6906

2

Работа выполнена в ФГБОУ ВО «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»

Научный руководитель:

профессор, доктор технических наук

Толок Алексей Вячеславович

Официальный оппоненты:

Короткий Виктор Анатольевич, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры «Инженерная и компьютерная графика» ФГАОУ ВО «Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)»

Косников Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Информационно-вычислительные системы» ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет»

Ведущая организация:

ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится «30» июня 2023 г. в 13 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета 99.2.108.02 при ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет», ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.А. Алексеева», по адресу: 603000, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, д. 65, ауд. 501 (3 корп.).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» и

на сайте www.nngasu.ru.

Автореферат разослан «____» _________ 2023 г.

3

Актуальность темы. Внедрение информационных технологий во все сферы существования общества требует компьютерного представления моделей для различных явлений и реальных объектов. При этом с возрастанием вычислительных мощностей и требований к точности генерируемых объектов закономерно встает вопрос о разработке новых и совершенствованию уже имеющихся компьютерных моделей. Особое место в системах автоматизации занимает геометрическое моделирование. При этом, аналитическое моделирование является самым точным способом представления геометрической информации, так как обеспечивает максимальную вычислительную точность скалярных величин и полноту представления дифференциальных характеристик геометрического объекта в каждой точке заданного пространства. Здесь речь идет как о представлении функции в виде зависимости между аргументами (непараметрическое представление), так и в виде зависимостей аргументов от параметра (параметрическое представление).

Исследованиями средств аналитического моделирования занимались и занимаются многие отечественные ученые, среди которых: Рвачев В. Л., Шейко Т. И., Максименко-Шейко К. В., Слесаренко А. П., Катасонов А. В., Вяткин С. И., Найдыш В. М., Балюба И. Г. и многие другие, однако применение распространенных средств аналитического моделирования в автоматизации прикладных задачах затрудняется сложностью математического описания геометрических объектов, а значит особым требованием к математической подготовке пользователя.

В качестве альтернативного средства аналитического моделирования возможно рассмотреть метод функционально-воксельного моделирования (ФВМ), активно продвигаемый Толоком А. В. и основанный на применении графической информации, что делает его перспективным способом решения задач геометрического моделирования применительно к компьютерной геометрии. Также исследованиями в области компьютерной геометрии занимались многие зарубежные ученые, среди которых Ягель Р., Пасько А. А.,

Brian A. Barsky, Farin G., Schumaker L. L., N. Stolte и другие, но в отличии от приведенных исследований метод функционально-воксельного моделирования является одним из путей компьютерной реализации локальной геометрии.

Метод функционально-воксельного моделирования, хорошо зарекомендовал себя в ряде исследуемых прикладных направлений, среди которых: компьютерное моделирование R-функциями аналитической геометрии, решение функциональных уравнений в математическом моделировании, расчёт физических характеристик в инженерных задачах, прокладка градиентного спуска с учётом препятствий к намеченной цели в задачах оптимизации и многие другие. При этом аналитическая функция, описывающая геометрический объект представляется набором графических М- образов, хранящих в себе данные для формирования области локальных функций. Каждая локальная функция в точке моделирует линейную аналитическую функцию, поведение которой соответствует закону исходной аналитической функции, что позволяет использовать её в дальнейших расчётах.

4

Такой подход к компьютерному представлению геометрической информации позволяет решать различные задачи компьютерного моделирования на уровне применения локальных функций в каждой точке рассматриваемой области. Более того, подобное представление функции позволяет применять к функционально-воксельным моделям R-функциональные операции, что значительно расширяет возможности моделирования многомерных геометрических объектов сложной формы.

Однако построение функционально-воксельных моделей возможно только для непараметрических функций неявного вида. Параметрические функции, в том числе параметрические функции кривых линий и поверхностей, применяются в решении широкого круга задач и получили широкую популярность для построения гладких границ геометрического объекта в современных системах автоматизированного проектирования. Параметрическими функциями занимаются Панчук К. Л., Косников Ю. Н., Конопацкий Е. В. и многие другие, но проведенные исследования не позволяют реализовать функционально-воксельное моделирование параметрических функций, что значительно сужает возможности применения функциональновоксельного метода в задачах автоматизированного проектирования. Таким образом, возникает необходимость разработки геометрических инструментов представления параметрической функции функционально-воксельной моделью.

