7700

Интегрирование по частям.

Пусть u и v – две любые дифференцируемые функции от

и v v x . Тогда дифференциал произведения u v вычисляется по следующей формуле:

d uv udv vdu.

Отсюда, интегрируя обе части последнего равенства, находим:

d uv udv vdu ,

или

u v udv vdu,

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Она сводит нахождение интегралаudv к нахождению интеграла vdu , и если функции u и v удается подобрать так, чтобы последний интеграл брался проще, чем исходный, то цель будет достигнута.

Пример. Найти xex dx .

Решение. Пусть u x , dv ex dx , тогда du x dx 1 dx dx , v ex dx ex . По формуле (4) находим:

xex dx xex ex dx xex ex C ,xex dx x 1 ex C .

Пример. Найти x2 ln xdx.

49

§ 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Важным средством исследования в математике, физике, механике и

других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных

понятий математического анализа.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

К понятию определенного интеграла приводят задачи вычисления площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел, вычисление работы,

массы неоднородных стержней, центров тяжести плоских фигур и дуг и т.д. Рассмотрим некоторые из них.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией назовем плоскую геометрическую

x0 a P1 x1 P2 x2 xn 1 Pn xn b x

Рис. 20

Найдем площадь S этой фигуры. Для этого:

50

1) разобьем отрезок a,b произвольно расположенными, но

n

3) составим сумму f Pi xi . Она приближенно равна массе M

i 1

неоднородного стержня;

4) для получения точного выражения массы M стержня перейдем к пределу при 0, max xi и n :

n

M lim f Pi xi .

0 i 1 n

Работа переменной силы на прямолинейном участке пути

Допустим, что некоторая сила f f x , направленная вдоль оси

OX , на отрезке a,b совершает работу (см. рис. 21). Если f const , то работа A вычисляется по формуле A f b a .

Определим работу A переменной силы f x на отрезке a,b :

52

называется определенным интегралом от функции y f x в пределах

где a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования,

f x dx – подынтегральное выражение, f x – подынтегральная функция.

Одним из геометрических смыслов определенного интеграла

является то, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции.

53

Физический смысл определенного интеграла. Здесь его возможности очень широки. В частности, можно определить массу стержня, работу силы на заданном отрезке пути и т.д.

Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла вытекают из основных свойств

Данное свойство распространяется и на сумму любого конечного числа интегрируемых функций.

3.Если отрезок интегрирования a,b разбит точкой c на два

Точка c может находиться и вне отрезка a,b .

4. Интеграл с равными пределами интегрирования a b равен нулю, т.е.

a

f x dx 0 .

a

5. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:

c a, b , что справедливо следующее равенство:

b

f x dx f c b a .

a

Нетрудно понять геометрический смысл этого равенства: интеграл, стоящий слева есть площадь криволинейной трапеции. Произведение, стоящее в правой части равенства, - площадь равновеликого ей прямоугольника с высотой f c и основанием b a (см. рис. 22).

y

y f x

f c

Рис. 22

верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела:

55

Вычисление определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна

a

Доказательство. Доказательство проведем, используя свойство 7.

обозначим определенный интеграл с переменным верхним пределом

все первообразные отличаются на постоянную, то имеет место равенство

a

56

Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в

b

f x dx F x ba F b F a . Теорема доказана.

a

Замечание. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что

вычислении определенного интеграла надо найти первообразную

для подынтегральной функции и вычислить разность

Следовательно, формально все сводится к вычислению неопределенного интеграла, и здесь применимы все методы вычисления неопределенного интеграла.

2

Пример. Вычислить x2 dx .

1

Вычисление определенного интеграла

заменой переменной

Для вычисления определенного интеграла заменой переменной поступают так же, как и при нахождения неопределенного интеграла заменой переменной. Но при этом есть одна особенность, суть которой заключается в том, что неопределенный интеграл есть функция, а

определенный интеграл есть число.

Как было показано в примере выше (см. п. 4 § 3), для того, чтобы при помощи замены переменной привести заданный неопределенный интеграл

57

к табличному, аргумент выражают через новую переменную, затем находят неопределенный интеграл, и полученный результат снова выражают через первоначальный аргумент. В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной.

Таким образом, для вычисления определенного интеграла заменой переменной пользуются формулой:

где c и d , отличные от a и b пределы интегрирования, находятся из

3dx dt , откуда dx dt3 . Найдем новые пределы интегрирования по

Тогда вычисление данного интеграла запишется так:

Вычисление определенного интеграла

интегрированием по частям.

58