7762

¶ 2 u

¶3u

u = e xyz .

9.51.

от

u =

x 2 + y 2 + z 2 -

2xz . 9.52.

от

¶z¶y

¶x¶y¶z

В задачах

9.53-9.62

показать,

что функция

z = f (x , y)

удовлетворяет

заданному уравнению:

9.53.

z = x × ln

y

,

x ×

∂z + y × ∂z = z .

9.54.

z = 2e − x × sin 2 y ,

¶z =

1

¶ 2 z .

x

¶x

¶y

¶x 4 ¶y 2

9.55.

z = ln(x 2 + y 2 ) ,

¶2 z +

¶2 z = 0 .

9.56.

z = sin (x − 2 y ) ,

¶2 z =

1

¶2 z .

¶x 2

¶y 2

¶x2 4 ¶y 2

(

x

y

)

z¢¢ × z¢¢

= ( z¢¢ )

2

u =

1

′′

′′

′′

= 0

+ e

,

. 9.58.

x

- y ,

uxx

+ u yy

+ 2u xy

.

9.57. z = ln e

xx

yy

xy

В задачах

9.63-9.68

найти производные

dy

от заданных функций :

dx

9.63.

x3 × y - y 3 × x = a 4 .

9.64. x × e y + y × e x - e yx

= 0 .

9.65.

x × y - ln y = a .

cos(x + y ) + x3 × y 2 = 1.

9.66.

9.67.

3 x3 + y 3 = y 2 .

9.68.

x y

= y x .

9.69.-9.76.

∂z

,

∂z

В задачах

найти

частные производные

x

¶y от

¶

нижеследующих функций :

9.69.

x2

+

y 2

+

z2

= 1.

9.70. x 2 - 2 y 2 + 2z 2 + 4z = 0 .

a2

b2

c2

9.71.

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x × z = 1 .

9.72.

z 3 + 3x × y × z = a 3 .

9.73.

e z

- x × y × z = 0 .

9.74.

e z = cos x × cos y .

sin(x × y + x × z + y × z) = x × y × z .

= ln(x × y × z ).

9.75.

9.76.

x × z

9.85.

Для функции

z = x 2 - 2 x × y + 3 y - 1

найти проекции градиента в

(1; 2). Вектор

построить.

точке

grad z

9.86.

Для функции

z = 4 - x 2 - y 2

построить линию уровня и градиент в

точке

A (1; 2).

9.87.

z =

4

построить линию уровня,

Для функции

градиент

x2

+ y 2

функции в точке A (1; 2) и найти модуль градиента.

u =

x 2 + y 2 + z 2

grad u

.

9.88. Для функции

найти

grad u

и

9.89. Найти производную функции

u = x 2 + y 2 + z 2

в точке A (1;1;1) в

= {cos 450 ; cos 600 ; cos 600 } .

направлении l

9.90.

Найти производную функции

z = x3 - 3x 2 × y + 3x × y 2 + 1

в точке

N ( 3;1 ) в направлении, идущим от этой точки к точке M ( 6 ; 5 ).

9.91. Для функции

z = f ( x ; y )

в точке M 0 ( x0 ; y0 )

найти градиент и

производную по направлению вектора

:

a

1) z = -3x 2 + 2 y ,

M 0 (1;−3 ),

= {6 ; 8 };

a

2) z = ln(3x + 2 y ),

M 0 ( − 1; 2 ),

= {− 3 ;−4 };

a

3) z = arctg

y

,

M 0 (1; 1 ) ,

= {− 5 ;12 } ;

a

x

z =

x + y

M 0 (1;−2 ),

= {1 ; 2 };

4)

,

a

x2 + y2

5)

z = x × y 3 + x3 × y ,

M 0 (1; 3 ),

= {2 ; − 1 } ;

a

π

6)

z = x2 × cos y ,

M 0 1;

,

a = {5 ; − 12 };

2

7)

z = sin(π × x × y),

M 0 (1; 1 ),

= {1 ; − 1 } ;

a

8)

z = ln(x + y 2 ),

M 0 ( 3 ; 4 ),

= {6 ; − 8 };

a

z =

x × y

M 0 ( 0 ;1),

= {− 1; − 1}.

9)

,

a

x2 + y 2 + 1

1)

z =

1

,

M 0 (1; 1 ) ;

2) z = ln(5x − 4 y ),

M 0 ( 2 ; 1 ) ;

x 2 + y 2

z = arctg(x × y),

M 0 (1; 1 ) ;

4)

z = 3

,

M 0 (1; 1 );

3)

x + 7 y

5)

z = arcsin

x

,

M 0 (1; 2 ) ;

6)

z = e x

2 + y 2 ,

M 0 ( 2 ; 1 ).

y

1) z = ln(x2 + 4 y 2 ) в точке ( 6 ; 4 ; ln 100);

2) z = x y

в точке ( 2 ; 2 ; 4).

9.94.

Каково

направление

наибольшего

изменения

функции

u = x ×sin z - y × cos z

в начале координат ?

1

16

9.95. Найти точку, в которой градиент функции z = ln x

+

равен i −

j .

9

y

9.96.

