7777

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

§5. Интегрирование тригонометрических функций

В задачах 7.116-7.133 вычислить интегралы

7.116. ∫ sin 3x ×sin 7x dx .

7.117. ∫ sin 2x × cos6x dx .

7.118. ∫ cos

7.119. ∫ sin3 x dx .

7.120. ∫ cos5 x dx .

7.121. ∫ sin2 x × cos3 x dx .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

7.87.	∫ x 2 sin xdx .	7.88.	∫ ln 2 xdx .		7.89.		∫ x 2 × e − x dx .
7.90.	∫ x 2 × 2 x dx .	7.91.	∫ e x sin xdx .		7.92.		∫ e x cos xdx .
7.93. Вычислить разность		F (2) − F (1) ,		если	F (x) -	первообразная для
функции x ln x .
7.94. Вычислить разность			π	, если F (x)		- первообразная для
7.94. Вычислить разность		F (2π ) - F		, если F (x)		- первообразная для
			3

функции (x + 6)cos3x .

§4. Интегрирование рациональных функций

В задачах 7.95-7.115 вычислить интегралы

∫

dx .

∫

7.95.

7.96.

dx .

x -

x + 2

∫

7.98.

7.99.

(x + 2)(x + 3)

(x + 1)(2x - 3)

7.101. ∫

(2 x + 7)dx

∫

x dx

x 2 + x − 2 .

7.102.

2 x 2 − 3x − 2

7.104. ∫

-1

dx .

∫

7.105.

x3 - x

× (x +1)

7.107. ∫

+ 1

∫

x 2 + x + 1

dx .

7.108.

dx .

x 4

- x

7.110. ∫

x × (x2 +1).

7.111.

∫

x3 - 1

113. ∫

x − 2

dx . 7.114. ∫

x − 2

dx .

x4 -1

+ 2x2 + x

7.97. ∫ dx . x2 - 2

. 7.100.

7.103.

7.106.

7.109.

(x − 4)dx

∫ (x - 2)× (x - 3) .

∫ 3x2 + 2x - 3dx . x3 - x

x + 2

∫ x3 + xdx .

x + 1

∫ x4 - x2 dx .

x dx

7.112. ∫ x3 - 1 .

x 2 + 4

7.115. ∫ x 4 + x3 + 4x 2 + 4x dx .

7.122.	∫		cos 3 x			dx .		7.123.	∫		sin 3 x						dx .		7.124.

			sin 2 x									cos x
	∫ tg			4					∫ sin				2	x
7.125.					xdx .			7.126.								dx .			7.127.
														2

7.128. ∫ cos 4 xdx .								7.129.	∫		dx				.				7.130.


										3sin x
	∫				dx				∫			dx
7.131.							.	7.132.										.	7.133.
		5cos x + 3								1 + sin x

∫ctg3 xdx .

∫cos2 x dx . 2

∫ 5 cos 2x .

∫ 1 + sin x + cos x .

§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

В задачах 7.134-7.150 вычислить интегралы

7.134. ∫ x × x + 5dx .

7.137.

∫

dx .

7.140.

∫

x − 1

dx .

2x −

7.143.

∫

dx .

x +

7.146.

∫ x3 ×

1 + x 2 dx .

7.149. ∫		1	dx .
	x ×

		x2 -1

7.135.

∫

dx .

7.136.

∫

dx .

x -1

7.138.

∫

dx .

7.139.

∫

x + 2

dx .

x + 1

∫

dx .

∫

x 2

7.141.

7.142.

dx .

x ×

x - 1

7.144.

∫

dx .

7.145.

∫

dx .

+ 3 x 2

+ 3 x − 2

×(1+

)3 dx .

7.147.

∫

7.148.

∫

9 - x 2 dx .

7.150. ∫

dx .

x2 + 1

§7. Смешанные примеры

7.151. Найти ту первообразную от функции			1	x , которая принимает
7.151. Найти ту первообразную от функции				x , которая принимает
значение 3 при x = 2 .			2
значение 3 при x = 2 .
7.152. График первообразной	F (x)				x + 3
		для функции					проходит
					(x - 4)×
					(x - 4)×	x - 4
через точку A( 5 ; 0 ) . Найти	F (8).

В задачах 7.153-7.196 вычислить интегралы

7.153.

7.156.

7.159.

7.162.

7.165.

7.168.

