7582

На правах рукописи

Нитейский Антон Сергеевич

КОНСТРУКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЕ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОЛОС

05.01.01 – Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Нижний Новгород - 2013

1

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Научный руководитель

доктор технических наук, доцент Панчук Константин Леонидович

Официальные оппоненты:

Павлов Александр Сергеевич, доктор технических наук, профессор, ООО «ЭнергоФихтнер», начальник отдела консалтинга,

Юрков Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Омский государственный педагогический

университет», профессор кафедры прикладной информатики и математики

Ведущая организация

ФГБОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия»

Защита состоится «17» декабря 2013 г. в 15 час. 00 мин на заседании диссертационного совета Д 212.162.09 при ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65, корпус 5, ауд. 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан «15» ноября 2013 года.

2

Общая характеристика работы

Выполнение теоретических исследований в области образования и конструирования различных поверхностей и практическое использование результатов этих исследований с применением современных компьютерных технологий является одним из основных направлений в инженерной геометрии.

Среди множества различных по форме и законам образования поверхностей выделяются линейчатые поверхности, применяемые в различных областях практической деятельности человека: судостроение (обшивка корпуса судна), самолетостроение (теоретические модели элементов горизонтального оперения), архитектурно-строительное проектирование, проектирование пространственно-шарнирных механизмов в конструкциях роботов и манипуляторов, разработка орудий почвообработки, проектирование сложных технических поверхностей на основе аппроксимации линейчатыми развертывающимися поверхностями и др.

Для образования и конструирования линейчатых поверхностей используются известные методы: проективный, погружение в конгруэнцию прямых, кинематический, вычислительной геометрии и др. Анализ этих традиционных методов обнаруживает, что задача параметрического моделирования линейчатых поверхностей как правило не рассматривается; порядки получаемых линейчатых поверхностей не выше четвертого. В тоже время в указанных областях практических применений актуальным является использование алгебраических линейчатых поверхностей более высоких порядков с математическим описанием в векторно-параметрической форме.

В судостроении, самолетостроении, архитектурно-строительной и других областях промышленности объекты могут быть описаны линейчатыми поверхностями, как правило, развертывающимися. Например, мелкие суда выполняются с развертывающейся наружной обшивкой. Но не всегда достигается описание объектов линейчатыми поверхностями. Одна из причин – в принципе не решена задача сшивки линейчатых сегментов по общей образующей. Математический аппарат конструирования линейчатых полос, косых и развертывающихся, с сегментарной стыковкой определенного порядка гладкости на данный момент времени отсутствует. Проблема конструирования линейчатых полос и необходимость ее решения присутствуют и при проектировании сложных технических поверхностей на основе сегментарной аппроксимации развертывающимися поверхностями, например, при конструировании сложных поверхностей лопаток турбин и насосов, лопастей воздушных винтов, рабочих поверхностей орудий почвообработки и др.

Вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности проблемы образования и конструирования линейчатых поверхностей и необходимости ее

3

нового решения на основе развития известных в инженерной геометрии методов и разработки математического инструментария для геометрического моделирования линейчатых поверхностей и полос.

Объект исследования – образование и конструирование сложных криволинейных поверхностей.

Предмет исследования – конструктивно-метрическое и дифференциально-геометрическое образование линейчатых поверхностей и полос.

Цель исследования – разработать новые методы образования линейчатых поверхностей, линейчатых полос и плоских алгебраических кривых, достаточно простые с математической точки зрения, реализуемые без привлечения значительных вычислительных ресурсов, обладающие возможностью параметризации получаемых геометрических моделей поверхностей, полос и кривых.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие

задачи:

1.Разработать метод конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых.

2.Разработать метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся линейчатых поверхностей на основе плоских кривых.

3.Разработать математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос.

4.Выполнить практическую реализацию теоретических исследований на основе параметрического конструирования торсовых поверхностей и полос с сегментарной стыковкой, используемых в качестве лемешных поверхностей рыхлителей почвы.

Научная новизна:

1.Разработан новый метод конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых.

2.Разработан новый метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся поверхностей на основе плоских кривых.

3.Впервые разработан математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос.

Теоретическая и практическая значимость работы

Геометрический инструментарий предлагаемого метода конструктивнометрического образования позволяет получать новые виды линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых и расширяет область их

4

практического применения, поскольку математически все они представляются в векторно – параметрической форме, наиболее удобной для алгоритмической и программной реализации в решении прикладных задач. Использование дифференциально-геометрических свойств плоских кривых позволяет получить новые математические модели образования различных торсовых поверхностей, удобные для практического использования. Разработанный математический инструментарий стыковки линейчатых поверхностей необходим для сегментарного образования линейчатых полос по различным порядкам гладкости, используемых в задачах конструирования и аппроксимации сложных технических поверхностей. Результаты теоретических исследований работы реализованы при параметрическом конструировании лемешных поверхностей рыхлителей почвы в виде математических моделей, вычислительных алгоритмов, листинга Maple – программ и приняты к внедрению на ФГУП «Омский экспериментальный завод».

Методология и методы исследований

Теоретическую базу диссертационного исследования составили труды ученых по проективной геометрии: Н.Ф. Четверухина, Н.А. Глаголева; по аналитической геометрии: Б.Н. Делоне и Д.А. Райкова, М.М. Постникова; по дифференциальной геометрии: П.К. Рашевского, С.П. Финникова, В. Бляшке и других ученых; по линейчатой геометрии: Д.Н. Зейлигера, С.П. Финникова, Ф. Клейна, Е. Штуди, А.П. Котельникова, H. Pottmann, J. Walner и других ученых; по теории начертательной геометрии и геометрическому моделированию: Н.Ф. Четверухина, З.А. Скопеца, И.И. Котова, А.М. Тевлина, В.А. Осипова, В.С. Полозова, В.Е. Михайленко, А.Л. Подгорного, В.С. Обуховой, Г.С. Иванова, В.И. Якунина, В.Я. Волкова, С.И. Роткова, В.Ю. Юркова, Н.Н. Голованова и многих других отечественных и зарубежных ученых.

