Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5463

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

610.99 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

x y

;

f yy

( f y ) y

x) y

x y

( x y 1) .

f yx ( f y )x

x)x e



f xy

f yx .

x y

x2 y

u x4 y3 z2 .

. 1)

4 x3 y3 z2 ;

3 x4 y2 z2 ;

2 x4 y3 z .

(4 x3 y3 z2 ) 12 x2 y3 z2 ;

12 x3 y2 z2 .

x y

y x

3 2

24 x y z ;

x y z

z x y

x y

2 2 2

36 x y z .



y x

z ex y .

2 z

2 z .

x y

y ;

x y

x ;

2 z

x y

x y e

x y

x y ex y x y ex y 2ex y x y 2ex y 2ex y 2 z .

z ex y



§4.

,	y f ( x)
	x0
	.
	, .
	.

z f ( x, y)

M ( x; y) ,

z A x B y x y ,

A , B –

, ( x, y ) , ( x, y ) –

x 0,

y 0 .

(

z f ( x, y)

M ( x; y) ,

A ,

B .

, . .

x2 y2

(0; 0),

, . .

2 x

x2 y2

2 y

x2 y2

.	y 0 ,	z	x2			x

x 0.

		3	y	3
	x				,		x2 y2 0 ;
			y2
2. z x2
			0,		x	2	y	2	0.

O (0; 0)

. . z ( x, 0)

( z ( x, 0))

(0; 0)

x 0

z (0, y ) y ,

( z (0, y ))

(0; 0)

y 0

–,



	,
x 0;	. . z ( x, 0) x
x 0,
x	( x 0) ,

	O (0; 0).
,														O (0; 0).
			,
	z f ( x x, y y ) f ( x, y )
	( x x)	3	( y y)	3	x	3	y	3		x	3	y	3
		3		3		3		3			3		3
														0
		2		2		2		2			2		2
	( x x)	2	( y y)	2	x	2	y	2	x 0	x	2	y	2
	( x x)		( y y)		x		y		x 0	x		y
									y 0

z	z		x	z	y ( x, y ) ( x, y ) .
	x	(0; 0)		y
					( 0 ; 0 )

x3 y3 1 x 1 y ( x, y ) ( x, y )

x2 y2

x3 y3		x y	x3 y3 x3 y3 x y2 x2 y
x2	y2		x2	y2

x y2 x2 y ( x, y ) ( x, y ),

x2 y2

. .	lim	x y2 x2		y			0.

		( x2 y2 )	x	2	y2
	x 0	( x2 y2 )	x	2	y2
	y 0
		,				.		x ,	y

,y k x (k 0) ,

	x k 2 x2 x2 k x									k 2 k
lim		2		2		2		3 2							.
lim	( x	2	k	2	x	2	)	3 2		(1	k	2	)	3 2	.
x 0	( x		k		x		)			(1	k		)
y 0
		.							,	,					k ,
		.								,
	O (0; 0).				
2 (														).
z f ( x, y)
M ( x; y)
M ( x; y) ,														.
								(						!), . .
					,			.						,
								.

§5.
z f ( x, y)				M ( x; y) , . .
	z		z	:
z	z	x	z	y x y ,
	x		y

( x, y ) ,	( x, y ) –		x 0,
y 0 .
	dz	z f ( x, y)	M ( x; y)
		,	x

y :

dz xz x yz y .

,z y

d x z z

M B

(x; y)

x	(x x; y y)

x y

z x , dz d x 1 x 0 y x . dz dy .

			:
dz	z	d x	z	dy .
dz	x	d x	y	dy .
	x		y
d x ,		d y z	z	dy
			y
		z f ( x, y)			M ( x; y) ,
				x y	.
				z	:
				z
				AM1	dz
	z f ( x, y) ,				dz
y					AB
	z f ( x, y)				,
					x y

. 6

y (

. 6).

M 0;1; 2 .

u ex2 y 2 z 2 .