Найти производную функции u =

1

в направлении её

x2 + y 2 + z 2

1)

x 2 + y 2 + z − 8 = 0 ,

M 0 (1; 2 ; 3 ) ;

2) x 2 + y 2 − z 2 = −1 ,

M 0 ( 2 ; 2 ; 3 );

3)

z = ln(x 2 + y 2 ),

M 0 (1; 0 ; 0 ) ;

4) z = 3x 2 + y + 1 ,

M 0 (1; y0 ; 3 ) ;

5)

z = x4 + 2x2 y − xy + x , M 0 (1; 0 ; 2 );

6) x 2 + y 2 − 5 = 0 ,

M 0 (1; 2 ; 4 ) ;

7)

x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 8z − 1 = 0 ,

M 0 (1; 2 ; 2 ) .

1)

y 2 + z − 3 = 0 ,

M 0 ( − 2 ;1; 2 ) ;

2)

z = 1 + x 2 + 2 y 2 ,

M 0 (1;1; 4 ) ;

3)

x 2

+ 5 y 2

+ z 2 = 10 ,

M 0 (1; − 1; 2 )

;

4)

z = x 2 + y 2 − 6 ,

M 0 ( 2 ;1; − 1 );

5)

x 2

− 2 y 2

+ 3z 2 = 6 ,

M 0 (1; − 1;1 )

;

6)

z = 3x 4 − xy + y 3 ,

M 0 (1; 2 ; 9 );

7)

x 2 + 2 y 2 − 3z 2 + yx + yz − 2 xz + 16 = 0 ,

M 0 (1; 2 ; 3 ).

9.99.

z = − x 2 − 4 y 2 − 8 y − 4 .

9.100.

z = e− 7 x 2 −12 y 2 .

9.101.

z = x 2

+ 3 y 2 + 2 x + 1.

9.102. z = x 2 + 2 y 2 − 4 y + 4x + 2 .

9.103.

z = x 2

− xy + y 2 − y − 2 x .

9.104.

z = y

− y 2 − x + 6 y .

x

y

9.105.

z = 4(x - y ) - x 2 - y 2 .

9.106.

z = e

(y + x 2 ).

2

9.107.

z = x 2 - y 2 - xy + 9 x - 6 y + 20 .

9.108.

z = 1 - x 2 - y 2 - xy + 6x .

9.109. z = 9 - 9x 2 - 20 y 2 + 162 x + 2 y .

9.110.

z = x3 - 6x × y + 8 y 3 + 1 .

9.111.

z = x3 - 3x × y + y 3 .

9.112. z = 2x3 + x × y 2 + 5x2 + y 2 .

3

10

14

17

37

1.4. 5 и 8.

1.6. 4 и 7.

1.13.

1.8.

−

.

1.9.

0 .

− 19

.

47

8

6

− 16

9 0

0

14

− 10 − 13

1.16. (14 ).

- 10

1.19. 0

25

0 .

1.22.

25

0 . 1.30. x = 12 .

- 13

0

0 0

49

53

1.32. Нет решений. 1.33. x1 = 2 ; x2 =

; x3 = -

3

3 . 1.36. 29 и 0. 1.37. -1 и 6.

sin 2α

x

= −10 , x

=

2

2

12

1.41.

-2 .

1.43.

.

1.46.

1

2

.

1.59.

1)

;

6

− 22

5

5

− 5

− 3

5

− 4

− 16

− 13

4)

; 5)

;

8)

;

9)

.

− 2

2

0

5

4

6

− 6

3

1.62. 2 .

1.63. 2 . 1.64.

2 .

1.66.

3.

1.68.

2 .

1.69.

2 . 1.73. (1; − 1; 0 ) .

1.75. (1; 1; 0 ). 1.78. (1; 0 ; 0 ).

1.79. ( 2 ; 0; 2). 1.80. (1; 2 ;1). 1.81. (1,75; − 1;1,75).

1.82. ( 2 ;1; 0).

1.83. ( 0;1;1).

1.84. ( 2 ; 2 ;1).

1.85. ( 2 ;1; 0).

1.86. (1; 0;1).

1.87. (1; − 1; 2). 1.88. ( − 1; 2 ; − 3). 1.89. ( 0; 0;1). 1.90. ( 3; 2 ; 0).

1.91. ( 3; 2 ; 0).

1.97. ( − 1; 0; 2). 1.98. (1; 2 ; 2). 1.99.

x = 2z - 1

. 1.101.

(1;1;1). 1.100.

y = z + 1

5

2

x =

z +

Несовместная.

3

3 .

1.104. Несовместная.

1.108 (− 2 ; 3).

1.103.

y = -

7

5

3 z

+ 3

1.110. (1;

1).

a = -3, b ¹

1

a = -3, b =

1

1;

a ¹ -3;

1.111.

1)

2)

;

3)

.

3

3

x = x

x1 = -

1

x3

1.112. (0 ;

0) .

1.113.

1.114.

2

.

0 ;

1

3 .

x2 = −2x3

x2 = -

1

4 x3

= −

1

x

=

x

x2 = −x1 + x4

x1

x3

1

4

.

1.116.

4

.

1.117.

1.115.

5

x2 =

x4 .

x3 = 0