5541
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. В. Бесклубная, Т.А. Пушкова П. В. Столбов
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебно-методическое пособие для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки
43.03.01 Сервис, профиль Сервис недвижимости
Нижний Новгород
2018
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. В. Бесклубная, Т.А. Пушкова, П. В. Столбов
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Учебно-методическое пособие для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки
43.03.01 Сервис, профиль Сервис недвижимости
Нижний Новгород ННГАСУ
2018
1
УДК 517.9
Бесклубная А. В. / Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Пределы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной [Электронный ресурс]: учеб. - метод. пос. / А. В. Бесклубная, Т. А. Пушкова, П. В. Столбов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т
–Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 78 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)
Вданном пособии даются тематика лекций, их краткое содержание, приведены основные определения и понятия, а также методические рекомендации по самостоятельной работе обучающихся по дисциплине «Математика». Рассматривается достаточное количество разобранных примеров, сопровожденных подробным решением и рисунками. Указывается необходимая литература, предложены варианты заданий.
Учебно-методическое пособие для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 43.03.01 Сервис, профиль Сервис недвижимости.
© А.В. Бесклубная, Т.А. Пушкова, П.В.Столбов, 2018 © ННГАСУ, 2018
2
§ 1. Линейная алгебра Матрицы и действия над ними
Матрицей порядка m × n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки и обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Пример.
1. |
|
1 |
|
2 |
3 |
– матрица порядка 2 × 3. |
A = |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
6 |
|
||
2. |
B = (1 |
|
2 |
3) – |
матрица – строка порядка 1× 3. |
|
3. |
|
1 |
|
– |
матрица – строка порядка 2 ×1. |
|
C = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется
квадратной.
1 |
2 |
|
– |
квадратная матрица порядка 2 × 2. |
Пример. D = |
|
|
||
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.
Пример. |
1 |
2 |
3 |
|
A = |
|
|
. |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
4 |
|
a2 3 = 6 – элемент матрицы A , находящийся во второй строке и в третьем
столбце.
Заметим, что матрицу A порядка m × n можно записать так:
A = (ai j ), i = 1, m; j =1, n .
3
Две матрицы |
|
порядка |
m × n считаются |
равными, если |
все |
|||||
соответствующие элементы этих матриц равны. То есть |
A = B , если ar s |
= br s |
для |
|||||||
любых возможных r |
|
и s . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Пример. A = |
|
|
|
|
|
|
равны, так как a11 |
= b11 |
= 1, |
|
|
2 |
, |
B = 2 |
. Матрицы A |
и B |
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a21 = b21 = 2, a31 = b31 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведением матрицы |
A порядка |
m × n на действительное число λ |
||||||||||||
называется матрица B того же порядка m × n , каждый элемент bi |
j , i = |
|
|
|
j = |
|
|
|||||||
1, m |
, |
1, n |
||||||||||||
которой получен умножением соответствующего элемента bi j , |
i = |
|
|
j = |
|
|
||||||||
1, m |
, |
1, n |
||||||||||||
исходной матрицы A на число λ и обозначается: B = λ × A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример. Найти B = 2 A, если |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. B = |
1 |
2 |
2 ×1 |
2 × 2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2A = 2 |
|
= |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 ×3 |
2 × 4 |
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: B = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммой двух матриц A = (ai j |
) и B = (bi j ) одного порядка m × n называется |
|||||||||||||||||
|
каждый элемент ci j , |
i = |
|
, j = |
|
которой |
||||||||||||
матрица C того же порядка m × n , |
1, m |
1, n |
||||||||||||||||
|
|
|
ai j и |
bi |
j , i = |
|
, j = |
|
и |
|||||||||
получен сложением |
соответствующих |
элементов |
1, m |
1, n |
||||||||||||||
обозначается C = A + B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти C = A + B , если |
1 |
2 |
и |
|
4 |
|
3 |
|||||||||||
A = |
|
B = |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
|
1 |
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
4 |
3 |
1 + 4 |
2 + 3 |
5 |
5 |
|||||||||||
C = A + B = |
|
+ |
|
= |
|
|
= |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 4 |
2 |
1 |
3 + 2 4 + |
1 |
5 |
5 |
|||||||||||
4
5 |
5 |
|
Ответ: C = |
|
. |
|
5 |
|
5 |
|
Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка можно определить через сумму и умножение на число (-1), то есть A - B = A + (-1)× B .