M 0;1; 2 :

0 ,

2 y

2e5 ,

2 z

4e5 .

dy u

d x

d z 2e5 d y 4e5 d z .



§6.

z f ( x, y) ,

M ( x; y) :

y x y ,

( x, y ) ,

( x, y ) –

x 0,

y 0 .

M ( x; y) , “

”

M .

z d z .

f( x x, y y ) f ( x, y ) d z M ,

z .

f ( x x, y y ) f ( x, y )

M f x

M x f y

M y ,

z f ( x, y)

M ( x; y) .

f ( x, y ) 3 x2 9y2 9 x y

M 0 ( x0 ; y0 )

M ( x0 x; y0 y) ,

x0 9, y0 3, x0

x 9,09 ,

y0 y 2,94 .

z f (M ) f (M 0 ) d z

M 0 ,

M 0 ( x0 ; y0 ) :

(6 x 9y)

M 0

6 9 9 3 27 ,

M 0

(18y 9 x)

M 0

18 3 9 9 27 .

M 0

x 0,09 , y 0,06,

z 27 0,09 27 ( 0,06) 4,05 .



)3,02 .

0,97

) y ,

z (2

)3,02

x 0,97 ,

y 3,02 ,

0,97

“

”,

M 0 ( x0 ; y0 ) ,

x0 1,

y0 3,

x0 x 0,97 , y0 y 3,02

x 0,03,

y 0,02.

M 0 ( x0 ; y0 ) :

		z							1					3

				y (2		x ) y	1								,
		x					1							2


			M 0						2	x	M 0
			M 0						2	x	M 0
		z
		z			(2	x )y	ln (2 x )						0 .
		y			(2	x )y	ln (2 x )					M 0	0 .
		y		M 0			3					M 0
				M 0

, (2	0,97 )3,02 (2				1)3			( 0,03) 0 0,02							1,045.	
, (2	0,97 )3,02 (2				1)3		2	( 0,03) 0 0,02							1,045.	
							2

f ( x, y ) y x

(1;1) ,

f (1,01;1,05) .

f ( x, y )

(1;1) ,

( x; y) ,

(1;1) ,

f ( x, y ) f

(1,1)

(1;1) (x 1) f y

(1;1)

( y 1) ,

x x 1, y y 1.

f (1,1) 1,

f x

(1;1) y x ln y

(1;1) 0 ,

f y

(1;1) x y x 1

(1;1) 1,

( x; y) ,

(1;1) :

f ( x, y ) 1 (y 1) y .

, x y y .

, f (1,01;1,05) 1,051,01 1,05.



§7.

y y (t) ,

t .

, x x(t) z

z f ( x, y) ,

t ,

. . x x(t) ,

z f ( x(t), y (t))

–

y –

z f ( x, y) –

M ( x; y)

, y y (t) –

t .

f ( x(t), y (t))

t :

d z

d x

dy .

d z

z log4 (x2 5 xy) ,

x 7t ,

y sin 3t .

d x

(2 x 5y) ,

( 5 x) ,

(x2 5 xy) ln 4

(x2

5 xy) ln 4

d x

7t ln 7 ,

dy 3cos 3 t .

d z

2 x 5y

5 x

7t ln 7

3cos 3t

(x2 5 xy) ln 4

(2 x 5y) (x

	7t ln 7 15 xcos 3 t			(2 7t	5sin 3 t) 7t ln 7 15 7t cos 3 t
2	5 xy) ln 4			(72t 5 7t sin 3 t) ln 4

		(2 7t	5sin 3t) ln 7		15cos 3 t	.	
		(7t 5sin 3t) ln 4

d z d x

d z ( d x

z f ( x, y) ,

x ,

. . y y (x) .

z f ( x, y (x))

d z

x ,

d x

x :

z d x

dy .

x d x

d x

y d x

z ).

d z

y cos x .

