7453

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Прокопенко Н.Ю.

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям, практическим занятиям

(включая рекомендации по организации самостоятельной работы)

для обучающихся по дисциплине «Методы оптимальных решений» по направлению подготовки 38.03.01 Экономика, профиль Экономика предприятий и организаций

Нижний Новгород

2018

УДК 004.9

Прокопенко Н.Ю. / Методы оптимальных решений [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Н.Ю. Прокопенко; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун-т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2018. – 65 с.– 1 электрон. опт. диск (CD-RW).

В настоящем учебно-методическом пособии по дисциплине «Методы оптимальных решений» даются конкретные рекомендации учащимся для освоения как основного, так и дополнительного материала дисциплины и тем самым способствующие достижению целей, обозначенных в учебной программе дисциплины. Цель учебно-методического пособия – это помощь в усвоении лекций и в подготовке к практическим занятиям.

Учебно-методическое пособие предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Методы оптимальных решений» по направлению 38.03.01 Экономика, профиль Экономика предприятий и организаций.

© Н.Ю. Прокопенко, 2018 © ННГАСУ, 2018

2

Оглавление

1.Общие положения………………………………………………………………............4

1.1Цели изучения дисциплины и результаты обучения……………………….........4

1.2Содержание дисциплины………………………………………………….…….....4

1.3Порядок освоения материала……………………………………………….….….5

2.Методические указания по подготовке к лекциям………………………….…..........6

2.1Общие рекомендации по работе на лекциях…………………………….………..6

2.2Общие рекомендации при работе с конспектом лекций……………….…..........6

2.3Краткое содержание лекций………………………………………………..…......7

2.3.1. Раздел 1. Оптимизационные задачи нелинейного программирования.

Их классификация.……………………………………………………………...……...7

2.3.2.Раздел 2. Прикладные нелинейные модели. Условная оптимизация функции многих переменных. Метод Лагранжа ……………………………………………..14

2.3.3.Раздел 3. Многошаговые модели принятия решений и динамическое про-

граммирование………………………………………………………………………..18

2.4Контрольные вопросы………………………………………………………........36

3.Методические указания по подготовке к практическим занятиям……….….........38

3.1Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям……………....38

3.2Примеры задач для практических занятий…………………………....….……..38

4.Методические указания по организации самостоятельной работы…….…............56

4.1Общие рекомендации для самостоятельной работы………………….………..56

4.2Темы для самостоятельного изучения………………………………………......58

4.3.Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы……………......60

4.4 Задания для самостоятельной работы……………………………………...........61

3

1. Общие положения

1.1 Цели изучения дисциплины и результаты обучения

Основными целями освоения учебной дисциплины «Методы оптимальных решений» являются: изучение методов оптимальных решений и их приложений к задачам экономики, в результате которого предполагается дать студентам систему фундаментальных знаний о методах оптимальных решений в применении к различным математическим моделям экономики; привить практические навыки,

необходимые для применения методов оптимальных решений и их приложений к конкретных практическим задачам экономики..

В процессе освоения дисциплины студент должен Знать:

основные положения теории оптимизации;

в чем заключаются особенности задач безусловной и условной нелинейной оптимизации;

основные понятия и методы решения оптимизационных задач.

Уметь:

оптимизировать одномерную и многомерную целевую функции;

выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов

и обосновать полученные выводы.

Владеть:

навыками оптимизации одномерной и многомерной целевой функции с помощью программных средств;

методами поиска оптимальных решений в профессиональной деятельности.

1.2 Содержание дисциплины

Материал дисциплины сгруппирован по следующим разделам:

1. Оптимизационные задачи нелинейного программирования. Их классификация.

Основные понятия. Классификация и примеры оптимизационных нелинейных

4

задач в науке, производстве и экономике. Сравнение моделей линейного и нелинейного программирования.

2. Условная оптимизация функции многих переменных.

Методы условной оптимизации функции многих переменных в задачах с

ограничениями-равенствами и с ограничениями-неравенствами. Графический анализ задач нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа.

Экономическая интерпретация множителей Лагранжа и нормировочных градиентов.

3. Многошаговые модели принятия решений и динамическое программирование.

Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.

Задачи динамического программирования:

1) задача об оптимальном использовании ресурсов (инвестиций) при

производственном планировании; 2) задача о загрузке транспортного средства;

3) задача о замене оборудования.

1.3 Порядок освоения материала

Материал дисциплины изучается в соответствии с порядком, определённым в

следующей таблице: Таблица 1

Порядок освоения дисциплины

5

2. Методические указания по подготовке к лекциям

2.1 Общие рекомендации по работе на лекциях

Лекция является главным звеном дидактического цикла обучения. Ее цель – формирование основы для последующего усвоения учебного материала. В ходе лекции преподаватель в устной форме, а также с помощью презентаций передает обучаемым знания по основным, фундаментальным вопросам изучаемой дисциплины.

Назначение лекции состоит в том, чтобы доходчиво изложить основные положения изучаемой дисциплины, ориентировать на наиболее важные вопросы учебной дисциплины и оказать помощь в овладении необходимых знаний и применения их на практике.

Личное общение на лекции преподавателя со студентами предоставляет большие возможности для реализации образовательных и воспитательных целей.

