7577

На правах рукописи

Конопацкий Евгений Викторович

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

05.01.01 – Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Нижний Новгород – 2020

Работа выполнена в ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор

Ротков Сергей Игоревич

Официальные оппоненты:

Галактионов Владимир Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела компьютерной графики и вычислительной оптики ФГУ «Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша

Российской академии наук» Короткий Виктор Анатольевич, доктор технических наук, профессор

кафедры «Инженерная и компьютерная графика» ФГАОУ ВО «Южно-Уральский государственный университет

(национальный исследовательский университет)» Косников Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор,

профессор кафедры «Информационно-вычислительные системы» ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет»

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Омский государственный технический университет»

Защита состоится «09» июня 2020 г. в 13 час. 00 мин на заседании диссертационного совета Д 999.048.02 при ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет», ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.А.Алексеева», по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, д. 65,

ауд. 202 (5 корп.)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте организации www.nngasu.ru ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет».

Автореферат разослан «27» апреля 2020 г.

Общая характеристика работы Актуальность темы. Задачи моделирования многофакторных процессов

являются неотъемлемой частью любой области знаний, накопленных человеческим обществом, что обеспечивает широкий спектр инструментов и методов их решения, например, задачи планирования эксперимента, моделирования и оптимизации многокомпонентных систем в строительстве и химической промышленности; анализа и управления в экономике и социологии; задачи моделирования тепломассообменных процессов, движения жидкостей и газов в теплотехнике и гидравлике; а также во многих других отраслях науки и техники. Тем не менее, существующие методы моделирования и оптимизации не всегда могут обеспечить полный учет функциональных, конструктивных, технологических, экономических, эстетических и других требований, необходимых для решения научных и прикладных задач моделирования, поскольку выполняют анализ факторов, влияющих на протекание процесса (или явления) по очереди, что не даёт возможности оценить влияние того или иного фактора на весь процесс в целом.

На данный момент эффективное решение подобного класса задач является возможным с применением методов многомерной интерполяции и аппроксимации, которые позволяют представить любой многофакторный процесс в виде многопараметрического геометрического объекта, проходящего через наперёд заданные точки и принадлежащего многомерному аффинному пространству с последующей его оптимизацией высокоточными методами математического анализа. Особенно эффективно применение методов многомерной интерполяции и аппроксимации при решении задач, для которых проведение эксперимента с реальной системой, как минимум, нерентабельно, а иногда и просто невозможно.

Однако аналитическое описание геометрических объектов многомерного пространства затрудняется из-за сложности зрительного восприятия многомерного пространства и ограниченного инструментария существующих методов моделирования, которые не могут в полной мере обеспечить полноценное использование логических инструментов, основанных на методах обобщения и аналогии. Поэтому разработку теоретических основ и практических методов геометрического моделирования многофакторных процессов, основанных на аналитическом описании геометрических объектов многомерного пространства, можно считать актуальной научно-практической задачей, имеющей большое теоретическое и прикладное значение.

Объект исследования – геометрические модели многофакторных процессов.

3

Предмет исследования – методы многомерной интерполяции и аппроксимации как инструменты представления многофакторных процессов в виде геометрических объектов многомерного аффинного пространства, проходящих через наперёд заданные точки.

Целью исследования является разработка теоретических основ и практических методов геометрического моделирования многофакторных процессов на основе точечного исчисления.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих

задач:

1.Разработать новые способы параметризации геометрических объектов

спомощью обобщённых тригонометрических функций, инвариантных относительно параллельного проецирования.

2.Получить аналитическое описание и компьютерные модели дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе проективных алгоритмов их формирования.

3.Разработать метод моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье.

4.Предложить новые геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования одномерных и многомерных обводов различного порядка гладкости.

5.Разработать геометрическую теорию многомерной интерполяции и её аналитическое описание с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

6.Предложить метод аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

7.Разработать метод определения многомерных геометрических объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные характеристики.

Методы исследования. Теоретические основы геометрического моделирования многофакторных процессов опираются на геометрические алгоритмы формообразования геометрических объектов многомерного аффинного пространства, аналитическое описание которых выполнено в рамках математического аппарата – точечное исчисление (другие названия: точечное исчисление Балюбы-Найдыша, БН-исчисление), основанного на аффинных инвариантах, что позволяет аналитически представить любой геометрический объект в виде совокупности проекций на оси глобальной

4

системы координат. Также используются методы начертательной, аналитической, дифференциальной, проективной и аффинной геометрии.

