7830

Вычислить

алгебраические

дополнения

элементов

a13

и

a32

определителей следующих матриц:

− 3 − 2

0

0 1

2

1

1

−1

− 2

− 1

− 2

− 1

1.36.

0

.

1.37.

3 1

.

1.38.

1

1

.

15

− 7

4

1

− 1

1

1

1 0

1

3

2

3

2

1

1

− 2

3

− 2

− 2

− 5

1.39.

2

6

4

.

1.40.

3

2

.

1.41.

1

.

− 1

− 3

− 2

4 5

3

3

2

7

Решить нижеследующие уравнения:

1

3

x

3

x − 4

− 3

2 1

1.45.

4

5

− 1

= 0 .

1.46.

2

− 1

3

= 0 . 1.47.

x − 1

0

7

= 0 .

2

− 1 5

x + 10 1

1

2

− 1 3

3 − 2 1

2

x + 2 −1

3

2

− 1

1.48.

1

x

− 2

= 1.

1.49.

1

1

− 2

= 0 . 1.50.

x + 2

0

1

= 0 .

−1 2

−1

5

− 3

x

− 2 3 − x 1

1.51.

1

2

1.52.

3

2

1.53.

3

− 1

1.54.

− 2

− 1

.

.

.

− 3

.

3

4

4

3

− 5

2

− 4

1

0

0

1 2

− 3

1

2

3

1

1

1

1

1.55.

1

1.56.

2

− 4

5

0

1

1

1

0

0 .

3

. 1.57.

4

6

. 1.58.

.

0

1

−1

0

8

0

0

1

1

0

2

7

9

0

0

0

1

1

2

2

− 1

− 2

1

1.59. Дано:

A =

B =

C =

− 1

,

,

.

0

1

3

0

1

1) X = (A - B 2 )× 2C −1 ;

2) X = (B - C 2 )× 2 A−1 ;

3) X = (C - A2 )× 7 B −1 ;

4) X = 2C −1 + A × B - C ;

5) X = 2 A−1 + B × C - A ;

6) X = 7B −1 + C × A - B ;

7) X = C - A2 + 7B −1 ;

8) X = B 2 - 2C −1 + A ;

9) X = (2C −1 + C )× A × B .

Методом окаймляющих миноров в задачах 1.60 - 1.66 вычислить ранг

матрицы:

1

2

1

2

1 − 2

3

1

3 2

1.60.

. 1.61.

1.62.

− 4

1.63.

6

−

.

2

6 .

2

4 .

3

1

3

6

4

− 1

5 1

− 3 2

−1 0

3 − 2

0 1 − 3

4

3

2

2

1.64.

3

− 1

1.65.

0

− 2

.

1.66.

7

3

5

2

− 3 .

1

3

.

1 − 8

−

11

5

8

3 6

3 2 0

5

7

15

11

В задачах 1.67-1.69 найти ранг матрицы методом элементарных

преобразований:

1

0

0

1

1 1 3

3 2

1

− 1

1 − 1

1.67.

0

1

0

2

2

− 1

− 1 4

1.69.

− 1

− 1

.

1.68. 2

.

1

1 .

0

0

1

3

3 2

− 1

2

3

1 1 3

1

− 2 2

1

14

1.70. При каких значениях λ

λ

− 1

имеет ранг, равный 1 ?

матрица

1

2

λ

0

1

1.71. При каких значениях λ

ранг матрицы 3

4

1 равен 2 ?

1

− 1

2

1

λ

2

1.72. Найти ранг матрицы 2

1

4 при различных значениях

4

2

8

x + 2 y − 4z = 1

2x − y + z = −2

3x − y + 2z = 5

1.100. 2x + y − 5z = −1.

1.101. x + 2 y + 3z = −1.

1.102. 2x − y − z = 2 .

x − y − z = −2

x − 3y − 2z = 3

4x − 2 y − 2z = −3

x + 2 y + 3z = 4

x + 2 y + 3z = 4

x − 2 y + z = 4

1.103. 2x + y − z = 3 .

1.104. 2x + y − z = 3

1.105. 2x + 3y − z = 3 .

3x + 3y + 2z = 7

3x + 3y + 2z = 10

4x − y + z = 11

2x + x

− x

= 5

.

x + x

− 3x

− 2x

= 4

.

1.106.

1

2

3

= 3

1.107.

1

2

3

4

4x + x

2

+ 3x

3

x − x

2

+ x

3

= −6

1

1

x1 + x2 = 1

2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 5

3x − x

2

+ 2x

3

+ x

4

= 1

1

= 6 .

1.108. 2x1 + 3x2 = 5 .

