7596
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образо-
вания «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
О.Л.Любимцева
СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям занятиям, практическим занятиям (включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) по дисциплине: «Статистический контроль», для обучающихся по направлению подготовки 27.03.01 «Стандартизация и метрология»,
направленность (профиль) Стандартизация и сертификация
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
УДК
Любимцева О.Л. Статистический контроль: учебно-методическое пособие / О.Л. Любимцева; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород: ННГАСУ, 2022. – 21 с. : ил. – Текст : электронный.
Учебное пособие содержит теоретический материал, необходимый для овладения основами статистического контроля, решения задач и упражнения для самостоятельного выполнения.
Курс статистический контроль опирается на семестровый курс Теория вероятностей и является основой для курса Методология научных исследований. В результате изучения предмета студенты должны овладеть математическими методами исследования различных моделей статистического анализа.
Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине: «Статистический контроль», направления подготовки 27.03.01: Стандартизация и метрология, направленность (профиль) Стандартизация и сертификация.
© О. Л. Любимцева, 2022
© ННГАСУ, 2022.
Основные понятия
Под статистическим контролем качества понимается такой контроль,
при котором проверяются не все изделия изготовленной партии, а только вы-
борка из нее. При этом по результатам контроля судят о качестве всей партии.
Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относи-
тельно некоторого качественного или количественного признака, характери-
зующего эти объекты. Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обсле-
дуют каждый из объектов совокупности относительно некоторого признака.
Но сплошное обследование сопряжено с определенными трудностями, напри-
мер, с большим количеством объектов исследования или с уничтожением объ-
екта в результате исследования. Поэтому чаще проводят выборочное обследо-
вание, т.е. отбирают случайным образом ограниченное число объектов и под-
вергают их изучению.
Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности называют число объектов дан-
ной совокупности.
Повторной называется выборка, при которой отобранный объект перед отбо-
ром следующего возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генераль-
ную совокупность не возвращается.
Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупно-
сти, выборка должна быть репрезентативной (представительной).
Наблюдаемые значения xk, называются вариантами, а последовательность ва-
риант, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом.
Числа наблюдений называются частотами, а отношение частот к объему вы-
борки – относительными частотами.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соот-
ветствующих им частот или относительных частот.
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокуп-
ности. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки x1, x2, … xn, полученные в результате n наблюдений.
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределе-
ния называют функцию от наблюдаемых случайных величин, которая в свою очередь также является случайной величиной.
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При вы-
борке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оце-
ниваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам.
Выборочной средней х̅ называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности
х̅ = 1 ∑ =1 .
Выборочной дисперсией в2 называется среднее арифметическое квадратов от-
клонения наблюдаемых значений признака от их среднего арифметического значения
в2 = 1 ∑=1( − ̅)2.
Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или о неиз-
вестных параметрах генеральной совокупности, которое может быть прове-
рено на основании выборочных данных.
Основная гипотеза (нулевая) Н0 - та гипотеза, которую выдвигают. Альтерна-
тивная гипотеза (первая) Н1 - гипотеза, противоречащая основной.
Статистический критерий - правило, в соответствии с которым принимается или отвергается основная гипотеза.
Критические точки - точки, отделяющие критическую область от области при-
нятия гипотезы.
Характеристика лекционных занятий
Курс состоит из пяти разделов. Первый раздел «Случайные величины» явля-
ется главным для понимания предмета. Он знакомит студентов с основными понятиями математической статистики. При рассмотрении случайных вели-
чин главную роль играет не пространство элементарных событий, на котором определена случайная величина как числовая функция, а закон распределения этой случайной величины. Темы, рассмотренные в данном разделе: Дискрет-
ные случайные величины; Непрерывные случайные величины; Функция рас-
пределения; Плотность распределения вероятности; Мода, медиана, моменты случайных величин; Статистическое описание; Вычисление статистик случай-
ной выборки; Статистический ряд.
Второй раздел «Теоретические основы статистического контроля» знакомит студентов с методами точечного оценивания неизвестных параметров распре-
деления: Точечные оценки параметров распределений случайной величины по выборке. Метод доверительных интервалов. Методы максимального правдо-
подобия и моментов. Общие положения проверки статистических гипотез.
Критерий χ2 - согласия. Проверка гипотез о непрерывных распределениях. По-
верка гипотез об однородности распределения.
Третий раздел «Графические методы статистического контроля» позволяет ознакомиться студентам с типами графиков: ломаная линия, столбчатый гра-
фик, круговой, график-радар; картами сравнения плановых и фактических по-
казателей; гистограммой - как инструментом, позволяющим зрительно оце-
нить закон распределения статистических данных. Типом гистограмм. Срав-
нение гистограмм с границами допуска. является основным разделом курса.
