7592

70

Рассмотрим случай, когда на тело действует сила, зависящая только от координаты, F = F(x).

Задача 1.4. Найти закон движения точки массой m, упруго закрепленной на пружине с жесткостью c , при начальных условиях:

x(0) = a , v(0) = 0.

Решение.

Движение точки происходит под действием силы упругости пружины, направленной к положению равновесия и равной F = – cr (рис. 3).

y

O

x

F = – cr

Рис.3.3

Проектируя основное уравнение динамики ma = – cr на ось Ox , вдоль которой происходит движение, и, выбирая начало отсчета на конце недеформированной пружины, получим уравнение движения точки:

ma = – cx .

Воспользовавшись подстановкой

))+- )2)- )2)+ ' )2)- ,

и, умножив обе части уравнения на dx , получим:

ª '¨' E ª 0¨0

или

-. ¤M 2. –A.

Постоянную интегрирования –A определим из начальных условий:

Тогда, зависимость скорости тела от координаты будет иметь вид:

Подставляя в (1) v = dx/dt и разделяя переменные, получим:

где p E⁄ .

Из курса физики мы знаем, что уравнение (3) описывает гармонические колебания точки с амплитудой и собственной частотой p.

Рассмотрим интегрирование основного уравнения динамики для случая

F = F(v).

Вэтом случае рекомендуется пользоваться следующим правилом:

1)Если в задаче дано или нужно найти время t , применять подстановку a = dv/dt.

2)Если в задаче можно обойтись без определения времени, следует применять подстановку a = vdv/dx.

Задача 1.5. Материальная точка массой m , получив начальную скорость υ0 , движется по горизонтальной

72

остановки t , пройденный путь S и среднюю скорость υср за

время движения.

N

V

R

Х

mg

Рис. 3.4

Решение.

Изобразим точку с действующими на нее силами (рис. 4). Запишем основное уравнение динамики точки в векторной

форме

±¡ ±² ³ ´.

Направим ось x в сторону движения точки и запишем уравнение движения в скалярной форме (в проекции на ось x )

Разделив переменные, получаем

m dυυ = −кdt .

Т.к. известно, что начальная скорость точки υ0 , а конечная

равна 0, то целесообразно решить это дифференциальное

73

уравнение, взяв определенный интеграл в левой и в правой части

преобразуем уравнение так, чтобы в него входила координата x :

mυ × dυ = −кυ , разделив переменные получим dx

mυdυ = −кdx .

Интегрируя уравнение, получаем

-2 mυ03 / 2 = −кS , т.е.

3

S = 2m υ 3 / 2 .

3к 0

Среднюю скорость точки за время движения найдем, разделив путь на время.

3.1.5.Решение II задачи динамики в случае криволинейного движения

Криволинейное движение точки в плоскости описывается двумя

74

уравнениями x = f1 (t ), y = f2 (t ).

Задача 1.6. Исследовать движение точки массы m , брошенной под углом α к горизонту с начальной скоростью υ 0 ,

без учета сопротивления воздуха (рис. 5), полагая, что в начальный момент времени точка находится в начале координат, т.е. x0 = 0 , у0 = 0 .

Решение.

Запишем дифференциальные уравнения движения точки

Исследуем первое уравнение: т.к. движение точки происходит только под действием силы тяжести, то уравнение

75

y

v0

G = mg

O

x

z

Рис. 3.5

Разделив переменные, получаем dx = υ0 cosα × dt .

После интегрирования получаем x = υ0 cos α × t + c1 , постоянную интегрирования c1 находим по начальным условиям: в

последнем уравнении полагаем t = 0 , получаем x0 = c1 = 0 .

Таким образом, закон движения точки по оси x имеет вид:

x = υ0 cos α × t .

Дифференциальное уравнение движения точки по оси y имеет

вид:

Разделив переменные, проинтегрируем это дифференциальное уравнение

проинтегрировав уравнение, получаем

y = - gt 2 +υ0 sinαt + c3 .

2

Чтобы найти постоянную интегрирования c3 , полагаем t = 0 ,

y0 = c3 = 0 .

Таким образом, закон движения точки вдоль оси y принимает

вид

Определим дальность полета и высоту наибольшего подъема. Дальность полета S определяем из условия y = 0

g

Наибольшую высоту подъема H определяем из условия υ y = 0

− gt + υ0 sinα = 0 , откуда время подъема t = υ0 sinα . g

Подставляя время подъема в y = f2 ( t ), находим высоту подъема

действием которой движется точка.

Решение.

Находим проекции искомой силы на естественные оси.

2

Pτ = m d S2 = m2π dt

2

Pn = m Vρ = 0 (радиус кривизны прямой ρ = ∞ )

Рb = 0

P = Pτ2 + Pn2 + Pb2 = 2πm .

3.2.Механическая система

В теоретической механике под механической системой понимается совокупность материальных точек, взаимодействующих между собой.

3.2.1 Масса механической системы. Центр масс

78

Массой механической системы называется величина, равная сумме масс всех точек системы

М = ∑ mi .

Для изучения движения механической системы особое значение имеет геометрическая точка, называемая центром масс механической системы, положение которого определяется

радиусом – вектором rc , вычисляемым по формуле:

§M 1 µ< ¶§¶.

¶HA

Центр масс иногда называют центром инерции.

Формулы для координат центра масс, аналогичны формулам для определения координат центра тяжести:

Центр масс – более общее понятие, чем центр тяжести, поскольку сохраняет смысл даже при отсутствии сил тяжести.

Если массы материальных точек постоянны, то дифференцированием rc получим выражение для скорости центра масс:

·M 1 µ< ¶·¶

¶HA

и затем выражение для ускорения центра масс системы:

¡M 1 µ< ¶¡¶.

¶HA

3.2.2.Теорема о движении центра масс механической системы

Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил, действующих на точки системы:

<

¡M µ ¢в¶,

¶HA

79

или в проекциях на оси декартовой системы координат

Т.е., центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Внутренние силы не могут изменить движение центра масс.

Следствие 1.

Если главный вектор внешних сил механической системы все время равен

Следствие 2.

Если сумма проекций всех внешних сил на какую-либо ось все время равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось постоянна.

n

Если ∑ Fkxe = 0 , то из теоремы получаем, что &&xC = 0 . Отсюда следует, что

k =1

0M, M' EF48#

(центр масс движется по оси x равномерно или покоится).

Задача 2.1. На неподвижную однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоскости, положили однородную призму В. Ширина основания призмы А равна a. Ширина основания призмы В равна b. Пренебрегая трением, определить смещение призмы А после того, как призма В опустится по призме А. Принять, что масса призмы В втрое меньше массы призмы А.

Решение.

Введем неподвижную систему координат Оху. В этой системе координат обозначим за х1 и х2 координаты центров масс призм А и В в начальный момент времени (рис. 6). Смещение по горизонтали, призмы А обозначим S.