1.109. x + 2x

+ 3x

+ 4x

4x + 5x

= 7

1

2

3

4

= 1

1

2

6x + 4x

2

+ 4x

3

+ 6x

4

1

x + 2x

2

+ 3x

3

= 6

1

2x1 − 3x2 + x3 = 0

1.110. 3x

− 2x

2

+ 4x

3

= 5 .

1

− x

x

2

+ 3x

3

= 3

1

3x − 2 y + z = b

1.111. При каких значениях a и b система уравнений

− 8 y + 9z = 3 :

5x

x + x

2

+ x

3

= 0

x + 2x

2

+ 3x

3

= 0

1

1

1.112. 3x1 − x2 − x3 = 0 .

1.113. 2x1 + 3x2 + 4x3

= 0 .

2x + 3x

2

+ x

3

= 0

3x + 4x

2

+ 5x

3

= 0

1

1

3x1 + 2x2 + 2x3 = 0

2x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 0

1.114.

5x

+ 2x

2

+ 3x

3

= 0 .

1.115.

x

+ x

2

+ 2x

− x

4

= 0 .

1

1

3

3x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0

3x1 + 2x2 − x3 − 6x4 = 0

1.116.

+ x2

− x3 − x4 = 0 .

1.117.

− x2

− x3 − 4x4 = 0 .

x1

4x1

5x + x

2

− x

4

= 0

x + 4x

2

+ 3x

3

− 2x

4

= 0

1

1

2.1.

Вычислить длину вектора a = 3i

- 2

j

+ 6k .

2.2.

Даны

две координаты вектора

x = 4 и y = −12 . Определить третью

z при условии, что

= 13 .

координату

a

2.5.

Даны неколлинеарные векторы

a

и

b . Коллинеарны ли векторы

=

- 2

3

b

и d

= - 3 ×

+ 6b ?

c

a

a

= α

= 4(β ×

-

),

2.6.

AB

BC

b

,

b

Пусть векторы

a

и

неколлинеарны

и

a

a

2

2.7.

ABCDEK - правильный шестиугольник,

=

,

=

.

AB

BC

причём

b

a

Выразить через

и

b

векторы

CD ,

DE

,

EK

,

KA

,

AC

,

AD

,

AE

.

a

2.8.

Точки K и

L служат серединами сторон

BC и CD параллелограмма

ABCD. Выразить векторы

и

.

BC

и

DC

через

AK

AL

2.9.

= 2 и углы

α = 450 , β = 600 , γ = 1200 ,

Дан модуль вектора

a

2.10.

= {12 ;

− 15 ; − 16 }.

Вычислить направляющие косинусы вектора

a

2.11.

Найти координаты вектора

,

образующего с тремя векторами

а

= 2

равные острые углы, при условии, что

3 .

i

, j , k

a

2.12.

, чтобы имело

Как должны быть связаны ненулевые векторы

a

и

b

+

=

−

2) a x / |

|= bx / |

|

место соотношение: 1)

b

b

;

b

?

a

a

a

2.14.

Радиус-вектор

точки M составляет с осью OX

угол 45 0

, а с

r

OY - угол 60 0 . Длина его

= 6 . Определить координаты точки M ,

сью

r

z отрицательна,

=

через орты

если ее координата

и выразить вектор

OM

r

i

, j ,

k .

2.15.

A (1 ; 2 ; 3 ) и

B ( 3 ; − 4 ; 6 ). Построить вектор

=

,

Даны точки

AB

u

2.16.

OA

= i

+

и

OB = k − 3

Построить параллелограмм на векторах

j

j

и

определить длины его диагоналей.

2.17. Даны три последовательные вершины параллелограмма:

A( 3 ; − 4 ; 7 ),

B (− 5 ; 3 ; − 2 )

и C (1 ; 2 ; − 3 ) . Найти его четвертую вершину

D .

2.18.

Даны

три

вершины

треугольника:

A ( 3 ; − 1 ; 5 ),

B (4 ; 2 ; − 5 )

и

C ( − 4 ; 0 ; 3 ). Найти длину медианы, проведённой из вершины A .

2.19.

Даны вершины треугольника A( 3; − 4; 7), B(− 5; 3; − 2)

и C(1; 2 ; − 3).

Найти длину средней линии треугольника, которая параллельна стороне BC.

2.20. Установить,

,

,

в каких случаях тройки векторов

b

будут линейно

a

c

зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор

, как

c

:

линейную комбинацию векторов

и

b

a

= {5; 2 ; 1},

= {− 1; 4 ; 2 },

= {− 1; − 1; 6 };

1)

b

a

с

= {6 ; 4 ; 2 },

= {− 9 ; 6 ; 3 },

= {− 3; 6; 3 };

2)

b

a

с

= {6;−18; 12 },

= {− 8 ; 24 ; − 16 },

= {8; 7 ; 3 }.

3)

b

a

с

= 13 ,

= 19

+

= 24 .

−

.