Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6229

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

746.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Рис. 25

Рис. 26

		x
	x1	x2
	2
	y2	C2
		C2
	4
y	y 1
	C 1	C
	Рис. 27

Dmaxσ z(+ )

F y

max σ z( −)

Рис. 29

Рис. 28

Задача 5. Стержень, имеющий поперечное сечение, изображенное на рис. 26, сжимается силой F, приложенной в точке B. Известно допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Найти допускаемую нагрузку F из условия прочности. Построить эпюру напряжений. Построить ядро сечения обратным способом.

Решение. При решении задачи нельзя применять формулы (11) и (12). Определять напряжения в данном случае можно только либо по (2), либо по

(4). Используем формулу (2). Учитывая, что x =1.5 см; y = -1 см , определим усилия:

N = -F; M x = N × yF = -F ×(-1) = F; M y = N × xF = -F ×(1.5) = -1.5 × F

Разбив поперечное сечение на два прямоугольника и два треугольника определим необходимые геометрические характеристики.

A = 2 ×(2 × 6) +

6 ×3

2 ×

= 42

см

;

6 × 2

3 × 6

= 2 ×

+ 22

×12

+ 2 ×

=131 см4 ;

63 × 2

33 × 6

6 ×3

I y

= 2 ×

+ 2

+ 4

= 369

см

;

													32
ix2 =	131		= 3.12 см2 ; iy2 =						369		= 8.78 см2 .
ix2 =	42		= 3.12 см2 ; iy2 =								= 8.78 см2 .
	42							42
Запишем уравнение плоскости напряжений:
sz ( x, y ) =	N			M	x		M y			F			F × y		1.5 × F × x			1			y		1.5 × x
		+			x	× y +		× x = -				+		-		= F ×	-		+			-
	A	+		I x		× y +	I y	× x = -		42		+	131	-	369	= F ×	-	42	+	131		-
	A			I x			I y			42			131		369			42		131				369

Определить положение опасной точки, для которой нужно записать условие прочности, можно только построив нулевую линию. Для этого найдем по (7).

	iy2		8.78		i2		3.12

x = -		= -		= -5.85; y = -	x	= -		= 3.12 .
			1.5				-1
	xF				yF

Строим нулевую линию. Из рисунка 28 можно определить, что наиболее удаленной от нулевой линии является точка D. Записываем условие прочности в виде (14), учитывая, что

			sDz = F ×				-	1	-	3	-	1.5 ×3	= -0.0589F ,
			sDz = F ×				-		-		-		= -0.0589F ,
							42		131			369
max	sz	£ [s] =16		кН
				кН

				см		2
			16	см
Откуда F £			16		= 271.6				кН .

			0.0589
			0.0589

Ясно, что при найденном значении силы, наибольшие сжимающие напряжения возникнут в точке D:

max sCz = sDz = -160 МПа.
а наибольшие растягивающие –							в точке Е (рис.28):
sEz = 271.6 × -	1	+		3	-	1.5 ×(-3)		= 3.31	кН	= 33.1 МПа
									2
42			131				369		см

Строим эпюру напряжений.

Теперь построим ядро сечения обратным способом (раздел 2). Так как сечение имеет две оси симметрии, то достаточно построить четвертую часть ядра, последовательно поместив силовые точки в т. 1 и в т. 2 (рис. 29) и найдя по формулам (7) положение соответствующих нулевых линий 1-1и 2-2.

Силовая точка 1: xF

= −6;

yF = 0 .

iy2

8.76

x = -

= -

=1.46

см;

y = -

= ¥ .

-6

Силовая точка 2: xF

= −3;

yF = 3.

iy2

8.76

3.12

x = −

= −

= 2.92 см; y = −

= −

= −1.04

см .

−3

Достроим ядро сечения по его четвертой части, используя симметрию относительно осей x и y.

Задача 6. Стержень, имеющий тавровое поперечное сечение (рис. 30), выполнен из материала с характеристиками [σ]с = 100 МПа; [σ]р = 40 МПа .

Стержень загружен сжимающей силой F, которая приложена в точке D.

1.Построить эпюру напряжений σz в общем виде.

2.Из условий прочности определить характерный размер поперечного сечения a, если задана сила F = 1000 кН .

3.Из условий прочности найти допускаемую нагрузку F, если известен размер a = 1 см .

4.Построить ядро сечения обратным способом.

Решение. Для определения напряжений используем формулу (4), поскольку упрощенные формулы (11) и (12) непригодны в данном случае. Предварительно, найдя положение центра тяжести, вычислим необходимые геометрические характеристики (рис. 31). Исходная система координат: x0 , y0 .

3a
6a
D
3a
2a
2a	2a	2a

y
	y0
	y1
	y2
	C 1			x1
		2a		x1
4 a		2a
4 a				x
C		2a		x
		2a
O	C2	x		x2
		x	0	x2
			0

Рис. 30

Рис. 31

Рис. 32

y = y1 × A1 + y2 × A2
c	A1	+ A2

34
	y
	x
	Рис. 33
= 4a ×12a2 + 0 ×12a2	= 2a .
12a2 +12a2

Тогда

A =12a2 +12a2 = 24a2 ;

Ix =

2 × 63

+ 22

×12 +

× 6

+ 22 ×12 × a4 =136a4 ;

23 × 6

2 × 63

I y =

× a

= 40a

;

ix2 =

136a4

a2 ; iy2 =

40a4

24a2

Учитывая, что xF = a,

= −a , запишем выражение для σz :

× x

× y

6 y

× 1

= -

24a

17a

Построив нулевую линию (рис. 32), определим положение опасных точек A и B.

iy2

x = -

a; y = -

= -

a .