7.171.

7.174.

7.177.

7.180.

7.183.

7.186.

7.189.

7.192.

7.195.

∫ (x + 1)× x2 + 2x dx

∫

(2 x + 3)dx

x 2 − 4

∫

xdx

x 4 +1

∫

× 1 - e

− 2 x

∫

1 - xdx

x− 1

∫1 - x dx .

∫x ×sin 2 xdx .

x2 + 1

∫x3 - x2 dx .

∫ sin x × cos3x dx .

ln x

∫ x3 dx .

2 x

∫ dx .

1 + 2 x

x 2

∫ dx .

8x3 + 27

∫	dx
	x × (1	+ x) .

∫ sin2		x	× cos2	x	dx .
				2
	2
		dx
∫	ex × (3 + e− x ) .

. 7.154. ∫ x4 × 41 - 6x5 dx .

7.157. ∫ 1 + 9x 2 .

e x dx

7.160. ∫ e2 x + 4 .

7.163. ∫ x × 3 - ln2 x .

7.166. ∫ × ( - ) . x 1 x

7.169. ∫	arccos x	dx .

	1 − x 2

7.172. ∫ x × tg 2 xdx .

x4 +1

7.175. ∫ x3 - x 2 dx .

7.178. ∫ sin4 x × cos5 x dx .

7.181. ∫	tg x	dx .

	cos x
	cos x

7.184. ∫ 1 + tg3 x dx . cos2 x

7.193. ∫ tg2 4xdx .

7.196. ∫ 2 - 6x - 9x 2 .

7.155. ∫		2 − 4x			dx .


			7x -1
7.158. ∫			dx
				.
	2x2 + 9

7.161. ∫ e x × 1 - e x dx .

	ln x dx
7.164. ∫	x × (1 - ln2 x).

7.167. ∫ x3 × 51 - 5x4 dx .

		1
	sin	1	dx
7.170. ∫		x2				.
7.170. ∫		x3				.
		x3
7.173. ∫	arctg x dx			.
7.173. ∫				.
	x2
7.176. ∫	sin 2x				dx .


	5 - cos 2x

7.179. ∫ cos5x × cos x dx .

7.182. ∫				ln x	dx .
7.182. ∫					dx .
				x 2
7.185 ∫			2 x
					dx .
	1				dx .
	1		+ 4 x
7.188 ∫		ln		2 x + 2
						dx .
						dx .
				x

7.191. ∫ cos

7.194. ∫

sin 5x

dx .

+ cos5x

7.198. ∫

x − 1

dx .

2x - 1

7.199. ∫

7.200. ∫

x − 2

dx .

7.201. ∫ tg 7 x dx

- 2x

- x 2

2x - x

Глава № 8

Определенный интеграл

§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и подведение функции под знак дифференциала

В задачах 8.1-8.12 вычислить интегралы

	3
8.1.	∫ 5x2dx .
	2
	7	dt
8.5.	∫	dt		.


		3t +	4
	−1	3t +	4

4dx

8.2.π∫ cos2 x .

5 dx

8.6.1∫ 3x - 2 .

	4				x				4
8.3.	∫	1		+ e 4		dx .		8.4.	∫ xe − x 2 dx .

	0								0
	1			dx					2	dx
	0∫								1∫
8.7.							.	8.8.			.
			(2 x + 1)3							x 2 + x

x + 3

8.9. ∫

. 8.10. ∫

dx .

8.11. ∫

x dx

8.12. ∫

+ 5x + 4

1 x

0 x 2 + 4

x × 1 + ln x

					§2. Замена переменной в определённом интеграле
В задачах 8.13-8.24										вычислить интегралы
4		1									4				1							1		x dx
8.13. ∫		1				dx .				8.14. ∫					1			dx .			8.15. ∫			x dx					.


0 1		+ x									0 1	+			2x + 1							−1		5 − 4x
13	(x + 1)										0			dx								1
13	(x + 1)										0			dx								1				2
8.16. ∫							dx .			8.17. ∫							.				8.18. ∫		4 - x					dx .
	3											+ 3
			2x +			1
0			2x +			1					−11					x + 1						0
											ln 2
2		3				dx																ln 8			dx
2		3											e x -1dx .									ln 8
	∫										∫											∫
8.19.									.	8.20.											8.21.									.


