Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6071

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

710.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

9−x

1 2 y2 +1

11.81.

∫ dx

∫

(x + y)dy .

11.82.

∫ dy

∫

(1 − y 2 )dx . 11.83. ∫ dy

∫ (x + 2 y )dx .

−3

y 2 − 4

y +3

2− y

(x 2 + y 2 )dx .

0,5

11.84.

∫ dy ∫

xy2dx . 11.85. ∫ dy ∫

11.86.

∫ dy ∫ (4xy + x)dx

y 2

1 x2 +1

2 y

11.87.

∫ dy ∫

dx .

11.88.

∫ dx

∫

xe y dy .

11.89. ∫ dy ∫sin(2x − 3y)dx .

	1		4− x2		ln 4	1
11.90.	∫ dx			∫ xe3 y dy .	11.91. ∫ dy ∫ 4 ye2xy dx.
	0			0	ln 3	0,5

		π
				2	0	0
	2			2	0	0		π xy
11.93.	∫ dy∫ 4 y 3 sin(xy 2 )dx .11.94. ∫ dy ∫						y 2 cos	π xy
11.93.	∫ dy∫ 4 y 3 sin(xy 2 )dx .11.94. ∫ dy ∫						y 2 cos
				1	−1	2 y	4
		π		1	−1	2 y	4

	4

11.92.∫ dy ∫ 2 y 2 e xy dx .

π2

dx .11.95. ∫ dy ∫ y cos xy dx .

π 1

В задачах 11.96 – 11.115

вычислить двойной интеграл

∫∫ f ( x , y )dxdy

по заданной области D в прямоугольных координатах, рационально выбрав

порядок интегрирования.

∫∫ xdxdy ,

+ y2

£ 4,

∫∫ xydxdy ,

у = x 2 ,

11.96.

где

D :

1.97.

где D :

x + y ³

y = x.

x = 0,

y £ 2,

D : xy ³ 1,

11.98.

∫∫

dxdy ,

где

11.99. ∫∫cos(y 2 )dxdy , где D : x = y,

D x

y ³ x.

y =

y = 0,

D : y =12x,

11.100. ∫∫e x2 dxdy ,

где

D : x = 1,

11.101.

∫∫

dxdy

где

y = x.

y = 3x2 .

12.102. ∫∫ (x + y)dxdy ,

y = x2 ,

где D : y = x. 11.104.

где

∫∫

y = 0,
D : x = 0,	x + 4.	11.103.		∫∫ (x + 2 y)dxdy ,
y = -				D
		y = x,			x	2

xydxdy , где		x ³ 0,	11.105. ∫∫				dxdy
	D :
						2
	y = 2 - x 2 .			D y

	y = x,				x	2	+ y	2	£ 4,
, где				11.106 ∫∫ ydxdy ,	x		+ y		£ 4,
, где	D : x = 2,			11.106 ∫∫ ydxdy ,	где D :				11.107.
	y =	1	.	D	x + y ³				2.
	y =		.
		x

∫∫15 y 2 dxdy ,

y = -x3 ,

= 1,

11.108. ∫∫ y cos(xy)dxdy ,

где

D : x

y =

11.109. ∫∫ (x

4 y

)dxdy ,

y = x 2 ,

где D :

= y 2 .

где

D : x2 + y2 £ 4,

11.111. ∫∫sin(y 2 )dxdy ,

y - x ³ 2.

0 ≤ y ≤ 2,

11.112. ∫∫ x sin(xy)dxdy ,

где

D :

≤ x ≤

x = 0,

где

D : y = e,

11.114.

∫∫ ydxdy ,

y = 2,

= e

y = x,

11.115. ∫∫ (x + y)dxdy ,

где

D : x = 1,

D	2x + y = 6.

		0 ≤ x ≤ 1,
где				π
где		D :		π
		0 ≤ y ≤			.
		0 ≤ y ≤			.
				2
				2
	11.110.		∫∫ xdxdy ,
			D

			y = 2x,
где		D : x = 0,
			y =
						π	.
				2			.
				2
11.113. ∫∫ e x dxdy ,
		D
где		x 2	+ y 2	£ 4,
где	D :
		x + y £ -2.