При подготовке к лекционным занятиям студенты должны ознакомиться с презентаций, предлагаемой преподавателем, отметить непонятные термины и положения, подготовить вопросы с целью уточнения правильности понимания.

Рекомендуется приходить на лекцию подготовленным, так как в этом случае лекция может быть проведена в интерактивном режиме, что способствует повышению эффективности лекционных занятий.

2.2Общие рекомендации при работе с конспектом лекций

Входе лекционных занятий необходимо вести конспектирование учебного материала. Конспект помогает внимательно слушать, лучше запоминать в процессе осмысленного записывания, обеспечивает наличие опорных материалов при подготовке к семинару, зачету, экзамену.

Полезно оставить в рабочих конспектах поля, на которых делать пометки из рекомендованной литературы, дополняющие материал прослушанной лекции, а

также подчеркивающие особую важность тех или иных теоретических положений.

В случае неясности по тем или иным вопросам необходимо задавать преподавателю уточняющие вопросы. Следует ясно понимать, что отсутствие

6

вопросов без обсуждения означает в большинстве случаев неусвоенность материала

дисциплины.

2.3 Краткое содержание лекций.

2.3.1. Раздел 1. Оптимизационные задачи нелинейного программирования.

Их классификация.

Методы оптимальных решений – методы поиска экстремума функции при на-

личии ограничений или без ограничений очень широко используются на практике.

Это прежде всего оптимальное проектирование (выбор наилучших номинальных технологических режимов, элементов конструкций, структуры технологических це-

почек, условий экономической деятельности, повышение доходности и т. д.), опти-

мальное управление построением нематематических моделей объектов управления

(минимизации невязок различной структуры модели и реального объекта) и многие другие аспекты решения экономических и социальных проблем (например, управ-

ление запасами, трудовыми ресурсами, транспортными потоками и т. д.).

Постановка задачи оптимизации.

где f (x) – целевая функция;

X – допустимое множество

x X – допустимая точка задачи.

В основном мы будем иметь дело с конечномерными задачами оптимизации, то есть с задачами, в которых допустимое множество X лежит в евклидовом пространстве R n ( x R n ).

Точка x* X , являющаяся решением задачи, может быть точкой глобального или локального минимума.

Определение. Точка x* X называется

7

2) точкой локального минимума функции f (x) на множестве Х или локальным

полняется как строгое при x x , то x* – точка строгого минимума (строгое реше-

ние) в глобальном или локальном смысле.

Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно.

Рассмотрим функцию двух переменных z f x, y .

Определение. Пусть функция z f x, y дважды дифференцируема в точке x* x1*, y1 * . Если для всех точек этой окружности f x * f x , то говорят, что функ-

ция f x имеет экстремум в точке х* (соответственно максимум или минимум).

Определение. Точка Х*, в которой все частные производные функции z f x

равны нулю, называются стационарной.

Необходимое условие экстремума. Если функция в точке х* имеет экстремум,

то частные производные в этой точке равны 0.

Найдем значение частных производных второго порядка в стационарной точке

8

1) Достаточное условие экстремума функции двух переменных

а) если > 0 и a11 < 0 (a22 < 0), то в точке Х0 функция имеет максимум;

если > 0 и a11 > 0 (a22 > 0), то в точке Х0 функция имеет минимум;

б) если < 0, то экстремума нет;

в) если = 0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

В практических задачах, как правило, необходимо определить не локальный экстремум, а наибольшее или наименьшее значение функции (глобальный экстре-

мум) в некоторой области.

Определение. Говорят, что функция z f x имеет в точке Х* заданной облас-

ти D глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наи-

меньшее значение), если неравенство f x f x0 или f x f x0 соответственно для любого Х D.

Теория Вейерштрасса. Если область D замкнута и ограничена, то дифферен-

цируемая функция z f x достигает в этой области своих наибольшего и наимень-

шего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Следовательно, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции z f x в области D, нужно:

1)найти все стационарные точки внутри области D и вычислить значение функ-

ции в них;

2)исследовать функцию на экстремум на границе области D;

3)сравнить значения функции, полученные в п.1 и п.2. Наибольшее (наимень-

шее) из этих чисел будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области.

Вслучае функции двух переменных нелинейные задачи можно решать графически.

Задача. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции z f x, y при ог-

Для этого: 1) Строим область допустимых значений (из условий ограничения).

9

2) Нужно записать уравнений линий уровня целевой функции – количество точек области, в которой целевая функция постоянная f x, y c , и определить на-

правление возрастания (убывания) целевой функции.

3)Перемещая линию уровня в нужном направлении, найти точку области, в ко-

торой целевая функция принимает оптимальное значение.

По аналогии записывают задачу максимизации функции f (x) на множестве Х,

смысле, что множества глобальных и локальных, строгих и нестрогих решений этих задач соответственно совпадают. Это позволяет без труда переносить результаты,

полученные для задачи минимизации, на задачи максимизации, и наоборот.

Пример. Рассмотрим график некоторой функции Y=F(X) (рис. 1). Тогда имеем:

Х1 – точка локального максимума;

Х2 – точка локального минимума;

Х3 – точка глобального максимума;

Х4 – точка глобального минимума.

10