1 |
2 |
4 |
3 |
Пример. Найти A − B , если A = |
|
и B = |
. |
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
1 |
Решение. |
1 |
2 |
4 |
3 |
= |
A - B = A + (-1)× B = |
|
+ (-1)× |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
-1× 4 |
-1×3 |
1 |
2 |
- 4 |
- 3 |
= |
||
= |
|
+ |
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
-1× 2 |
|
|
|
|
- 2 |
|
|
3 |
4 |
|
-1×1 |
4 |
3 |
|
-1 |
|
||
1 + (- 4) |
2 + (- 3) |
- 3 |
-1 |
||
= |
|
|
|
= |
. |
|
+ (- 2) |
|
|
|
|
3 |
4 + (-1) |
1 |
3 |
||
- 3 |
-1 |
|
|
||
Ответ: A - B = |
|
|
. |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Произведением матрицы |
A порядка m × n на матрицу B порядка n × p |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ci j , i = |
|
|
j = |
|
|
|||
называется матрица |
C порядка |
m × p , |
каждый |
элемент |
1, m |
, |
1, p |
|||||||||
которой получен как произведение элементов |
|
i -ой строки матрицы |
A на |
|||||||||||||
соответствующие |
элементы |
j -го |
столбца |
|
|
матрицы |
B , то |
есть |
||||||||
ci j = ai1 ×b1 j + ai 2 ×b2 j +…+ ai n ×bn1 j , i = |
|
|
|
|
и обозначается: C = A × B . |
|||||||||||
1, m |
, |
j = 1, p |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
и |
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|||
Пример. Найти C = A × B , если A = |
|
B = |
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
7 |
|
|
|
|
||||
Решение.
c11 = a11 ×b11 + a12 ×b21 = 1×5 + 2 × 7 = 5 +14 = 19 c12 = a11 ×b12 + a12 ×b22 = 1× 6 + 2 ×8 = 6 +16 = 22 c21 = a21 ×b11 + a22 ×b21 = 3 ×5 + 4 × 7 = 15 + 28 = 43
5
c22 = a21 ×b12 + a22 ×b22 = 3 × 6 + 4 ×8 = 18 + 32 = 50 .
c |
c |
|
19 |
22 |
|
Следовательно, C = A × B = 11 |
12 |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
50 |
|
c21 |
c22 |
43 |
|
||
19 |
22 |
|
Ответ: C = |
|
. |
|
50 |
|
43 |
|
Следует обратить внимание на тот факт, что:
1) произведение A × B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя – на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;
2)число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в противном случае произведение матриц A и B не определено;
3)порядок матрицы-произведения определяется порядком сомножи-телей, то
есть Am×n × Bn× p = Cm× p . |
Следовательно, если A × B = A × C , то нельзя считать, |
что |
||||
B = C . |
|
|
|
|
|
|
Транспонированной матрицей (обозначаемой как |
AT ) любой матрицы |
A |
||||
порядка m × n называется матрица |
AT |
порядка |
n × m , |
которая получается |
из |
|
матрицы A взаимной заменой строк на столбцы. |
|
|
|
|||
Пример. Найти AT |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
, если A = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
Решение. Элементы первой строки матрицы |
A запишем в первый столбец |
|||||
матрицы AT , а элементы второй строки матрицы A – во второй столбец матрицы |
||||||
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AT , получаем: AT = 2 |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
6
Определители
Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число
D = |
a11 |
a12 |
и вычисляется по формуле: D = a11 × a22 - a12 × a21 . |
|||||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить |
|
1 |
2 |
|
. |
||
|
|
|
||||||
|
|
- 3 |
4 |
|
||||
Решение. 1 2 = 1× 4 - 2 × (- 3) = 4 + 6 = 10. - 3 4
Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число
a11 a12 a13
D = a21 a22 a23 и вычисляется по формуле:
a31 a32 a33
D= a11 × a22 × a33 + a21 × a32 × a13 + a12 × a23 × a31 -
-a13 ×a22 ×a31 -a21 ×a12 ×a33 -a32 ×a23 ×a11.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример. Вычислить |
|
-1 |
2 |
- 3 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
- 4 |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
- 2 |
3 |
|
= 1× 2(× -4) + (-1)× 4 ×3 + (- 2)× (- 3)× 0 - 3 × 2 × 0 - |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
-1 |
2 |
- 3 |
|
|||||||
|
|
0 |
4 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- (-1)× (- 2)×(- 4)- 4 ×(- 3)×1 = -8 -12 + 0 - 0 + 8 +12 = 0 .
Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по определенному правилу.
7
Системы линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида:
a11 × x1 + a12 × x2 |
+ a13 × x3 = b1 |
|
a21 × x1 + a22 × x2 |
+ a23 × x3 = b2 |
(1.1) |
a31 × x1 + a32 × x2 + a33 × x3 = b3 , |
|
|
где ai j Ζ, bi Ζ , i, j = |
|
. |
|
|
|
|
|
1,3 |
|
|
|
||||
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1): |
|||||||
|
|
D = |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
, |
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
тогда если D ¹ 0 , то система (1.1) имеет единственное решение (x10 ; x20 ; x30 ), которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим вспомогательные
определители x , |
x |
, |
x |
системы (1.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Dx |
= |
|
b1 |
a12 |
|
a13 |
|
, Dx |
= |
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
, Dx |
= |
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
b2 |
a22 |
|
a23 |
|
|
a21 |
b2 |
a23 |
|
|
a21 |
a22 |
b2 |
|
. |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b3 |
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
|
Далее, по формулам Крамера, находим:
x10 = |
x1 |
, x20 = |
x2 |
, x30 = |
x3 |
. |
D |
D |
|
||||
|
|
|
D |
|||
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
x - x |
2 |
+ x = 2 |
|
1 |
|
3 |
|
Пример. Решить по правилу Крамера систему 2x1 - x3 |
= -1 . |
||
|
|
|
= 5 |
3x1 + x2 |
|||
Решение. Составим и вычислим главный определитель |
|
данной системы: |
|
8
1 -1 1
D = 2 0 -1 = 1×0×0 + 2 ×1×1+ (-1)×(-1)×3 -1×0×3-
3 1 0
- 2×(-1)×0 -1×(-1)×1 = 0 + 2 +3 -0 + 0 + 0 +1 = 6.
Так как D = 6 ¹ 0 , то данная система имеет единственное решение. Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:
|
|
|
2 |
-1 |
1 |
|
= 2 × 0 ×0 + (-1)×1×1 + (-1)× (-1)×5 -1× 0 ×5 - |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
Dx |
= |
|
-1 0 -1 |
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
0 |
|
|
||||||||
|
- (-1)×(-1)× 0 -1×(-1)× 2 = 0 -1 + 5 - 0 - 0 + 2 = 6 ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
=1× (-1)× 0 + 2 ×5 ×1 + 2 ×(-1)×3 -1×(-1)×3 - |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Dx2 = |
|
|
2 -1 -1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
- 2 × 2 × 0 - 5 ×(-1)×1 = -0 +10 - 6 + 3 - 0 + 5 = 12; |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
-1 |
2 |
|
|
= 1× 0 ×5 + 2 ×1× 2 + (-1)× (-1)×3 - 2 × 0 ×3 - |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Dx |
= |
|
2 0 -1 |
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1×(-1)×1 - 2 × (-1)×5 = 0 + 4 + 3 - 0 +1 +10 = 18 .
Далее, по формулам Крамера, находим:
x10 = |
x1 |
= |
6 |
= 1, x20 = |
x2 |
= |
12 |
= 2 , x30 = |
x3 |
= |
18 |
= 3. |
|
D |
|
D |
|
D |
|
||||||||
|
6 |
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|||||
Делаем проверку найденного решения |
(1; 2;3): |
|
|
|
|
||||||||
1 - 2 + 3 = 2 - верно,2 ×1 - 3 = -1 - верно,3 ×1 + 2 = 5 - верно.
Ответ: (1; 2;3).
9