Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5153

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

562.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Участок CE – отрезок вертикальной прямой x = 2 при -	3	£ y £	1

2		2

(см. рис. 13). При x = 2 функция z(y) = 2 y 2 + 6 y является функцией одного

переменного y . Находим производную z¢ = (2 y 2 + 6 y)′ = 4 y + 6 .

Приравнивая ее к нулю: 4 y + 6 = 0 , находим точку y = - 3 , совпадающую

																									2
с	левым		концом отрезка						-		3	;	1	(см.					рис.			16).			Значение			функции
с	левым		концом отрезка						-			;		(см.					рис.			16).			Значение			функции
											2 2
z(y) = 2 y 2			+ 6 y		при y = -			3	равно: z					-	3			= 2 ×				-	3	2	+ 6 × -	3	= -4,5 , а
z(y) = 2 y 2			+ 6 y		при y = -				равно: z					-				= 2 ×				-		2	+ 6 × -		= -4,5 , а
							2								2								2			2
значение z(x)					на правом конце отрезка -												3		;	1	, то есть при					y =		1	равно:
																	2 2										2
	1		1 2			1
z		= 2 ×		+ 6 ×			= 3,5.
z		= 2 ×	2	+ 6 ×		2	= 3,5.
	2		2			2
		Следовательно, на отрезке CE наименьшее значение равно − 4,5 , а
наибольшее 3,5 ,						то есть zнаим.				= −4,5 ,				zнаиб.				= 3,5 .
		г)																	В плоскости y = −								3
		г)																	В плоскости y = −								2
																											2
										z
														A								E
										0

																1						2			x
																									x
									−	3
										3

										4

− 4,5

Рис. 17

Участок AE –

отрезок горизонтальной прямой y = −

при 1 ≤ x ≤ 2

(см. рис.

13). При

y = -

функция

z(x) = -

3x 2

является функцией

одного

переменного

x .

Находим

производную

3x ′

z¢ =

= -3x +

. Приравнивая ее к нулю: - 3x +

= 0 находим

точку x = 1 , которая не принадлежит отрезку [1; 2] (см. рис. 17). Значения

функции z(x) на концах отрезка [1; 2] равны:

z(1) = -	3 ×12				+		3 ×1		= -		3	+	3		= -		3	;
											2		4				4
2					4
z(2) = -		3 × 22				+		3 × 2		= -6 +				3		= -4,5 .

2					4								2
Следовательно, наименьшее значение z на отрезке AE равно − 4,5 , а
наибольшее -			3	,		то есть zнаим.							= −4,5 , zнаиб.						= -	3	.

4																			4

3)Сравнивая полученные результаты в пунктах а), б), в), г),

имеем: z		= z (2;	1	) = 3,5	z
	наиб					наим
		2

							y
−	3	−1
−
2						A
2

			3		3		E
			3		3
		1;−		;−		(1;−1;−1)
		1;−	2	;−		(1;−1;−1)
			2		4

	3
2;−		;−4,5
2;−	2	;−4,5
	2

= z (2;− 3 ) = −4,5 . 2

(1,1, 3)	1
	2;	;3,5

	2

Рис. 18

Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину P = AB + BC + CD (см. рис. 19) границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [4], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят,

что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные канавы с сечением формы равнобочной трапеции ( АВ=CD,

см. рис. 19).

A F E D

B C

Рис.19

Пример. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль канала трапецеидальной формы.

Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной

площади S с наименьшим периметром P . Пусть AB = CD ,									CE ^ AD ,
BF AD , CE = h , ÐEDC = α . Тогда
			P = AB + BC + CD = 2 AB + BC						(1)
		S =	1	(AD + BC )× CE =			1	(AD + BC )× CE	(2)

2					2
CED – прямоугольный,
sin Ð EDC =	CE	или sinα =			h	, откуда

	CD				CD

CD = AB =

(3)

sinα

Подставив (3) в (1), получаем:

P =

2 h

+ BC .

(4)

sinα

Так как AD = AF + FE + ED , а FE = BC ,

AF = ED , находим:

AD = 2ED + BC .

(5)

Из

EDC :

tg α =

или tg α =

, откуда ED =

. Подставив

tg α

последнее равенство в (5),

находим

AD =

+ BC . Тогда равенство (2)

tg α

запишется:

S =

+ 2BC × h ,

откуда

BC =

Подставив

tg α

2 tg α

последнее равенство в (3), находим

	P(h,α ) =	2h	+	S	-	h	=	S	-	2 − cos α	× h .
		sin α				tg α		h		sin α
				h
	Таким образом, требуется найти						такую точку (h0 ,α 0 ) из области
D = (h,α )/ 0 < α < π , h > 0 ,				в		которой			функция		P(h,α )принимает
	2

наименьшее значение.

