ∫		ln x	dx .

		x 2
7.185 ∫	2 x
			dx .

1	+ 4 x

7.188 ∫

ln 2 x + 2

dx .

7.191. ∫ cos

7.194. ∫

sin 5x

dx .

+ cos 5x

7.198. ∫

x − 1

dx .

2x -

7.199. ∫

7.200. ∫

x − 2

dx .

7.201. ∫ tg 7 x dx

− 2x

− x 2

2x − x

Глава № 8

Определенный интеграл

§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и подведение функции под знак дифференциала

В задачах 8.1-8.12 вычислить интегралы

	3
8.1.	∫ 5x 2dx .
	2
	7	dt
8.5.	∫	dt		.


		3t +	4
	−1	3t +	4

4dx

8.2.π∫ cos2 x .

5 dx

8.6.1∫ 3x - 2 .

	4			x			4
8.3.	∫	1	+ e	4 dx .		8.4.	∫ xe − x 2 dx .

	0						0
	1		dx				2	dx
	0∫		dx				1∫	dx
8.7.					.	8.8.			.
8.7.		(2 x + 1)3			.	8.8.		x 2 + x	.

x + 3

8.9. ∫

. 8.10. ∫

dx .

8.11. ∫

x dx

8.12. ∫

+ 5x + 4

1 x

0 x 2 + 4

x × 1 + ln x

§2. Замена переменной в определённом интеграле

В задачах 8.13-8.24									вычислить интегралы
4		1								4				1								1		x dx
8.13. ∫		1			dx .				8.14. ∫					1			dx .				8.15. ∫			x dx					.


		+ x									+													5 − 4x
0 1		+ x								0 1	+			2x + 1								−1		5 − 4x
13	(x + 1)									0			dx									1
13	(x + 1)									0			dx									1				2
8.16. ∫						dx .			8.17. ∫							.					8.18. ∫		4 - x					dx .
	3										+ 3
			2x +		1
0			2x +		1					−11					x + 1							0
										ln 2												ln 8
2		3			dx																				dx
2		3										ex -1dx .
	∫									∫												∫
8.19.								.	8.20.												8.21.									.


	2 x2 ×						x2 + 4			0												ln 3 1 + e x
										π
e 4		1 + ln x								π	(2 tg x − 7)dx											3			x
e 4										4												3
8.22. ∫							dx .		8.23.	4										.	8.24.	∫					dx .
8.22. ∫							dx .		8.23.	∫										.	8.24.	∫					dx .
1				x						∫			2	x − 9 sin				2	x			0		6 - x
										0 cos				x − 9 sin					x

§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле

В задачах

8.25. ∫ x e− x dx .

8.28. ∫ arctg x dx

8.25-8.36 вычислить интегралы

8.26. 2∫ (x − 1) cos x dx .

	e ln x dx
.	8.29. ∫		.
		x3
	1

4	xdx		1	− 2 x dx .
8.31. ∫	xdx	.	8.32. ∫ x 2e
8.31. ∫		.	8.32. ∫ x 2e
π sin2 3x			0
6
π

8.27. π∫ (π − x) sin x dx .

	π
8.30.	4	xdx	.
	∫	xdx
	∫
	0 cos2 x

8.33. ∫ x2 arctg xdx .

2	x cos xdx		2	− x dx .	e	(1 + ln x)2 dx .
8.34. ∫	x cos xdx	.	8.35. ∫ x 2 2		8.36. ∫
8.34. ∫		.	8.35. ∫ x 2 2		8.36. ∫
π	sin3 x		1		1
4

§4. Несобственные интегралы

В задачах 8.37-8.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами

интегрирования ( 1 рода ) или установить их расходимость:

∞ dx			∞ dx		∞ dx
8.37. ∫		.	8.38. ∫		8.39. ∫		.
	2			x

1 x			1		1	x

∞

1 + x

∞

xdx

8.40.

∫

8.41.

∫

dx .

8.42.

∫

− 1)5

x 5

0 x 2 +

∞

∞ ln xdx

8.43.

∫

8.44.

∫

8.45.

∫

2 +

2 + 2x + 3

− ∞ x

2 x

∞

−

8.46.