Наконец, разделы четыре и пять представляют совсем специальные разделы статистического контроля.
В четвертом разделе «Контрольные карты Шухарта» рассмотрены типы кон-
трольных карт. Цель построения контрольных карт. Правила построения кон-
трольных карт и понятия, связанные с контролируемостью процесса. Условия корректировки процесса.
В пятом разделе «Дисперсионный анализ» рассмотрены простые модели од-
нофакторного анализа и оценивание параметров статистической модели одно-
факторного эксперимента. Сравнение отдельных средних по обработкам. ме-
тоды регрессионного анализа, доказаны основные свойства полученных оце-
нок.
Характеристика практических занятий
В ходе подготовки к практическим занятиям необходимо изучать основную литературу, знакомиться с дополнительной литературой. При этом необхо-
димо учесть рекомендации преподавателя и требования учебной программы.
В соответствии с этими рекомендациями и подготовкой полезно дорабатывать свои конспекты лекции, делая в нем соответствующие записи из литературы,
рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой.
Раздел 1. Эмпирические распределения, представляемые для дискретных ва-
риационных рядов в виде полигона и кумуляты, а для непрерывных – в виде гистограммы и кумуляты, позволяют предположить вид генерального распре-
деления. Статистический ряд является такой формой представления, когда данные группируются и определяются частоты.
Примеры заданий.
1. Анализируется объем ежедневных продаж некоторого товара за 60 дней.
Получены следующие данные: 5, 6, 3, 2, 7, 7, 6 , 6 , 10, 11, 6, 4, 5, 6, 3, 12, 9, 10, 7, 4, 6, 7, 8, 8, 10, 5, 5, 4, 3, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 10, 6, 4, 5, 6, 12, 7, 7, 8, 11, 9, 10, 5, 6, 4, 2, 7, 11, 8, 7, 9, 5, 6, 9, 5.
Необходимо:
а) построить статистический ряд;
б) определить размах выборки;
в) построить полигон относительных частот.
2.Построит эмпирическую функцию распределения по данным:
144,143,139,162,134,136,157,158,144,138,155,162,151,134,141,121,137,162,133, 147,125,154,150,145,157,165, 157, 152,164.
Раздел 2. Кроме этого на практике часто используются числовые характери-
стики для описания ряда наблюдений. Данные характеристики позволяют про-
анализировать ряд наблюдений другим способом. Они включают меры распо-
ложения, меры рассеивания и меры, характеризующие форму распределения.
Вычисление этих характеристик зависит от того как представлены результаты наблюдений: в виде статистических рядов или в виде простого статистиче-
ского ряда (исходной выборки).
Примеры заданий.
1.Из 1500 деталей отобрано 100, распределение которых по размеру за-
дано в таблице.
Размер |
8 – 8,2 |
8,2 – 8,4 |
8,4-8,6 |
8,6-8,8 |
8,8-9,0 |
|
детали |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
20 |
25 |
32 |
18 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Найти реализацию оценки матожидания и несмещенной оценки дисперсии.
2.Пусть Х1,Х2,…,Хn независимые одинаково распределенные с.в., име-
ющие распределение Парето P(a,c) с плотностью вероятности
(x) = ac |
a |
x |
−a−1 |
, |
0 < c < X, 0 < a. Найдите оценки методом максималь- |
|
|
ного правдоподобия параметров a и c.
Раздел 3. Найденные по выборке статистики используют для формулировки заключения о генеральной совокупности, то есть о законе распределения ис-
следуемого признака и его параметрах. При этом всегда существует риск ошибки ввиду неполноты информации. Отсюда возникает проблема количе-
ственной оценки степени риска в ситуации с неопределённостью. Используе-
мый при этом инструмент хорошо известен – это метод проверки гипотез.
Примеры заданий.
Исследовать случайную величину ‒ число правонарушений в течение одних суток в некотором городе N.
Получены данные за первые 150 суток года.
3 5 4 4 5 8 2 3 1 6 6 1 2 5 5
4 4 4 3 4 5 5 2 2 3 4 3 2 4 4
8 10 1 4 3 3 2 5 7 5 3 6 7 5 6
1 4 6 4 5 4 5 7 6 5 3 5 5 8 7
7 5 5 4 5 3 3 6 3 5 2 2 2 6 2
5 6 8 4 4 8 3 6 4 4 5 5 7 5 5
3 5 4 5 5 4 7 6 9 3 3 5 6 6 3
4 5 2 6 7 5 5 4 2 5 4 2 6 2 7
5 5 8 5 3 5 2 5 3 7 4 6 3 6 0
4 4 4 5 2 7 7 3 1 1 3 6 5 7 6
Требуется провести первичную статистическую обработку данных, проверить гипотезу о виде распределения случайной величины с помощью критерия со-
гласия Пирсона.