В общем виде определим напряжение в этих точках.

Точка А. x = 3a; y = −3a;

szA = -

× 1 -

3 ×3

6 ×3

= 0.077

= max szp .

24a

Точка В. x = −a; y = 5a;

sBz

= -

× 1 +

3 ×1

6 ×5

= -0.142

= max scz .

24a

Строим

эпюру

напряжений σz

в общем

виде (рис. 32). Поскольку

[s]p ¹ [s]c запишем условие прочности в виде (14).

0.077

£ [s]

0.142

Если задана сила F = 1000 кН (вопрос 2), то размер a найдется из реше-

ния системы:

0.142 ×1000

= 3.77 см

0.077 ×1000

= 4.38 см

Выбираем a = 4,38 см.

Если задан размер а (вопрос 3), то значение силы F находится из реше-

ния системы:

F £

10 ×1

= 70 кН

0.142

4 ×12

= 52 кН

0.077

откуда F = 52 кН.

Теперь строим ядро сечения. Для этого поочередно помещаем силовую точку в углы контура (точка 1, 2 и 3), пропуская входящие углы (рис. 33).

Построим соответствующие нулевые линии:

точка 1: xF

= a, yF = 5a ,

н.л. 1-1:

= -

a ,

точка 2: xF

= 3a, yF = −a ,

н.л. 2-2:

= -

= +

a ,

	36
точка 3: xF = 3a, yF = −3a ,	н.л. 3-3:		= -	5	a,		= +	17	a .
		x				y

	9					9

По левую сторону от оси y данные нулевые линии отсекут выпуклую фигуру, которая в силу симметрии будет являться половиной ядра сечения.

Достроим его до целого.

	Задача 7. Бетонный стержень, поперечное сечение которого изображено
на	рис. 34,	загружен сжимающей силой F = 1000 кН.
[s]c	= 8 МПа, [s]p	= 0.8 МПа . Определить из условия прочности характерный

размер поперечного сечения a.

Решение. Разбив поперечное сечение на два треугольника и прямоугольник, найдем положение центра тяжести и вычислим все необходимые геометрические характеристики.

A = A =

×3a ×10a =15a2 ; A = 4a × 6a = 24a2 ;

A = A1 + A2 + A3 ,

3a ×10a ×(-3a) × 2 + 0

= -1.667a; y

= 0,

15a2 × 2 + 24a2

так как ось x является осью симметрии. Оси x, y –

главные центральные оси

сечения.

Определим моменты инерции относительно центральных осей

10a ×(3a)3

(10a)3 ×3a

= Ix

= 7.5a4 ;

I y

= I y =

= 62.5a4 ;

4a ×(6a)3

(4a)3 × 6a

72a4 ; I y =

= 32a4 ,

(7.5 +15 ×(4)2 )× 2 + 72

× a4

= 576a4 ;

I y

(62.5 +15 ×(-1.33)2 )× 2 + 32 + 24 ×(1.67)2 × a4

= 277a4 .

Найдем радиусы инерции:

ix2 =

567a4

=10.5a2 ; iy2

277a4

= 5.13a2 .

54a2

Для определения положения опасных точек необходимо построить ну-

левую линию. Учитывая, что xF = −0.33a,

yF = −5.4a , получим

iy2

5.13a2

ix2

10.5a2

x = −

= −

= 17.1a;

y = −

= −

= 1.94a.

−0.3a

−5.4a

Построить нулевую линию (рис. 35), определим положение опасных точек 2 и 5.

3a
6a
3a
	F
5 a	a	5 a
5 a		5 a
Рис. 34а
y	y3
y 1	y3
y 2	y0
C 1
			x1
4a
	C
	C 3	x0	x3	x
4a
C 2			x2
			x2
1.33a	1.67a
Рис. 34б

Рис. 35

Рис. 36

Точка 2. x = −1.33a,

y = 6a .

= -

1000

(-5.4a)× 6a

(-0.33a)×(-1.33a)

37.04

max szp = s2z

× 1 +

10.5a

5.13a

54a

Точка 5. x = −1.33a,

y = −6a .

= -

max scz = s5z

= -

× 1 +

1000

(-5.4a)×(-6a)

(-0.33a)×(-1.33a)

77.24

54a

10.5a

5.13a

Эпюру напряжений построим в общем виде (рис. 35). Условие прочности запишем в виде (14), так как [s]p ¹ [s]c .

37.04 £ 0.08 кН / см2

77, 24 £ 0.8 кН / см2

Размер a найдется из решения системы неравенств


	37,04
a ³		@ 21 см
	0,08


	77, 24
a ³		= 9.8 см

	0,8

Таким образом, характерный размер поперечного сечения a 21 см.

На рис. 36 представлено ядро сечения.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023745.78 Кб06224.pdf
#
21.11.2023745.82 Кб06225.pdf
#
21.11.2023745.97 Кб06226.pdf
#
21.11.2023745.98 Кб06227.pdf
#
21.11.2023746.06 Кб06228.pdf
#
21.11.2023746.49 Кб06229.pdf
#
21.11.2023137.01 Кб0623.pdf
#
21.11.2023746.6 Кб06230.pdf
#
21.11.2023746.85 Кб06231.pdf
#
21.11.2023747.07 Кб16232.pdf
#
21.11.2023747.45 Кб06233.pdf