∫ e− 4 x dx .

8.47.

∫ xe − 2 x dx

8.48.

∫

dx .

	∞
8.49.	∫ e−x3 x2 dx.
	0
	∞	xdx
	∫	xdx


8.52.		(x2 − 3)3 .
8.52.	2	(x2 − 3)3 .

∞

arctg xdx

8.50. ∫

8.51.

∫

x 2 +

e x

ln3 x

∞

8.53. ∫

8.54.

∫

+ 2x + 2

(x + 1)

− ∞ x

В задачах 8.55-8.63 вычислить интегралы от разрывных функций

(2 рода ) или установить их расходимость:

	3				dx						2			xdx
8.55.	∫				dx			.		8.56. ∫				xdx			.

					9 − x 2
	0				9 − x 2						1			x − 1
	1										π

8.58.	4			dx		.				8.59.	4				dx			.
8.58.		∫		dx		.				8.59.	∫				dx			.
	0		x ln x								0	1 − cos2x
	0										0
	2				dx							1
	2
8.61.	∫								.	8.62.	0	e x dx				.


					(x −		1)2				∫
	0 3				(x −		1)2				∫		x		3
											−1		x

	1
8.57.	∫ ln xdx .
	0
	2				dx
	0∫				dx
8.60.							.
8.60.			(x − 1)2				.
			1
	1
8.63.	1	e x dx				.
	∫	e x dx
	∫
	0			x 2

§5. Приложения определённого интеграла

В задачах 8.64-8.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:


y = x2	+ x	.	y = 4x − x2		.	y = x2		+ 1	.
8.64.	+ 1	.	8.65.	y − x = 0	.	8.66.	− x2		.
y = x	+ 1			y − x = 0		y = 3	− x2

	y − sin x = 0										2			y = x			2
								y = (x − 1)						y = x
8.67.		y =	2			.	8.68.				.	8.69.						.
8.67.			2			.	8.68.				.	8.69.						.
				x				y = x +			1		y = 2 2x
			π	x				y = x +			1		y = 2 2x
			π
													y =
		y = x		2					y = cosx				y =			x3
8.70.		y = x				.	8.71.			π	π .	8.72.		x	= 3
8.70.						.	8.71.			π	π .	8.72.		x	= 3
	y + x2 =				2x			x +		y =	2			y	= 0
										2	2			y	= 0


	y = tg x
8.73.		y = 0 .
		x = π
		3
		y =
		y =		x
	y =				.
8.76.	y =		4 − 3x		.
		y = 0

		y = x 2

8.79.	lg x + lg y = 0
8.79.		.
		y = 0
		x = 2
		x = 2

y = x3
	1
	1
8.74. y =		.
8.74. y =	x	.
	x
x = 2

y + x 2 = 3x

8.77.y = 6 − 2x .

	x = 0

y = (x − 1)2
	x = 0
	x = 0
8.80.	.
	y = 0
	x = 5
	x = 5

y = 2− x

8.75.x − 2 y + 2 = 0 .

		x − 2 = 0

	y = e2x
8.78.	y = e−2x .
	x − 3 = 0

	y = 4x − x 2
		x = 0
8.81.		x = 0
8.81.		.
		y = 1
		y = 3
		y = 3

Взадачах 8.82-8.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями

вполярных координатах ( ρ > 0 ):

8.82.	ρ = 3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .			8.83.	ρ = 2cosϕ .	8.84.	ρ = 2sinϕ .
8.85.	ρ = cos2ϕ .			8.86.	ρ = 2sin2ϕ .	8.87.	ρ = 4cos3ϕ .
8.88.	ρ = 1 + sinϕ .			8.89.	ρ = 2(1 − sinϕ ).	8.90.	ρ =		(1 + cosϕ ).
								2
8.91.	ρ =		(1 + sin ϕ ).	8.92.	ρ 2 = 2 cosϕ .	8.93.	ρ 2 = 2 sin ϕ .
		2