	2 x2 ×							x2 + 4			0											ln 3 1 + e x
											π
e 4		1 + ln x									π	(2 tg x − 7)dx .										3			x
e 4											4											3
8.22. ∫								dx .		8.23.	4										8.24.	∫					dx .
8.22. ∫								dx .		8.23.	∫										8.24.	∫					dx .
1				x							∫			2	x − 9 sin				2	x		0		6 - x
											0 cos				x − 9 sin					x

§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле

В задачах

8.25. ∫ x e− x dx .

8.28. ∫ arctg x dx

8.25-8.36 вычислить интегралы

8.26. 2∫ (x − 1) cos x dx .

	e ln x dx
.	8.29. ∫		.
		x3
	1

8.27. π∫ (π − x) sin x dx .

0
	π
8.30.	4	xdx	.
	∫	xdx
	∫
	0 cos2 x

4xdx

8.31.π∫ sin2 3x .

2 x cos xdx
8.34. ∫		.

π	sin3 x
4

1	− 2 x dx .		1
8.32. ∫ x2e	− 2 x dx .		8.33. ∫ x2 arctg xdx .
0			0
2		− x dx .	e	(1+ ln x)2 dx .
8.35. ∫ x 2 2		− x dx .	8.36. ∫	(1+ ln x)2 dx .
1			1

§4. Несобственные интегралы

В задачах 8.37-8.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами

интегрирования ( 1 рода ) или установить их расходимость:

	∞ dx
8.37.	∫			.
8.37.	∫		2	.
	1 x
	∞		dx
8.40.	2∫		dx				.

		(x − 1)5
	∞		dx
8.43.	∫		dx			.


	− ∞ x 2 +				1
	∞
8.46.	∫ e− 4 x dx .
	0
	∞
8.49.	∫ e−x3 x2 dx.
	0

∞ dx

8.38.

∫

8.39.

∫

∞ 1 + x

∞

xdx

8.41.

∫

dx .

8.42.

∫

x 5

0 x 2 +

∞

∞ ln xdx

8.44.

∫

8.45.

∫

2x +

2 x2 +

∞

−

8.47.

∫ xe − 2 x dx

8.48.

∫

dx .

∞

arctg xdx

8.50. ∫

8.51.

∫

x 2 + 1

e x

ln3 x

∞	xdx			∞	dx		∞		dx
8.52. ∫
			.	8.53. ∫		.	8.54. ∫			.

	(x2 −	3
					2				+ 2x + 2
2		3)		0	(x + 1)		− ∞ x	2

В задачах 8.55-8.63 вычислить интегралы от разрывных функций

(2 рода ) или установить их расходимость:

3dx

8.55.∫ .

0 9 − x 2

		1
8.58.	4		dx		.
		∫	dx
		∫
		0 x ln x
	2			dx
8.61.	∫			dx			.


				(x −		1)2
	0 3			(x −		1)2

	2				xdx
8.56. ∫					xdx			.


	1				x − 1
	π
8.59.	4					dx			.
8.59.	∫								.
	0		1 − cos2x
	0
		1
	0
	0		e x dx
8.62. ∫			e x dx				.
8.62. ∫							.
	−1			x3

	1
8.57.	∫ ln xdx .
	0
	2				dx
	0∫				dx
8.60.							.
8.60.			(x − 1)2				.
			1
	1
8.63.	1	e x dx				.
	∫	e x dx
	∫
	0			x 2

§5. Приложения определённого интеграла

В задачах 8.64-8.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

y = x2 + x

8.64. .

y = x + 1

	y − sin x = 0
8.67.				2
8.67.		y =		2	x

				π
				π
8.70.		y = x2
8.70.
	y + x2 = 2x

	y = tg x
8.73.		y = 0 .
8.73.		y = 0 .
		x =	π
		x =	3
			3

y = 4x − x2

8.65. .

y − x = 0

y = (x − 1)2

8.68. .

y = x + 1

	y = cosx
8.71.		π				π .
8.71.		π			=	π .
	x +	2		y	=	2
		2				2
	y = x3
		1
		1
8.74.	y =			.
8.74.	y =			.
			x
	x = 2

8.66.	y = x2 + 1				.
8.66.			3 − x2		.
	y =		3 − x2
		y = x 2
8.69.					.
8.69.					.
	y = 2 2x
	y =
	y =			x3
8.72.		x = 3
8.72.		x = 3
		y = 0
		y = 0

			y = 2− x
8.75.
8.75.	x − 2 y + 2 = 0 .
		x − 2 = 0

		y =	x
8.76.