В задачах 11.116 –11.137 вычислить двойные интегралы ∫∫ f ( x , y )dxdy

по заданной области D , перейдя к полярным координатам.

11.116.

11.117.

11.118.

11.119.

11.120.

11.121.

11.122.

11.123.

11.124.

11.125.

11.126.

x 2

+ y 2

£ 4,

∫∫

+ y

dxdy,

где

D :

y ³ 0.

x 2

+ y 2

£1,

∫∫

+ y

dxdy,

где

D :

x ³ 0.

x 2

+ y 2

£ 2,

∫∫

+ y

dxdy,

где

D :

£ 0.

x ³ 0, y

x 2

+ y 2

£ 3,

∫∫

+ y

dxdy,

где

D :

£ 0.

x £ 0, y

y = x,

dxdy,

D :

∫∫

x2 + y2

где

y = -x,

1 - y

x =

∫∫(x2 + y 2 )− 12 dxdy ,

y ³ 1,

где

D: x ³ 0,

x 2 + y 2 £ 2 y.

x 2 + y 2 ³ 3y,

∫∫

+ y

dxdy,

где

D :

2 + y 2 £ 9.

y 2

∫∫

где

D : x

+ y

≤

1 −

dxdy ,

x 2

+ y 2 ³1,

dxdy

∫∫

где

D: x 2

+ y 2 £ 4,

D x2 + y 2

- x £ y £ x.

∫∫	ln(x 2	+ y 2 )dxdy			x 2	+ y 2 ³ 4,
			,	где	D:
		2 + y 2	,	где	D:	+ y 2 £ e 2 .
D	x	2 + y 2			x 2	+ y 2 £ e 2 .
∫∫ (4 - x)dxdy ,				где	D : x2 + y 2 ≤ 4x .
D

y £ 0,

11.127. ∫∫

dxdy

где

D: x ³ 0,

D 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 £ 1.

x 2

+ y 2 ³ -3x,

11.128. ∫∫

+ y

dxdy,

где

2 + y 2 £ 9.

11.129.

∫∫(x2 + y 2 )− 12 dxdy,

где

D : x2 + y2 + 2x ≤ 0 .

11.130. ∫∫ (x2 + y 2 )dxdy ,

+ y

³ -2x,

где

D: x

x 2 + y 2 £ 4.

y ³ 0,

dxdy,

D: x ³ 0,

11.131.

∫∫

1+ x2 + y2

где

x 2 + y 2 £ 1.

dxdy,

11.132. ∫∫

R2 − x2 − y2

где

D :

x2 + y 2 ≤ Rx .

− 1

+ y

= 2x,

11.133.

∫∫(x2 + y 2 )

2 dxdy,

где

D: x

x ³1.

y = x,

11.134.

∫∫

dxdy

где

D: y = -

1 + x 2 + y 2

x = -

1 - y 2 .

y £ 1,

11.135.

∫∫

dxdy ,

где

D: x ³ 0,

+ y

£ 2 y.

ydxdy

+ y

£ 4,

11.136.

∫∫

где

D: 1 £ x

0 £ y £ x.

y 2

x2 + y 2 £ π2 ,

11.137.

∫∫

1 −

dxdy .

где

£ y £

§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объёмов фигур

В задачах

11.138 – 11.150 вычислить площади фигур, ограниченных

кривыми.

11.138.

xy = 4,

x + y − 5 = 0 .

11.139. x = 4 y - y 2 ,

x + y = 6 .

11.140.

y =

x, y = 4 - (x - 1)2 , (x ³ 0).

11.141.

x = 4, y =

y = 2

11.142.

xy =1,

x = y,

x = 2 .

11.143.

y = x2 ,4 y = x2 , y = 4 .

11.144.

xy =1,

x = 4,

y = 2 .

11.145.

x + y = 1,

y 2 = x + 1 .

11.146.