Теоретической основой и информационной базой для проведения исследований послужили работы ведущих учёных и их учеников:

– в области прикладной геометрии кривых линий и поверхностей: Александрова П.С., Бадаева Ю.И., Балюбы И.Г., Бернштейна С.Н., Валькова К.И., Верещаги В.М., Геронимуса Я.Л., Замятина А.В., Иванова Г.С.,

Сазонова К.А., Скидана И.А., Толока А.В., Якунина В.И. и др.;

–в области геометрического моделирования и оптимизации процессов: Аносова В.Я., Валькова К.И., Верещаги В.М., Вертинськой Н.Д., Волкова В.Я., Гумен Н.С., Комяк В.М., Найдыша А.В., Радищева В.П., Сергейчука О.В. и др.;

–в области прикладной многомерной геометрии: Балюбы И.Г., Валькова К.И., Вертинськой Н.Д., Волкова В.Я., Гумен Н.С., Гумен Е.Н., Корчинского В.М., Найдыша А.В., Наумовича Н.В., Радищева В.П., Розенфельда Б.А., Согомоняна К.А. и др.;

–в области точечного исчисления: Балюбы И.Г., Бездитного А.А., Верещаги В.М., Горягина Б.Ф., Давыденко И.П., Найдыша А.В., Найдыша В.М., Полищука В.И. и др.

Научная новизна полученных результатов:

1.Предложены новые способы параметризации геометрических объектов

спомощью обобщённых тригонометрических функций, инвариантных относительно параллельного проецирования, которые позволяют переходить от одних параметризаций к другим, в частности, к угловым, и создавать новые геометрические объекты с наперёд заданными свойствами.

2.Получены аналитическое описание и компьютерные модели дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе проективных алгоритмов их формирования, отличительной особенностью которых являются, полученные на основе геометрических построений, точечные уравнения и вычислительные алгоритмы дуг алгебраических кривых. Полученные точечные уравнения и вычислительные алгоритмы позволяют охватить большее количество исходных точек, на основе которых моделируется

5

искомый многопараметрический геометрический объект, используя при этом алгебраические кривые меньшего порядка.

3.Предложен метод моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье, особенность которого заключается в том, что получены готовые к использованию точечные и параметрические уравнения, обеспечивающие прохождение через наперёд заданные точки вне зависимости от координат исходных точек. Такой подход позволяет использовать полученные уравнения не только в качестве направляющих, но и в качестве образующих, проходящих через текущие точки, и является основным инструментом многомерной интерполяции и аппроксимации, которые реализованы в работе.

4.Предложены новые геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования одномерных и многомерных обводов различного порядка гладкости, которые используются для геометрического моделирования многофакторных процессов с большим количеством исходной экспериментально-статистической информации.

5.Разработана геометрическая теория многомерной интерполяции и её аналитическое описание с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, преимущество которой заключается в использовании геометрического интерполянта, что позволяет получить искомое уравнение многопараметрического геометрического объекта непосредственно по геометрической схеме без необходимости решения громоздких систем линейных алгебраических уравнений.

6.Предложен метод аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, который является обобщением метода наименьших квадратов в сторону увеличения размерности пространства

иколичества параметров, определяющих аппроксимирующий геометрический объект.

7.Разработан метод определения многомерных геометрических объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные характеристики, который предложено использовать для численного решения дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами многомерного аффинного пространства, проходящими через узловые точки.

Практическая ценность результатов исследований заключается в решении ряда практических задач геометрического моделирования процессов

техники, экономики, строительства и архитектуры с последующей их

6

оптимизацией. Кроме того, разработанный метод определения многомерных геометрических объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные характеристики, может быть использован для усовершенствования существующих систем автоматизированного проектирования, основанных на численном решении дифференциальных уравнений с частными производными.