	y = 4 − 3x .
		y = 0

		y = x 2

8.79.	lg x + lg y = 0
8.79.		.
		y = 0
		x = 2
		x = 2

	y + x 2 = 3x			y = e2 x
8.77.			8.78.
8.77.	y = 6 − 2x .		8.78.	y = e−2 x .
		x = 0		x − 3 = 0

	y = (x − 1)2			y = 4x − x 2
		x = 0			x = 0
8.80.		x = 0	8.81.		x = 0
8.80.		.	8.81.		.
		y = 0			y = 1
		x = 5			y = 3
		x = 5			y = 3

Взадачах 8.82-8.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями

вполярных координатах ( ρ > 0 ):

8.82.	ρ = 3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .			8.83.	ρ = 2cosϕ .	8.84.	ρ = 2sinϕ .
8.85.	ρ = cos2ϕ .			8.86.	ρ = 2sin2ϕ .	8.87.	ρ = 4cos3ϕ .
8.88.	ρ = 1 + sinϕ .			8.89.	ρ = 2(1 − sinϕ ).	8.90.	ρ =		(1 + cosϕ ).
								2
8.91.	ρ =		(1 + sinϕ ).	8.92.	ρ 2 = 2 cosϕ .	8.93.	ρ 2 = 2 sinϕ .
		2
	В задачах 8.94-8.102 вычислить площади					фигур, ограниченных
линиями:

8.94.	x = 3cost		.

	y = 3sin t
8.97.	x = 2 + 3cos t			.
		+ 2sin t
	y = 3

x = 2 + 2cost		.		x = 2cost		.
8.95.			8.96.		4sin t
y = 3 + 2sin t				y =
8.98. Астроидой	x = cos3 t			t Î[0;2π ] .
			,
	y		= sin3 t

8.99. Одной аркой циклоиды x = t − sin t				и осью		Ох .
		y = 1 − cost
8.100..	Первой аркой циклоиды		x = t − sin t		и прямой		y =	1	( 0 < x < 2π ) .

			y = 1 − cost				2
8.101.	x = 2cost	, y = 3 ( y ³ 3 )	x = 8cos3 t			x = 1	( x ³ 1 )
			8.102.		,
	y = 6sin t		y	= 8sin3 t

В задачах 8.103-8.111 вычислить объемы тел, образованных вращением

вокруг оси Ox фигур, ограниченных линиями:

8.103.	y = 2x − x2
8.103.		.
		y = 0

y − sin x = 0
		2		.
8.104.	y =		x

		π

	y = cos x
		9
8.105. y =		9		x	2 .
		2π	2
		2π

		y 2 =			3				2x − x2 − y = 0			y = ax − x2 , a > 0
						x
					2	x	. 8.107.				. 8.108.
8.106.					2		. 8.107.			− 4x + y = 0	. 8.108.		.
	2	+ y	2	=	1, (x > 0)			2x2		− 4x + y = 0			y = 0
x		+ y		=	1, (x > 0)

y = ln x
	y = 2 .
8.109.
	x = 2

xy = 4

x = 1	.
8.110.	.
x = 4

y = 0

y = 1 − x 2


x = y − 2
8.111.	.
	x = 1
	x = 0

В задачах 8.112-8.123 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Oy фигур, ограниченных линиями:

	y 2	= 4 − x	y = x3
8.112.	y 2	= 4 − x
8.112.		.	8.113. y = 0 .
		x = 0	x = 2

	y = x2 −
8.115.		y =

		x =

	y = sin x
		y = 1
8.118.
		x = 0

	y = e x

8.121.	y = 0
		.
	x = 1

=x 0

2x + 1

0	. 8.116.
2

. 8.119.

8.122.

y = 2x − x2
	y = 2 − x .

	x = 0

x + y = 2
	y = x .

	y = 0

y = x − 1y = 0

		y = 1 .
			1
		x =

		2

8.114.

8.117.

8.120.