Цель работы – разработка геометрических инструментов функциональновоксельного моделирования области локальных функций для параметрически заданной кривой.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:

1.Разработать принцип компьютерного конструирования R- функциональных операций на основе функционально-воксельной алгебры.

2.Разработать итерационную модель построения функциональновоксельных образов сложной предикатной функции на основе принципа её последовательной композиции.

3.Разработать алгоритм генерации функций локального обнуления, моделирующий заданную параметрическую кривую как нуль-границу геометрического объекта.

4.Разработать принцип моделирования траектории движения режущего инструмента для механической обработки карманов сложной формы на основе полученных функционально-воксельных моделей.

Объектом исследования является функционально-воксельный метод моделирования области локальных функций для параметрической кривой.

Предметом исследования являются принципы построения области локальных функций для параметрических кривых.

Методы исследования. Диссертационная работа базируется на методах: функционально-воксельного моделирования (ФВМ), R-функционального моделирования (RFM), методах преобразования математических моделей, теоретических основах аналитической и дифференциальной геометрии.

Научная новизна результатов исследования состоит в том, что:

5

1.Разработан принцип компьютерного конструирования R- функциональных операций на основе функционально-воксельной алгебры, позволяющий эффективнее применять теоретико-множественные операции к функционально-воксельным моделям. Принцип отличается последовательным применением арифметических операций функционально-воксельного метода в реализации R-функциональной операции. Данный принцип ускоряет расчет по причине отказа от переаппроксимации результирующей области функции.

2.Разработана итерационная модель построения функциональновоксельных образов сложной предикатной функции на основе принципа её последовательной композиции, что позволяет значительно ускорить процесс получения решения, не прибегая к рекурсивному вычислению, в отличии от R- функционального подхода.

3.На базе полученной итерационной модели разработан алгоритм генерации функций локального обнуления, обеспечивающих локальное обнуление сегментов, составляющих параметрически заданную кривую как нуль-границу геометрического объекта, а также требуемый знак на рассматриваемой области значений. Алгоритм отличается тем, что позволяет получать компьютерное представление области сложного контура геометрического объекта, применимое в R-функциональном моделировании, простым перебором составных элементов.

4.Разработан принцип моделирования траектории движения режущего инструмента для механической обработки карманов сложной формы, отличающийся применением локальных геометрических характеристик функционально-воксельной модели. Принцип позволяет автоматически заполнять внутреннее пространство замкнутого контура от экстремальной точки карманной поверхности по спирали к заданной границе.

Соответствие паспорту научной специальности 2.5.1. «Инженерная геометрия и компьютерная графика. Цифровая поддержка жизненного цикла изделия»: п. 2. «Теория и практика непрерывного и дискретного геометрического моделирования. Конструирование кривых линий, поверхностей и тел по заданным требованиям»; п. 6. «Геометрические основы процессов проектирования, конструирования и технологии производства с применением компьютерных технологий».

Практическая значимость и внедрение. Разработанные геометрические принципы функционально-воксельного моделирования параметрических кривых прошли апробацию на предприятии АО НПО им. С. А. Лавочкина, также реализованы и внедрены в программную платформу функциональновоксельного моделирования при лаборатории компьютерной графики ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН. На основе разработанных принципов предложена четырехмерная модель области возможного столкновения роботов в алгоритме ORCA (грант МНШ-2021-2022/18 ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН). Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечивается корректным применением математического аппарата

6

компьютерной геометрии, функционально-воксельного и R-функционального методов. Корректность разработанного алгоритма определяется построением нуль-границы функции, совпадающей с расчетной функцией параметрического вида.

Основные положения, выносимые на защиту:

1.Принцип конструирования R-функциональных операций на основе функционально-воксельной алгебры.

2.Итерационная модель построения функционально-воксельных образов сложной предикатной функции на основе принципа её последовательной композиции.