4x = y 2 + 4 , 16x = y 2 + 64 .

11.147.

x = y 2 - 2 y ,

x - y = 0 .

11.148.

2 y = x2 , y = 0, xy = 4, x = 4 .

11.149. x = y 2 , y = 2 + x , y = 2, y = -2 .

11.150.

y = sin x, y = cos x, x = 0, (x > 0).

11.151.

y = 2x, x + y - 2 = 0, y = 0 .

В задачах 11.152 – 11.158 вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми или удовлетворяющих данным неравенствам (от декартовых координат целесообразно перейти к полярным координатам).


11.152.	x2 + y 2 = x, x2 + y 2 = 2x, ( y ³ 0) .					11.153.	x 2 + y 2 £	3	x ,
x 2 + y 2 £ 3y . 11.154. x2 + y 2 = 3y, y =					x, x = 0 .	11.155.	x 2 + y 2 = 4x ,
x 2 + y 2 £ 3y . 11.154. x2 + y 2 = 3y, y =				3	x, x = 0 .	11.155.	x 2 + y 2 = 4x ,
	11.156. x = 0, x =		, (y ³ 2).				ρ = 2(1− cosϕ).
( y ³ x) .	11.156. x = 0, x =	4 y - y 2	, (y ³ 2).			11.157.	ρ = 2(1− cosϕ).
11.158.	ρ = 2(1 + cosϕ ), ρ = 2 cosϕ .

11.159. Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью ρ = 2 из кардио-

иды ρ = 2(1+ sinϕ) и расположенную вне круга.

В задачах 11.160. – 11.172.						вычислить объемы тел, ограниченных дан-
ными поверхностями.
11.160.	x + y + 2z = 4 ,	x = 0 ,				y = 0 ,		z = 0.
11.161.	z = x2 + 3y 2 ,	x + y = 1 ,				x = 0 ,		y = 0 , z = 0.
11.162.	z = 4 - x2 , y = 0 ,		y = 5 ,				z = 0.
11.163.	z = y 2 , x + y = 2 , x = 0 ,						y = 0 , z = 0.
11.164.	z = 0 , x + z = 6 , y =					, y = 2			.
				x				x
11.165.	z = 9 - y 2 , x + 2 y = 6				x = 0 , y ³ 0 , z = 0.
							24

11.166.	z =	x2	, 2x + y − 6 = 0 , x = 0 , y = 0 , z = 0.

	2					x = 0 , y = 0 , z = 0 , x = 3 , y = 3.
11.167.	z = x2 + y2 + 2, x + y ³ 3 ,
11.168.	z = x2 + y 2 +1 ,				y = 6 - x ,	z = 0 , y =1, y = 2x.
11.169.	z =	x3	, x 2 + y 2		= 9 , x ³ 0 , z = 0

	3
11.170.	x2 + y2 =16 ,			y = 0 , z = y , z = 0 .
11.171.	x + y + z = 4 ,				x2 + y 2 = 4 , z = 0 .
11.172.	x + y + z =10			,	2x + y = 4 , x + 2y = 8 , z = 0 .

§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических величин

11.173.

Найти массу фигуры, ограниченной прямыми:

x = −1,

x = 2 ,

=1, y = 0 , если плотность ρ (x, y ) в каждой точке

равна

квадрату

абсциссы, умноженному на ординату этой точки.

11.174.

Найти

массу

однородной пластинки (ρ = 1) ,

ограниченной

ли-

ниями:

y = x2 ,

y = 3x2 ,

y = 3x .

11.175. Найти массу пластины, ограниченной кривыми

y = x 2 , y =

x ,

если плотность её ρ в каждой точке (x , y) равна

ρ(x , y) = x + 2 y .

11.176.

Найти массу круглой пластинки радиуса

если плотность её

ρ (x, y ) в каждой точке равна расстоянию от этой точки до центра окружности.


11.177.	Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) ,
ограниченной линиями:		y = x2 - 1, y = 2 .
11.178.	Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) ,
		y =		, y = 0 , (x ³ 0) .
ограниченной линиями:			4 - x
11.179.	Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) ,
ограниченной линиями:		y = x2 , y + x = 2 , y = 0 .