Результаты диссертационной работы внедрены на следующих предприятиях, что подтверждается актами о внедрении:

в практику проектирования и расчёта напряжённо-деформированного состояния многогранных гнутых стоек на ЧАО «Авдеевский завод металлических конструкций»;

в практику проектирования и расчёта напряжённо-деформированного состояния мостовых конструкций в ООО «Торговый Дом Хозстройинструмент»;

для оценки напряжённо-деформированного состояния башенного копра

врамках договора № 117-02-ЦВС/0000000000022726160013 от 06.03.2017 г. с ГУ «ДОНГИПРОШАХТ» по теме «Обследование и оценка устойчивости и надежности строительных конструкций существующего башенного копра клетьевого ствола № 4 шахты им. В.И. Ленина ГП «Макеевуголь», разработка рекомендаций по их усилению при использовании данного копра в составе водоотливного комплекса с погружными насосами;

при проектировании инженерных систем искусственного и смешанного освещения в ООО «ПРОМСВЕТ».

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечивается корректным использованием методов обобщения и аналогии, а также математического аппарата точечного исчисления, который основан на инвариантах аффинной геометрии и позволяет моделировать геометрические объекты непосредственно в том пространстве, в котором они находятся.

При использовании метода многомерной интерполяции корректность аналитического описания моделей геометрических объектов подтверждается вычислительными экспериментами.

Вслучае использования многомерной аппроксимации точность геометрических моделей многофакторных процессов определялась с помощью коэффициента детерминации. При решении дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами многомерного пространства, проходящими через наперёд заданные точки, было выполнено сравнение результатов с другими методами решения аналогичных уравнений.

7

Апробация результатов диссертации. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: ХIV-XVIII Международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Мелитополь, 2012-2016 гг.); IX-X Крымской международной научно-практической конференции «Геометрическое и компьютерное моделирование: энергосбережение, экология, дизайн» (г. Симферополь, 2012-2013 гг.); VII Международной научнопрактической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации» (г. Пермь, 2017 г.); 27-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2017» (г. Пермь, 2017 г.); Международной научной конференции Института физико-технической информатики CPT2018 (г. Пущино, 2018 г.); VII Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (г. Новосибирск, 2018 г.); 28-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2018» (г. Томск, 2018 г.); II Международной научно-практической конференции «Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно-вычислительных систем (ПИИВС2018)» (г. Донецк, 2018 г.); III Международной научно-технической конференции «Mechanical science and technology update» (Проблемы машиноведения) (г. Омск, 2019 г.); VIII Международной интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации» КГП-2019 (г. Пермь, 2019 г.); 29-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2019» (г. Брянск, 2019 г.); Международной научно-технической конференции «Строительство, архитектура и техносферная безопасность» ICCATS-2019

(г. Челябинск, 2019 г.); XIII International scientific and technical conference «Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines» (г. Омск, 2019 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1.Способы параметризации геометрических объектов с помощью обобщённых тригонометрических функций, инвариантных относительно параллельного проецирования.

2.Аналитическое описание и компьютерные модели проективно образуемых дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

3.Метод моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье.

8

4.Геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования многомерных обводов необходимого порядка гладкости применительно к решению задач геометрического моделирования многофакторных процессов с большим количеством исходных данных.

5.Геометрическая теория многомерной интерполяции и её аналитическое описание с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

6.Метод аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

7.Метод определения многомерных геометрических объектов, имеющих

вузловых точках требуемые дифференциальные характеристики, применительно к численному решению дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами многомерного аффинного пространства, проходящими через узловые точки.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 70 работ, в том числе 10 в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук, 5 – в журналах, индексируемых в наукометрической базе Scopus. В совместных статьях вклад соавторов ограничивался помощью в написании программного кода и проведении вычислительного эксперимента. Геометрическая теория многомерной интерполяции и аппроксимации, а также геометрические модели и их аналитическое описание получены автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав с выводами, заключения и списка использованной литературы. Общий объём составляет 307 страниц, 78 рисунков. Библиографический список включает 180 наименований, в том числе 13 иностранных.

Основное содержание работы Введение содержит общую характеристику работы. Обоснована

актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследований. Показана научная новизна и практическое значение полученных результатов.

В первой главе получили дальнейшее развитие существующие и предложены новые способы параметризации геометрических объектов в точечном исчислении, которые расширяют его возможности как аппарата геометрического моделирования. При этом особое внимание было уделено n - угловым и n -радиальным параметризациям плоскости, которые были

9

Изменяя угол , получим пучок окружностей, проходящий через точки

F и F1 .

Эту же задачу можно решить с помощью бирадиальной параметризации плоскости. Тогда точечное уравнение будет иметь следующий вид:

10