3.Алгоритм генерации локальных функций на заданной прямоугольной области для построения областей локальных функций параметрических кривых.

4.Алгоритм определения отрицательной области модели функции, построенной посредством локального обнуления сегментов параметрически заданной кривой.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались

иобсуждались на международной научно-технической конференции «Современные направления и перспективы развития технологий обработки и оборудования в машиностроении 2020» (г. Севастополь, 2020 г.), 30-й юбилейной международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2020» (г. Санкт-Петербург, 2020 г.), 17-й Всероссийской школе-конференция молодых ученых «Управление большими системами» (Москва, 2021 г.), 31-й Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2021» (г. Нижний Новгород, 2021 г.), 9-й международной конференции «Физико-техническая информатика — CPT2021» (Пущино, 2021 г.), 18-й Всероссийской школеконференция молодых ученых «Управление большими системами» (Челябинск, 2022 г.), 32-й Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2022» (г. Рязань, 2022 г.).

Личный вклад. Постановка задач исследования и формулирование основных теоретических принципов [5 – 7], а также адаптация принципов функционально-воксельного метода для решения некоторых задач [1, 2, 4, 7 – 11] осуществлялись совместно с основным разработчиком функциональновоксельного метода – научным руководителем. Организация проведения экспериментальных расчетов, обработка, визуализация и анализ полученных результатов, а также разработка выносимых на защиту функциональновоксельного принципа конструирования R-функциональных операций, итерационной модели построения функционально-воксельных образов и алгоритма генерации локальных функций на заданной прямоугольной области [3, 1, 7] выполнялись автором лично. При непосредственном участии автора разработанные геометрические принципы функционально-воксельного моделирования параметрических кривых внедрены в программную платформу функционально-воксельного моделирования при лаборатории компьютерной графики ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН.

7

Публикации. Основные результаты исследований изложены в 12 научных трудах, 4 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК (из которых 1 по научной специальности 2.5.1 и 1 проиндексирована в RSCI), 4 в изданиях, проиндексированных базой данных Scopus, 3 в сборниках научных трудов и конференций, 1 – свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 129 страниц, включая 96 рисунков и 2 приложения. Список литературы включает 105 наименований, в том числе 23 на иностранных языках.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследований, поставлены цель и задачи исследований, определен объект и предмет исследований, поставлены задачи, сформулированы научная новизна и практическая значимость результатов исследований.

Впервой главе представлены основные принципы функциональновоксельного моделирования. На примере сложной функции показан процесс построения функционально-воксельной модели, т.е. набора графических М- образов, позволяющих хранить локальные геометрические характеристики в каждой точке на области исследования функции. Рассмотрены основные принципы R-функционального моделирования – математического аппарата теоретико-множественных операций над областями функций. Наглядно продемонстрировано применение R-функциональных операций к областям непараметрических функций. Представлены примеры построения двумерных и трехмерных R-функциональных моделей сложных геометрических объектов, описанных суперпозицией функций.

Демонстрируется обзор применяемых в автоматизированном проектировании гладких кривых. В качестве непараметрически представленной гладкой кривой рассматривается многочлен третьей степени, для которого исследованы возможности построения различных конфигураций. Подобное описание кривой не позволяет конструировать некоторые формы, в том числе замкнутые контуры. Также рассмотрены возможности построения различных контуров с помощью сплайна, каждый сегмент которого является алгебраическим многочленом третьей степени. Разнообразие конструируемых форм значительно увеличивается по сравнению с раннее рассмотренным случаем, в том числе появляется возможность построения замкнутых контуров.

Вкачестве параметрических кривых, получивших широкое применение в системах автоматизированного проектирования, рассматриваются кривая Безье, являющаяся первой параметрической кривой, применяемой в проектировании, а также родственные ей B-сплайн и неоднородный рациональный B-сплайн (NURBS-кривая). Приведены примеры построения таких кривых. Применение параметрических кривых обеспечивает построение сложных конфигураций и замкнутых контуров в случае их рассмотрения на одном сегменте, в отличии от непараметрически представленных кривых. Для дальнейшего исследования

8

была выбрана кривая Безье как хорошо исследованный и широко применяемый во многих областях классический представитель параметрических кривых с достаточно гибкими возможностями построения различных форм, но довольно простой математической формулировкой.