11.180.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) ,

ограниченной линиями:

x = y2 , 4x = y 2 ,

x = 4, y ³ 0 .

11.181.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) ,

ограниченной линиями:

y = 2x 2 , y = 4x2 , x = 4 .

11.182.

Найти статический момент относительно оси

ОХ

однородной пла-

стинки (ρ = 1) , ограниченной линиями:

xy = 4 , xy =1, x = 2 , x = 4.

11.183.

Найти статические моменты относительно осей координат мень-

шей части эллипса

x 2

y 2

= 1 ,отсекаемой прямой

= 1 (ρ = 1).

11.184.

Вычислить моменты инерции относительно осей координат одно-

родной пластинки (ρ = 1) , ограниченной прямыми: y = 2 - x , y = 1 , x = 2.


11.185. Найти момент инерции однородной пластинки (ρ = 1)				относительно
оси OX , ограниченной линиями:	y 2 = x , y 2 = 4x , y = 1 ,			y = 3 .
11.186. Найти момент инерции относительно оси		ОУ	однородной плас-
тинки (ρ = 1) , ограниченной линиями:	y 2 = x , y 2 = 4x ,		y = 1 , y = 3 .
11.187. Найти момент инерции относительно оси		ОХ	однородной плас-
тинки (ρ = 1) , ограниченной линиями:	x2 = 4 − y , y = 0 .

Глава 12

РЯДЫ

§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость

В задачах 12.1- 12.15 написать общий член ряда.

12.1.			2		+			4	+		6			+ .				12.2.			2	+		4		+	6		+ .				12.3.		2 +	4		+		6		+ .

		3				5			7												3		9			27									2!					3!
12.4.				1			+			1				+	1	+ .		12.5.			1 +				1× 2			+	1× 2 × 3			+ .		12.6.			1		+		3!		+
		1													× 7
				× 3 3 ×								5 5											1× 3					1× 3× 5							2 2 × 4
+	5!					+ .							12.7.			1 -	1	+	1	- .			12.8.					1 −		1	+		1	− .	12.9.					1 - 1 +
	× 4 ×			6
2																2		3										2					3

+ 1 − .

12.10. 1 -

- .

2.11. -

+ . 12.12.

4 7

125

ln 2

+ .

12.13.

+ .

12.14

1 + x +

ln3 ln 4

4 9

x 2

x 3

+ .

12.15.

x −

−

+ .

12.16.

1 −

x 2

−

+ .

12.17.

+ .

12.18.

x +

+ x 2 +

+ x3 +

+ .

x +1

+ 4 x3

12.19.

1 − 3 2 x + 5 2 x 2

− 7 2 x 3 + .

12.20.

(x +1) + (x +1)2

+ (x +1)3

+ .

2 × 4

3 × 42

В задачах

12.2112.26 выписать три первых члена ряда.

∞

3n +1

∞

2n - 1

12.21.

∑

12.22.

∑

2 + (- 1)

2 .

12.23.

∑

n =1 3

n =1

n =1 3 n3 + 1

∞

x n

∞

(x - 2)n

∞

(x + 2)n −1

12.24.

∑

12.25.

∑

12.26.

