6519
.pdfИ.В. Арженовский, Д.Е. Ершов, В. Ланге, К.В. Мальцев
Финансовая математика
Учебное пособие
Нижний Новгород
2021
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
И.В. Арженовский, Д.Е. Ершов, В. Ланге, К.В. Мальцев
Финансовая математика
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Нижний Новгород ННГАСУ
2021
1
ББК 65.26 А79
УДК 336
Печатается в авторской редакции
Рецензенты:
И. С. Иванченко – д-р экон. наук., профессор кафедры финансового мониторинга и финансовых рынков Ростовского государственного экономического университета (РИНХа) И. Н. Лохина – канд. экон. наук., доцент кафедры финансов и правового регулирования финансового рынка Нижегородского института управления – филиала РАНХиГС
Арженовский И. В. Финансовая математика [Текст]: учеб. пособие. / И. В. Арженовский, Д. Е. Ершов, В. Ланге, К. В. Мальцев; Нижегор. гос. архитектур.-строит ун-т. -
Нижний Новгород: ННГАСУ, 2021. – 98 с. ISBN 978-5-528-00431-0
Содержит материалы по основам финансово-экономических расчетов и состоит из предисловия, семи глав, типовых заданий, двух приложений, списка литературы. Примеры вычислений включены в текст соответствующих глав.
Предназначено студентам и магистрантам экономических направлений высших учебных заведений всех форм обучения, а также практическим работникам, связанным с финансово-экономическими расчетами.
ББК 65.26
ISBN 978-5-528-00431-0 |
© Арженовский И.В., Ершов Д.Е., |
|
Ланге В.,Мальцев К.В., 2021 |
|
© ННГАСУ, 2021 |
|
2 |
Оглавление
|
Предисловие |
5 |
|
Основные обозначения |
7 |
Глава 1 |
Математические основы |
8 |
1.1 |
Последовательности |
8 |
1.2 |
Ряды |
9 |
1.3 |
Резюме |
10 |
Глава 2 |
Исчисление процентов |
12 |
2.1 |
Простые проценты |
12 |
2.2 |
Сложные проценты |
13 |
2.3 |
Многоразовое начисление процентов |
17 |
Глава 3 |
Расчет ренты |
22 |
3.1 |
Постоянные платежи |
22 |
3.2 |
Платежи, изменяющиеся по арифметической прогрессии |
26 |
3.3 |
Платежи, изменяющиеся по геометрической прогрессии |
27 |
3.4 |
Ренты с длительностью менее года и годовым |
28 |
|
начислением процентов |
|
4 |
Погашение задолженности |
31 |
4.1 |
Погашение основного долга равными долями |
31 |
|
(последующее) |
|
4.2 |
Погашение долга аннуитетами (последующее) |
34 |
4.3 |
Погашение долга процентными аннуитетами |
40 |
Глава 5 |
Линейная и геометрически дегрессивная амортизация |
45 |
5.1 |
Линейная амортизация |
45 |
5.2 |
Геометрически дегрессивная амортизация |
46 |
5.3 |
Геометрически дегрессивная амортизация с переходом к |
48 |
|
линейной амортизации |
|
Глава 6 |
Оценка инвестиций |
50 |
6.1 |
Понятие инвестиций |
50 |
6.2 |
Метод чистой приведенной стоимости |
50 |
6.3 |
Метод внутренней нормы доходности |
51 |
6.4 |
Метод аннуитетов |
52 |
6.5 |
Индекс прибыльности |
53 |
6.6 |
Отношение выгоды/затраты |
53 |
6.7 |
Срок окупаемости |
54 |
|
Типовые задачи |
55 |
|
3 |
|
|
Ответы на типовые задачи |
66 |
|
Библиография |
73 |
Приложение 1 |
Образцы контрольных (экзаменационных) работ |
74 |
Приложение 2 |
Список формул |
82 |
Приложение 3 |
Табличные значения коэффициентов дисконтирования |
91 |
|
последующей ренты |
|
|
Указатель терминов/ Begriffsverzeichnis/ Index of terms |
94 |
|
Inhaltsverzeichnis |
96 |
|
Autoren |
98 |
4
Предисловие
Настоящее учебное пособие обобщает многолетний опыт преподавания финансовой математики в Нижегородском государственном архитектурно- строительном университете совместно с Кёльнским университетом прикладных наук (Германия), Университетом прикладных наук Зюйд (Нидерланды) в рамках образовательных программ «Экономика», «Международный бизнес», «Прикладная информатика в экономике».
Издание содержит материалы по основам финансово-экономических расчетов и состоит из предисловия, шести глав, типовых заданий, трех приложений, списка литературы, трехъязычного указателя терминов. Примеры с решениями включены в текст соответствующих глав.
Главное внимание уделено математическим основам финансовых вычислений, расчетам процентов, ренты, погашения задолженности, амортизации, оценке инвестиций, показателям финансового анализа. Текст излагается в форме, доступной для понимания читателей с разным уровнем базовой подготовки.
Учебное пособие адресовано студентам и магистрантам экономических направ- лений высших учебных заведений всех форм обучения, а также практическим работникам, связанными с финансово-экономическими расчетами.