Во второй главе приведены подходы к нахождению искомого представления параметрической кривой Безье, т.е. представления в виде области локальных функций, описывающей геометрический объект с нуль-границей в виде параметрической кривой.

Алгебраическое выражение параметра t через одну из координат кривой позволило найти непараметрическое представление и осуществить построение квадратичной кривой Безье. Однако данный подход требует сложных математических вычислений, а для кривой большей степени и вовсе не применим. Определение параметра t через одну из координат кривой из выражения касательной к кривой, определяемой по алгоритму Де Кастельжо, или посредством локально-геометрического подхода позволили найти непараметрическое представление и осуществить построение кривой Безье. Однако показано, что для реализации алгоритма построения кривой любой конфигурации опорных точек требуется применение как минимум одного поворота системы координат, что значительно усложняет алгоритм при построении кривых высоких степеней. Алгоритм на основе независимого перебора параметров для каждой из координат точки кривой позволяет осуществить построение кривой Безье любой конфигурации, однако построение положительных и отрицательных областей нарушается из-за перекрытия друг другом расчетных точек вследствие изгиба кривой вдоль оси координат.

Построение области локальных функции, описывающей параметрическую кривую нуль-границей, возможно без непосредственного преобразования выражения параметрической функции в непараметрическую. В качестве одного из таких решений предложено R-функциональное пересечение полуплоскостей, образуемых последовательностью касательных к кривой Безье и определяемых посредством алгоритма Де Кастельжо (рис. 1).

Рисунок 1 – Построение кривой Безье внутренними областями касательных

Построение нуль-границы с образуемой положительной и отрицательной областью удалось осуществить для кривой Безье, опорный многоугольник которой является выпуклым. В противном случае наблюдается наложение области текущей полуплоскости противоположного знака на уже образованную ранее область при переходе касательной через точку перегиба конструируемой

10

Однако ни один из вариантов не позволяет получить гладкую монотонную поверхность функции, так как положительная область, используемая для отсечения фрагментов прямой, создает складки для каждого из отрезков.

Другим подходом является применение одномерного метрического ФЛОБа, используемого в инструментах ФВ-моделирования. Такая функция обеспечивает нулевые значения на отрезке, ограниченном точками ( 1; 1) и ( 2; 2) на заданной области положительных значений. Примечательно, что функция имеет квадратичный непараметрический вид

( , ) = 0:

√( − 2)2 + ( − 2)2 + √( − 1)2 + ( − 1)2 − √( 1 − 2)2 + ( 1 − 2)2 = 0.

Последовательное линейное или квадратичное R-функциональное пересечение таких ФЛОБов образует на положительной области функции искомую криволинейную нуль-границу (рис. 3). В квадратичном случае операции пересечения наблюдается бóльшая гладкость образуемой поверхности области функции.

Рисунок 3 – Варианты построения кривой ФЛОБом

Применение данного подхода возможно для параметрической кривой любой степени. Главным достоинством является возможность достижения гладкости и монотонности получаемой поверхности функции на рассматриваемой области за счёт уменьшения дискретного шага флобации. К тому же такой принцип построения ФЛОБа применим для любой размерности, что делает его универсальным инструментом ФВ-моделирования.

Предложенные алгоритмы, основанные на применении R- функциональных процедур над ФЛОБами, позволяют различными способами построить область локальных функций, описывающую нуль-границей параметрическую кривую Безье. Однако необходимость выполнения многооперационных рекурсивных расчетов при реализации R-функциональных операций значительно увеличивает время, требуемое на выполнение алгоритма.

В третьей главе представлен принцип функционально-воксельного R- функционального моделирования, позволяющий применять теоретикомножественные операции полной системы R-функций к функциональновоксельным моделям. Данный алгоритм упрощает проводимые вычисления за счет отсутствия переаппроксимации результирующей сложной предикатной