∑

n =1 n

n =0

n =1

В задачах

12.2712.34

написать формулу частичной суммы

S n , и

вычислить её предел при																							n → ∞ .Сделать вывод о сходимости или расхо-
димости ряда.
12.27.		1					+					1						+		1		+ .		12.28.							1				+		1			+		1	+ .				12.29.							1			+
12.27.							+											+			4	+ .		12.28.											+					+			+ .				12.29.										+
		1× 2 2 ×													3 3 ×						4							1×3 3 × 5 5 × 7																						1× 4
+	1	+				1						+ .									12.30.			1 +	1	+	1		+			1	+ .								12.31.			1 -	1	+		1	-		1		+ .
+		+				×10						+ .									12.30.			1 +		+			+				+ .								12.31.			1 -		+			-				+ .
4 × 7 7						×10																			2 4 8																			3 9 27
				∞				3n				- 2n																	∞		2					1												∞					+			1
12.32.				∑															.					12.33.				∑					×					.						12.34.				∑ ln 1					+				.
				n =1 6n																								n=13 2n−1																			n=1									n
	В задачах 12.3512.43 проверить, выполняется ли необходимое усло-
вие сходимости ряда.
				1						3							5											1						1					1										∞				n		3
12.35.				1	+					3			+				5			+ .			12.36.		1 +			1			+			1			+		1			+ .		12.37. ∑									n					.
12.35.					+								+							+ .			12.36.		1 +			42			+						+					+ .		12.37. ∑									3 +					.
		2				22									23													42					72				102											n =1 3n					3 +				2
									3					4												∞					n																	∞				n		4
12.38.			2 +						3		+			4		+ .							12.39.			∑					n					.								12.40.				∑				n						.
12.38.			2 +								+					+ .							12.39.			∑										.								12.40.				∑		(2n - 1)4								.
						2 3																			n =1					n	2 + 1																n =1			(2n - 1)4

∞

2n - 1

12.41.

∑

12.42.

∑

12.43. ∑

+ 1)(n +

n =1 n

+ 1

n =1

3 n9 + 1

n =1 n(n

∞

12.44.

1 +

+ .

12.44.

e +

+ .

12.45.

∑

n =1n +

§2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов

В задачах 12.4612.61 исследовать ряды на сходимость, применяя признаки сравнения ( при необходимости использовать эквивалентность

следующих бесконечно малых последовательностей :																																																		sin			1		,				tg							1		,
следующих бесконечно малых последовательностей :																																																		sin					,				tg									,
																																																								n												n
				1										1														1								1
arcsin					,			arctg										,		ln 1 +										,										(при						n → ∞ ) ).
arcsin					,			arctg										,		ln 1 +										,										(при						n → ∞ ) ).
				n											n													n								n
				∞				n																					ln 2									ln 3						ln 4												1											1
12.46.				∑												.			12.47.																+							+				+ .					12.48.										+									+
						(		)						n																																										2 ×5								3 × 6
						(		)						n														2											3					4												2 ×5								3 × 6
				n=1 n				+1 3																				2											3					4
+	1		+ .																2			3														n + 1																				1		+						1						+
										2.49.												+					+ +																+ .					12.50.
	4 × 7																																																						1× 2					1× 2 ×3
	4 × 7																		3						8									n(n + 2)																					1× 2					1× 2 ×3
+		1					+ . 12.51. sin																	1		+ sin					1		+ sin							1	+ 12.52. tg									π		+ tg		π		+ + tg							π			+ .
+	1×2 ×3×4						+ . 12.51. sin																	1		+ sin					1		+ sin							1	+ 12.52. tg											+ tg		8		+ + tg										+ .
	1×2 ×3×4																					2						4											8									4						8								8
12.53.				sin1 + sin										1			+ sin				1		+ .																12.54.							1			+		1			+ +						1							+ .
12.53.				sin1 + sin													+ sin						+ .																12.54.										+					+ +													+ .
														2					3																											4 1× 2		4 2 × 3								4 3 × 4
				∞																													∞																									∞		3
				∞				1																									∞						1																			∞		3		n			3		+1
12.55.				∑				1					.										12.56. ∑																1							.					12.57.						∑					n					+1				.
12.55.				∑									.										12.56. ∑																							.					12.57.						∑														.
				n=12n + n																												n=1n2 - 4n + 5																									n=1 n2 +1
				∞				n				+ 2																										∞				n2 + 1														∞											1
				∞				n	n			+ 2																										∞				n2 + 1														∞									2		1
12.58.				∑																.		12.59.															∑ ln										.	12.60.							∑ arcsin																	.
12.58.				∑																.		12.59.															∑ ln								2		.	12.60.							∑ arcsin																	.
				n=1 n6 + 2n - 2																																								n	2										n=1														n
				n=1 n6 + 2n - 2																																	n=1							n											n=1														n
				∞							3
12.61.				∑ n5				× tg			3						.
12.61.				∑ n5				× tg									.
				n=1							n3

В задачах 12.6212.71 исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера.