В	задачах		8.94-8.102	вычислить площади фигур,			ограниченных
линиями:
x = 3cost		.	8.95.	x = 2 + 2 cost	.	x = 2 cost		.
8.94.						8.96.
y = 3sint				y = 3 + 2sin t		y = 4sin t

x = 2 + 3cost		.	8.98. Астроидой
8.97.	+ 2sin t
y = 3

x = t − sint

8.99. Одной аркой циклоиды = −

y t cost

x = cos3 t	, t [0;2π ] .
	, t [0;2π ] .
y = sin3 t

и осью Ох .

x = t − sint		y =	1	( 0 < x < 2π ) .
8.100.. Первой аркой циклоиды	и прямой

y = t − cost		2

x = 2 cost	, y = 3 ( y ³ 3 )	8.102.	x = 8cos3 t		x = 1 ( x ³ 1 )
8.101.	, y = 3 ( y ³ 3 )	8.102.		,	x = 1 ( x ³ 1 )
y = 6sin t			y = 8sin	3 t

В задачах 8.103-8.111 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ox фигур, ограниченных линиями:

y = 2x − x2
8.103.	.
	y = 0

y − sin x = 0
		2		.
8.104.	y =		x

		π

	y = cos x
		9
8.105. y =		9		x	2 .
		2π	2
		2π

		y 2 =			3			2x − x2 − y = 0		y = ax − x2 , a > 0
						x
					2
8.106.							. 8.107.		− 4x + y = 0	. 8.108.	.
	2	+ y	2	=	1, (x > 0)		2x2				y = 0
x

y = ln x
	y = 2 .
8.109.
	x = 2

xy = 4

x = 1	.
8.110.	.
x = 4

y = 0

y = 1 − x 2


x = y − 2
8.111.	.
	x = 1
	x = 0

В задачах 8.112-8.123 вычислить объемы тел, образованных вращением

вокруг оси Oy фигур, ограниченных линиями:

y 2	= 4 − x	y = x3
y 2	= 4 − x
8.112.	.	8.113. y = 0 .
	x = 0	x = 2

y = x2 − 2x + 1
	y = 0	. 8.116.
8.115.	y = 0	. 8.116.
	x = 2

y = sin x
	y = 1 .	8.119.
8.118.
	x = 0

y = 2x − x2
	y = 2 − x .
	y = 2 − x .
	x = 0

x + y = 2
	y = x .

	y = 0

8.114.

8.117.

8.120.

	y 2 = x3

y = 0, (y > 0)
	x = 1

y = arcsin x

y = arccos x

	y = 0

x + y = 2
	y = x .

	x = 0

y = e x

y = 0	.
8.121.	.
x = 1

x = 0


y =		x − 1
	y = 0
	y = 0
8.122.	y = 1 .
	x =		1
			1

	2

y 2 = x − 2
	y = 0
	y = 0
8.123.		.
	y = 1
	y = x	3
	y = x

В задачах 8.124-8.132 вычислить длины дуг кривых:

8.124.	y =		2 − x2	от точки	B (− 1 ; 1) до точки		A(1 ; 1 ).
8.125.	y = x 2 − 2 между точками пересечения кривой с осью OX .
8.126.	y = e x между точками, для которых x = 0						и x = 1 .
8.127.	y =	1	(ex + e− x ) (цепная линия) между точками с абсциссами x = −1
8.127.	y =
	2
и x = 0 .
				x = 3(t − sin t)		, π ≤ t ≤ 2π .
8.128. Циклоиды						, π ≤ t ≤ 2π .
				y = 3(1 − cost)

8.129.

8.130.

x = 4cos3 t	,	0 ≤ t ≤	π	.
Астроиды	,	0 ≤ t ≤		.
y = 4sin3 t			4
		x = R(cos t + t sin t )			от t1	= 0	до t 2 = π .
Эвольвенты окружности				− t cos t )	от t1	= 0	до t 2 = π .
		y = R(sin t		− t cos t )

8.131.	Кардиоиды ρ = 3(1 + cosϕ ).
8.132.	Окружности ρ = 2		cosϕ между точками, для которых ϕ = 0 и
		3

ϕ = π .

Глава № 9

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.24 Mб07827.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07828.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07829.pdf
#
21.11.2023152.32 Кб0783.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07830.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07831.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07832.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07833.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07834.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07835.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07836.pdf