В работе принята известная в инженерной геометрии методология геометрического моделирования, основанная на аксиоматическом, конструктивном и аналитическом методах моделирования. Проведение теоретических исследований в работе выполнено на основе конструктивного и аналитического методов геометрического моделирования. Основу математического инструментария составили аналитический метод проективной геометрии плоскости и пространства, методы дифференциальной геометрии плоскости и пространства, методы аналитической и вычислительной геометрии, элементы дуального векторного исчисления, компьютерной графики.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод конструктивно-метрического образования алгебраических линейчатых поверхностей и плоских кривых.

5

2.Метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся поверхностей на основе плоских кривых.

3.Математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос.

Степень достоверности и апробация работы

Результаты теоретических исследований работы подтверждены публикациями в рецензируемых изданиях и обсуждены на научных конференциях. Основные положения докладывались и обсуждались на 63 научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ» (г. Омск, 2009 г.); на региональной молодежной научно-технической конференции «Омское время - взгляд в будущее»( г.Омск, 2010 г.); на 65 научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ» (г. Омск, 2011 г.); на международной научно-методической конференции «Современное состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в условиях информационных и компьютерных

технологий», посвященной 20-летию независимости Республики Казахстан (г. Алматы, 2011 г.); на Всероссийской молодежной конференции «Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ-

2012)» (г. Кемерово, 2012 г.)

Публикации по теме диссертации

Основные результаты исследований опубликованы в 9 научных работах, 5 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, и 3 свидетельства о регистрации электронного ресурса.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографического списка. Общий объем составляет 138 страниц, 51 рисунок. Библиографический список включает 117 наименований, в том числе 29 на английском и немецком языках.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность разработки методов конструктивно-метрического и дифференциально-геометрического образования линейчатых поверхностей и их применения при конструировании рабочих поверхностей рыхлителей почвы. Изложены цели, задачи и краткое содержание работы, перечислены основные результаты, приведены данные об их апробации

ипрактическом использовании.

Впервой главе выполнен анализ существующих в инженерной геометрии направлений исследований в области образования и

6

практического использования, определены цели и задачи исследования. Для этого в параграфах 1.1–1.6 рассмотрены работы:

-основанные на использовании классического проективного подхода (Н.Ф. Четверухин, Н.А. Глаголев) к конструированию линейчатых поверхностей;

-по образованию линейчатых поверхностей погружением линии в конгруэнцию прямых (В.Е. Михайленко, А.Л. Подгорный, В.С. Обухова, Г.С. Иванов, В.Д. Трухина);

-основанные на кинематическом методе образования линейчатых поверхностей (В. А. Осипов, С.Ф. Пилипака, А.В. Замятин, Д.Я. Ядгаров);

-по образованию линейчатых поверхностей методами вычислительной геометрии (Д. Роджерс, Дж. Адамс, Н.Н. Голованов, H. Pottmann, J.Wallner);

-основанные на аналитическом моделировании линейчатых поверхностей на основе принципа перенесения Котельникова-Штуди (А.П. Котельников, Е. Штуди, В. Бляшке, Д.Н. Зейлигер, Ф.М. Диментберг);

-содержащие исследования по практическому использованию линейчатых поверхностей, при этом выделена одна из недостаточно изученных областей их практической востребованности - конструирование рабочих поверхностей орудий почвообработки (В.С. Обухова, В.Д. Трухина, А.Л. Мартиросов).

Во второй главе рассмотрено образование алгебраических линейчатых поверхностей и кривых линий на основе методов проективной и дифференциальной геометрий.

В параграфе 2.1 исследована возможность конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей на основе введения позиционно-метрических условий в коллинеарное и коррелятивное соответствие проективных образов первой

ступени, моделируемых в расширенном евклидовым пространством Е3+ (рис. 1).

Рассмотрим проективное соответствие двух пучков прямых первого порядка, находящихся в не совмещённых

плоскостях. Введение позиционно-метрического условия заключается в построении общего перпендикуляра N1N2 к соответственным прямым. Матрица коллинеарного соответствия плоских полей, которым принадлежат пучки, имеет вид:

7

Если за центры связок, к которым принадлежат эти пучки, принять точки S1 (x1, y1, z1) и S2 (x2, y2, z2), то параметрические уравнения соответственных

причем [l']Т=[Δ]∙[l], где [l]=[L M N]T и [l']=[l m n]T координаты направляющих векторов прямых l и l' соответственно, t, t' - параметры положения точек на прямых l и l'. Образуемая поверхность будет представлять собой множество общих перпендикуляров соответственных прямых. В векторной алгебре и аналитической геометрии известны способы получения уравнения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым. В итоге выполняя необходимые математические операции и принимая координаты прямой в пучке {L,M,N} за {a,1,0}, получим координатно-параметрические уравнения линейчатой поверхности:

построении перпендикуляра LN из точки L ряда l на плоскость L', приводит к образованию квазиподэрных поверхностей – линейчатых поверхностей второго порядка. Матрица коррелятивного соответствия пространства в этом случае имеет вид:

8

Искомая кривая К(1-1), где первое и второе число – порядки проективно соответственных ряда и пучка, определяются как множество точек пересечения прямых l и указанных выше перпендикуляров.

Искомые уравнения квазиподэры имеют вид:

где s – натуральный параметр, T – параметр точки на образующей. Запишем известное дифференциально-геометрическое условие развёртываемости линейчатой поверхности

После выполнения необходимых математических преобразований это условие принимает вид

10