1	+	2		+	3		+ . 12.63.	2 +	2	2	+	2	3	+ . 12.64. 2 +	2	2	+	23	+ .
12.62.
2		2	2		2	3			22			32			1× 2 1			× 2 × 3

∞

3n × n2

12.65.

∑

n=1 5n

∞

5n -1

12.68. ∑

n=1

(n + 1)× 3n

∞

5n−1 ×

2 + 3

12.71.

∑

n=1

(n -1)!

В задачах 12.7212.83

дикальный признак Коши.

∞	72n
12.66. ∑			.

n=1(2n -		1)!
∞	3n × n!
12.69. ∑				.

n=1	nn

	∞	3n -1
12.67.	∑					.

	n=1	(		)n
			3
∞	3n
12.70. ∑					.

n=1(n +		1)!×2n

исследовать ряды на сходимость, применяя ра-

	∞		n			n					∞			n		−n
12.72.	∑					.				12.73.	∑					.
12.72.	∑					.				12.73.	∑					.
	n=1 5n - 1										n=1 n + 1
	∞	1			2n			−n					∞		3n−1
12.75.	∑							.		12.76.			∑				.
12.75.	∑							.		12.76.			∑				.
	n=15n		n + 1										n=1 n n
	∞		3n		2		3n				∞	2n + 10						n

																		3
12.78.	∑						.			12.79.	∑									.
12.78.	∑						.			12.79.	∑									.
				2									3n - 1
	n=1 4n				+ 1						n=1
	∞				n	π					∞
	∞				n						∞								1
12.81.	∑ arctg								.	12.82.	∑			arcsin n					1		.
12.81.	∑ arctg								.	12.82.	∑			arcsin n							.
	n=1					5n					n=1								n

∞	n	2n−1
12.74. ∑		.

n=1	3n -1


	∞	n		n2
12.77.	∑			.

	n=1	8n + 4
	∞ 2n - 1		−n
12.80.	∑		.
		× 7 n+1
n=1 n
		∞ 2n+1
12.83.		∑			.

		n=1(3n)n

В задачах 12.8412.91 исследовать ряды на сходимость, применяя интегральный признак Коши.

			1				1			1						1					1		1						∞		1
12.84.			1		+		1	+		1	+ .			12.85.		1			+		1	+	1				+ .		12.86. ∑		1					.
12.84.					+			+			+ .			12.85.					+			+					+ .		12.86. ∑	×						.
	3 5							7								4		7					10						n=1 n	×				n
			∞																										∞ e
																																	n
									1						ln 2					ln 3					ln 4								n
12.87.		∑										. 12.88.					+					+					+ .		12.89. ∑						.
12.87.		∑										. 12.88.					+					+					+ .		12.89. ∑						.
	n=2 n × ln 2										n			2				3					4						n=1			n
	3					12							3n2										1				1		1
12.90.				+					+ +					+ .				12.91.								+		+ +			+ .
12.90.		6		+		13			+ +				n3 + 5	+ .				12.91.						8		+	24	+ +	(2n + 1)2 + 1		+ .

В задачах 12.92 — 12.106 исследовать ряды на сходимость и указать применяемые признаки.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023709.06 Кб16067.pdf
#
21.11.2023709.72 Кб06068.pdf
#
21.11.2023710.27 Кб06069.pdf
#
21.11.2023135.84 Кб0607.pdf
#
21.11.2023710.37 Кб06070.pdf
#
21.11.2023710.82 Кб06071.pdf
#
21.11.2023711.1 Кб06072.pdf
#
21.11.2023711.25 Кб06073.pdf
#
21.11.2023711.73 Кб06074.pdf
#
21.11.2023711.98 Кб06075.pdf
#
21.11.2023711.99 Кб06076.pdf