8.123.

	y 2 = x3

y = 0, (y > 0)
	x = 1

y = arcsin x
	= arccos x
y
	y = 0

x + y = 2
	y = x .

	x = 0

y 2 = x − 2
	y = 0

		.
	y = 1
	y = x	3

В задачах 8.124-8.132 вычислить длины дуг кривых:


8.124.	y = 2 − x2 от точки B (− 1 ; 1) до точки A(1 ; 1 ).
8.125.	y = x 2 − 2 между точками пересечения кривой с осью OX .

8.126.	y = e x между точками, для которых x = 0 и x = 1 .
8.127.	y =	1	(ex + e− x ) (цепная линия) между точками с абсциссами x = −1

	2
и x = 0 .
				x = 3(t - sin t)		, π ≤ t ≤ 2π .
8.128. Циклоиды					- cost)
				y = 3(1

8.129.

8.130.

	x = 4cos3 t		, 0 ≤ t ≤	π
Астроиды		3 t	, 0 ≤ t ≤	.
	y = 4sin	3 t		4

	x = R(cos t + t sin t )	от t1 = 0 до t 2 = π .
Эвольвенты окружности		от t1 = 0 до t 2 = π .
	y = R(sin t - t cos t )

8.131. Кардиоиды ρ = 3(1 + cosϕ ).

8.132. Окружности ρ = 23 cosϕ между точками, для которых ϕ = 0 и ϕ = π .

Глава № 9

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

§1. Область определения функции

В задачах

9.1-9.12 найти и изобразить на координатной плоскости xOy

области определения функций:

9.1. z =

x + 2 y

9.2. z =

9.3.

z =

x - y

- y2

+ 4 y2 -

. 9.5. z =

9.4. z =

1 − x2

1 − y2

z = ln x +

1 - x - y

9.6.

y .

9.7. z =	1	- ln(x × y).

	x - 2

9.10. z = y + arcsin (x + 2).

ln(x 2

× y )

(

- x

- y

2 )

9.8.

z =

9.9. z =

ln 1

y - x

9.11. z =

1 + y2

9.12. z = ln(y 2 − 4 x + 8).

sin x

§2. Линии уровня функции нескольких переменных

В задачах 9.13-9.24 написать уравнения линий уровня функции

z = f ( x ; y ) и построить их:

	z =			.		z =		x	.
9.13.			y − x2		9.14.

								y
	z =	y			z = x ×						.
9.17.			. 9.18.				y - 1
		x

9.21.	z = y 2 - x .				9.22.	z =		y		.
								3
								x

9.15.	z =		y - x2			.	9.16. z = x 2 × y + y .

				x2
9.19.	z = x × y + y .						9.20.	z =				- y .
										x
9.23.	z =	x		2	.		9.24.	z =	2 y		.
		y		2

									x

§3. Частные производные

В задачах 9.25-9.42 найти частные производные первого порядка :

9.25.	z = x − y .								9.26.	z = x 2 + 3x × y - y 3 .
9.28.	z =		x × y					.	9.29.	z = x × tg(y + 1) .
9.28.	z =	x	2	+ y		2		.	9.29.	z = x × tg(y + 1) .
		x		+ y
9.31.	z = x × ln y + arcsin y .								9.32.	z = arctg			y	.
9.31.	z = x × ln y + arcsin y .								9.32.	z = arctg				.
													x
9.34.	z = ysin x .								9.35.	z = (5x3 × y 2 + 1 )4 .
					y					z = ln(x +						).
9.37.	z = x × ln				y		.		9.38.						x2 + y2
9.37.	z = x × ln						.		9.38.						x2 + y2
					x
9.40.	u = x × y + y × z + x × z .								9.41.		y	.

										u = x z
										u = x z

9.27. z = u + v . v u

9.30. z = 2 y . sin x

9.33. z = x y .

9.36.z = e x .

9.39.u = x × y × z .

9.42.u = x y z .

	В задачах 9.43-9.48 найти производные второго порядка					z′′	z	′′	,	z′′
	В задачах 9.43-9.48 найти производные второго порядка					xx ,		yy	,	xy :
				1			.
9.43.	z = x3 + x × y 2 - 5x × y 3 .	9.44.	z =	1	(x 2 + y 2 )3
9.43.	z = x3 + x × y 2 - 5x × y 3 .	9.44.	z =		(x 2 + y 2 )3
			3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.23 Mб07772.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07773.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07774.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07775.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07776.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07777.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07778.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07779.pdf
#
21.11.2023152.22 Кб0778.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07780.pdf
#
23.11.20231.23 Mб07781.pdf