Раздел 5. Дисперсионный анализ предназначен для проверки наличия зависи-
мости нормально распределенной результативной случайной величины Y от нескольких факторов (факторных величин), а именно для выявления при-
чинно-следственных связи между вариацией факторов и вариацией результа-
тивных признаков. Среди факторов будем различать случайные и неслучай-
ные величины. Суть дисперсионного анализа состоит в разложении дисперсии признака на составляющие, обусловленные влиянием конкретных факторов, и
проверке гипотез о значимости их влияния.
Примеры заданий.
1.Текстильная компания изготавливает волокно на большом числе станков. Желательно, чтобы станки не отличались друг от друга, т.е.
чтобы изготавливаемое волокно обладало одинаковой прочностью.
Инженер-технолог предполагает, что помимо обычной изменчивости прочности среди образцов волокна с одного и того же станка, могут существовать и значимые различия между станками. Для проверки этого предположения он случайным образом выбирает 4 станка и де-
лает 4 измерения прочности волокна, изготовленного на этом станке.
Результаты вынесены в таблицу:
Наблюдения |
|
Станки |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
98 |
97 |
99 |
96 |
|
|
|
|
|
2 |
91 |
90 |
93 |
92 |
|
|
|
|
|
3 |
96 |
95 |
97 |
95 |
|
|
|
|
|
4 |
95 |
96 |
99 |
98 |
|
|
|
|
|
Проверить гипотезу о значимости различий.
2.Измерены 100 обработанных деталей, отклонения от заданного размера
приведены в таблице: |
|
|
|
|
|
||||
-2,7 |
2,7 |
-1,2 |
1,8 |
-0,5 |
-0,4 |
0,8 |
0,4 |
-0,3 |
-1,8 |
4,2 |
1,2 |
3,1 |
1,9 |
0,2 |
0,7 |
0,1 |
1,7 |
1,8 |
-0,9 |
-1,1 |
1,1 |
-0,5 |
0,5 |
0,3 |
0,5 |
0,5 |
1,9 |
2,6 |
0,6 |
3,5 |
2,1 |
0,5 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
-0,8 |
1,3 |
-0,2 |
1,5 |
-0,7 |
4,7 |
1,7 |
0,2 |
-1,1 |
0,7 |
1,5 |
1,5 |
0,6 |
-0,9 |
0,2 |
4,1 |
2,1 |
-1,2 |
3,7 |
1,7 |
-0,7 |
2,2 |
1,9 |
0,3 |
1,2 |
3,2 |
2,4 |
-1,9 |
-0,2 |
1,8 |
1,7 |
2,8 |
2,5 |
1,3 |
2,2 |
-1,3 |
2,5 |
3,8 |
0,4 |
1,6 |
2,7 |
1,2 |
1,6 |
-0,8 |
-2,8 |
-0,3 |
1,2 |
3,7 |
-1,8 |
-1,6 |
0,2 |
1,4 |
2,5 |
-0,7 |
-2,5 |
0,3 |
1,3 |
-0,3 |
3,5 |
-1,7 |
0,2 |
1,2 |
2,7 |
0,9 |
Проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности
при уровне значимости в 0,01.
5) рассчитать доверительные интервалы для среднего значения Y при выбран-
ном X = x
0
с вероятностью 95 %.
Указания к самостоятельной работе по подготовке к лекциям и практическим занятиям.
В ходе лекционных занятий необходимо вести конспектирование учеб-
ного материала. Обращать внимание на формулировки, раскрывающие содер-
жание тех или иных явлений и процессов, научные выводы и практические рекомендации. Желательно оставить в рабочих конспектах поля, на которых делать пометки из рекомендованной литературы, дополняющие материал про-
слушанной лекции, а также подчеркивающие особую важность тех или иных теоретических положений. Дорабатывать свой конспект лекции, делая в нем соответствующие записи из литературы, рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой.
Практические занятия проводятся преподавателем по темам, которые уже рассматривались на лекции. Самостоятельная работа по подготовке к практическому занятию состоит в теоретической подготовке и выполнении практических заданий (решение задач, ответы на вопросы и т.д.). Это позво-
ляет закрепить теоретические знания, полученные в процессе лекции и само-
стоятельной работы, и приобрести определенные навыки применения теоре-
тических положений на практике.