x 3

y ,

d x

z	1	3x2	3		,
				y
x	y

z x3y

1			1		dy
		x		,		sin x .
	2	x		,		sin x .
y	2		3 3 y2		d x
y			3 3 y2		d x

		d z			3 x	2
						3
		d x			y	3
		d x			y
	3 x2
	3 x2			3		cos x
	cos x			3		cos x
	cos x
II.
x			y

				3					x
y		x							x		sin x

					2			3 3 y		2
					2					2
		y
			x	2						1
			x							1				xsin x .
					2	x								xsin x .
					2		3 3			cos		2
	cos						3 3			cos			x

z f ( x, y) ,



u v , . .

x x( u,v) ,

y y ( u ,v) ,

z f ( x( u ,v), y ( u ,v))

y –

v .

–

z f ( x, y) –

M ( x; y)

x x( u,v) , y y ( u ,v) –

( u;v) .

z f ( x( u ,v), y ( u ,v))

( u;v)

y .

sin ( xy) ,

x u , y euv .

2 x y cos ( xy) ,

xcos ( xy) ,

veuv ,

u euv .

2 x

y cos ( xy)

xcos ( xy) veuv

euv cos

u euv

veuv ,

cos

2uv

2 x

y cos ( xy)

xcos ( xy)

u euv

euv cos u e

u cos u e

u euv .



2uv

§8.

y f ( x)

F( x, y) 0,

y .

y ,

F( x, y) 0

d x

(

0 ),

d x

sin (xy)

d x

sin (xy)

x .

F( x, y) sin (xy)

Fx ,

Fy :

Fx y cos ( xy)

Fy x cos ( xy)

2 x

y cos ( xy)

y (1 y3 cos ( xy))



d x

x cos ( xy)

2 x

x cos ( xy)

2 x

x (y3 cos ( xy) 2)

II.

z f ( x, y)

F( x, y, z ) 0 ,

z .

F( x, y, z ) 0

y .

y ,

z .

z 3

z ,

F( x, y, z ) 0

(

Fz 0 ),

2.	z	z ,	e z x3 y z 5 0 .
	x	y
.		e z x3 y z 5 0			z
x	y .	F( x, y, z ) e z x3 y z 5.			Fx , Fy
	Fx 3 x2 y ,		Fy x3 ,	Fz e z 1.
,


z	3 x2 y			3x2 y		,
x	e z	1	1		e z

§9.

		z f ( x, y)
M 0 ( x0 ; y0 )	cos ; cos ,
l	cos ; cos ,		cos ,
l ,		.
		2

z	x3			x3	.
y	e z	1	1	e z

cos –

z f ( x, y)	M 0 ( x0 ; y0 )	l
		.

Fz :



	M 0 ( x0 ; y0 )					l
M ( x0 x; y0 y)			z f ( x, y)
l z f ( x0 x; y0 y) f ( x0 , y0 ) ,
z f ( x, y)	M 0 ( x0 ; y0 )
l .			l			M 0M ,
			l			M 0M ,

	l	( x)2 ( y)2		,		M 0M
			l ,		l	( x)2 ( y)2	,
			M 0M
. 7	l (		. 7).
. 7
z					z f ( x, y)
l					z f ( x, y)
l
M 0 ( x0 ; y0 )	M 0		l
	M 0
l	l		, . .

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023610.72 Кб05459.pdf
#
21.11.2023129.47 Кб0546.pdf
#
21.11.2023610.83 Кб05460.pdf
#
21.11.2023610.86 Кб05461.pdf
#
21.11.2023610.96 Кб05462.pdf
#
21.11.2023610.99 Кб05463.pdf
#
21.11.2023611 Кб05464.pdf
#
21.11.2023611.07 Кб05465.pdf
#
21.11.2023611.27 Кб05466.pdf
#
21.11.2023611.32 Кб05467.pdf
#
21.11.2023611.5 Кб05468.pdf