Авторы:
Арженовский Игорь Валентинович – профессор, к.э.н., ведёт научную и преподавательскую деятельность по финансам, статистике, региональной экономике и маркетингу в Институте бизнес-технологий ННГАСУ, Нижегородском институте управления РАНХиГС, НИУ Высшая школа экономики Нижний Новгород. Активно сотрудничает с зарубежными вузами- партнёрами - Университетом ООН (Япония), Кёльнским университетом прикладных наук (Германия), Университетом прикладных наук Зюйд (Нидерланды).
Ершов Дмитрий Евгеньевич – к.э.н., к.ф.н., ведёт научную и преподава- тельскую деятельность в области маркетинга, экономики и управления в НИУ Высшая школа экономики, Кёльнском университете прикладных наук (Германия), Университете прикладных наук Зюйд (Нидерланды). Chief Data Officer компании Algorithmic Data.
Ланге Винфрид – профессор, д-р (hc), почётный профессор ННГАСУ, ведёт научную и преподавательскую деятельность по логистике, исследованию операций, финансовой математике в Кёльнском университете прикладных наук.
Мальцев К.В. – профессор, д.э.н., руководитель департамента аналитики компании RAI, автор более 100 научных и исследовательских работ в сфере маркетинга, экономики, управления, социологии.
5
Учебное пособие следует использовать в комплекте с другими учебными материалами по данному предмету: слайдами презентаций, методическими указаниями, учебным планом и программой курса. Для углубленного изучения отдельных вопросов рекомендуется обратиться к источникам, указанным в библиографическом списке.
Авторы будут благодарны за замечания и предложения по улучшению издания.
6
Основные обозначения
A |
|
|
|
- аннуитет |
||
an |
|
|
|
- коэффициент дисконтирования ренты |
||
Вk |
|
|
|
- остаточная стоимость на конец k-го года |
||
е |
|
|
|
- число Эйлера |
||
i |
|
|
|
- ставка процента |
||
IRR |
|
|
|
- внутренняя норма доходности |
||
K |
|
|
|
- капитал |
||
log |
|
|
|
- десятичный логарифм |
||
m |
|
|
|
- число рентных периодов в течение года |
||
n |
|
|
|
- срок |
||
NPV |
|
|
|
- чистая приведенная (текущая) стоимость |
||
q = 1 + i |
|
- коэффициент наращения |
||||
r, R |
|
|
|
- рента |
||
sn |
|
|
|
- коэффициент наращения ренты |
||
t |
|
|
|
- время |
||
T |
|
|
|
- задолженность |
||
v = |
1 |
= |
|
|
1 |
- коэффициент дисконтирования |
|
1 |
+ i |
||||
|
q |
|
7
Глава 1 Математические основы
Глава 1 Математические основы
1.1 Последовательности
1.1.1 Понятие числовой последовательности
Определение:
Числовой последовательностью ак называют закон, по которому любому натуральному числу 1, 2, 3,... n сопоставляется действительное число а1 а2, а3 ....
аn .
Примечание:
а1 |
а2, а3 .... аn |
- конечная числовая последовательность |
а1 |
а2, а3 .... |
- бесконечная числовая последовательность |
1.1.2 Арифметическая прогрессия
Определение:
Числовую последовательность ак называют арифметической прогрессией только в том случае, если разность между любым последующим (кроме перво- го) и непосредственно предыдущим членом даёт одно и то же значение, т.е.
ак - ак-1 = d (K ≥ 2)
Арифметическая прогрессия строится следующим образом:
а1 = а1
а2 = а1 + d
a3 = а2 + d = а1 + 2d
•
•
•
an = an-1 + d = a1 + (n-1)d
1.1.3 Геометрическая прогрессия
Определение:
Числовую последовательность ак называют геометрической прогрессией только в том случае, если частная между любым последующим (кроме первого) и непосредственно предыдущим членом даёт одно и то же значение, т.е.
aK = q (К ≥ 2) aK −1
8
Глава 1 Математические основы
Геометрическая прогрессия строится следующим образом:
а1 = а1 а2 = а1 ● q
a3 = а2 ●q = а1 ●q2
•
•
•
an = an-1 ● q = a1 ● qn-1
1.2. Ряды
1.2.1 Понятие конечного ряда
Определение:
Конечным рядом числовой последовательности ак называют сумму первых n -
членов ак (К=1,2,…,n):
n
ak = a1 + a2 +...+ an
k =1
Если последовательность ак является конечной арифметической (или геометри- ческой) прогрессией, то речь идет о конечном арифметическом (или геометри- ческом) ряде.
1.2.2 Формула для суммы конечного арифметического ряда
Для суммы конечного арифметического ряда верна следующая формула:
n |
|
|
1 |
n(a1 + an ) |
||
a K |
= |
|||||
|
|
|||||
K =1 |
|
2 |
|
|||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
100 |
|
1 |
100(1 +100)= 5.050 |
|||
К = |
||||||
2 |
||||||
K =1 |
|
|
|
1.2.3 Формула для суммы конечного геометрического ряда
Для суммы конечного геометрического ряда верна следующая формула:
n |
|
q |
n |
−1 |
|
||
aK |
= a1 |
|
(q ≠ 1) |
||||
q −1 |
|
||||||
K =1 |
|
|
9