Найдя частные производные функции P(h,α ) и приравняв их к нулю,

получим систему уравнений:

P¢

= -

2 - cos α

= 0

sin α

2 cos α -1

P¢

= 0

sin

Откуда cosα =

или α0 = π = 60 , тогда

													S ×	3		×
														3			3
					S × sin 60 × tg 60																		S .
		h0	=		S × sin 60 × tg 60						=			2					=				S .
					2 tg 60 - sin 60
															-		3				4 3
													2	3			3				4 3
													2	3			2
																	2
	В рассматриваемой области D функция P(h,α )																			имеет единственную
								π
							S
																													2
																										4	48S		2

критическую точку				4		;		3	, значение функции в ней равно P=																					.
						3		3
	Исследуем функцию P(h,α )									на границе области D :
	1)	α = π ,	h > 0 .					Имеем		P(h,α ) = 2h +								S							Ph′ = 2 −			S
	1)	α = π ,	h > 0 .					Имеем		P(h,α ) = 2h +								h							Ph′ = 2 −			h2
		2																h										h2
							; π
	S
				S


h =		. Тогда P						= 2 2S >			4 48S 2			= P(h ;α								) .
h =		. Тогда P						= 2 2S >			4 48S 2			= P(h ;α							0	) .
	2			2		2											0				0
	2			2		2
	2)	При приближении точки										(h,α )			к прямым									h = 0 и α = 0 , а

также при удалении в бесконечность по h функция P(h,α )

неограниченно возрастает. Поэтому точку (h0 ,α 0 ) можно окружить таким

прямоугольником D1 = {(h,α ) /

а ≤ α ≤ π , с ≤ h ≤ d} , что вне его и на

его границе P(h;α ) > P(h0 ,α 0 ).

Отсюда следует,

что P(h0 ,α 0 ) – наименьшее значение функции

P(h,α ) в области D1 , и оно

же

будет наименьшим значением

этой

функции в области D .

Итак,

функция

P(h,α )

имеет наименьшее значение при

α =π,

h =

Таким

образом

в трапеции

ABCD : AB = BC = CD =

ÐАВС = 120 .

F (x)

cos x .

§ 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Основные понятия

Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.

Основной задачей интегрального исчисления является обратная

задача –	отыскание функции по ее		производной	или заданному	ее
дифференциалу.
Функция F (x) называется первообразной для функции f (x), если
функции F (x) и		f (x) связаны следующим соотношением:
		′
		F (x) = f (x).
Пример.		Функция F (x) = sin x	вяляется	первообразной	для
функции	f (x) = cos x , так как (sin x)′ = cos x .

Если для данной функции f (x) существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:

F (x) = sin x + 1, F (x) = sin x − 2

или в общем виде

F (x) = sin x + C ,

где C – произвольная постоянная, так как при любом значении C

(sin x + C )′ = (sin x)′ + (C )′ = cos+ 0 = cos x .

В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin x + C все возможные первообразные для cos x или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для

Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если есть какая-либо из первообразных для данной функции f (x), то самое общее выражение для первообразной имеет вид:

F (x) + C ,

где C – есть первообразная постоянная.

Доказательство. Пусть F1 (x) есть любая функция, имеющая своей

производной F1′(x) = f (x).

С другой стороны, рассматриваемая функция F (x) также имеет

f (x) своей производной, то есть F ′(x) = f (x).

Вычитая это равенство из предыдущего, имеем:

F1′(x) − F ′(x) = (F1 (x) − F (x))′ = f (x)− f (x) ≡ 0

и, следовательно,

F1 (x)− F (x) ≡ C ,

где C есть постоянная, что и требовалось доказать.

Действительно, если производная некоторой дифференцируемой функции ϕ′(x) ≡ 0 , то сама функция ϕ(x) может быть только постоянной.

Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Если функция F (x) является первообразной для f (x), то семейство всех ее первообразных функций F (x) + C называется неопределенным

интегралом от функции		f (x) и обозначается как ∫ f (x)dx .
Таким образом, по определению
		∫ f (x)dx = F (x) + C ,
если
		′
		F (x) = f (x).
При	этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией,
f (x)dx –	подынтегральным выражением, переменную x –		переменной
интегрирования, а знак		∫ – знаком интеграла. Действие,	с помощью

которого

по

данной

функции f (x) находим

ее

первообразную F (x),

называется интегрированием функции

f (x).

Пример. Найти неопределенный интеграл от функции

f (x) = x .

Решение. Первообразной от x

будет функция

F (x) =

, так как

′

= x .

таком

случае ∫ x dx =

+ C ,

где

–

произвольная

постоянная.

2. Таблица основных интегралов

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В интегральном исчислении нет универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Степенные функции:

∫ xn dx =

xn+1

+ C (n ¹ -1);

n +1

∫ x

dx = ln

+ C , т.к.

, x > 0

(ln x + C ) , x > 0

(ln

+ C ) =

= 1

(ln(- x)+ C ) , x < 0

- x

× (-1) =

, x > 0

Показательные функции:

∫ ex dx = ex + C ;

∫ a x dx =	a x	+ C (a > 0, a ¹ 1).
	ln a

Тригонометрические функции:

∫sin x dx = − cos x + C ;

∫cos x dx = sin x + C ;

∫tgx dx = − ln cos x + C ;

∫ctgx dx = − ln sin x + C ;

∫ 1 dx = tgx + C ; cos2 x

∫ 1 dx = −ctgx + C . sin 2 x

Дробные рациональные функции:

∫

dx = arctgx + C ;

1 + x2

arctg

+ C (a > 0);

∫ a2 + x2 dx

x − a

∫

dx =

+ C .

x2 − a2

x + a

Иррациональные функции:

∫

dx = arcsin x + C ;

− x2

∫

dx = arcsin

+ C ;

a2 − x2

∫

dx = ln

x + x2 + λ

+ C .

x2 + λ

3.Основные свойства неопределенного интеграла

1.Если f (x) ≡ g(x), то ∫ f (x)dx = ∫ g(x)dx + C ,

где C –	произвольная постоянная.
2.	(∫ f (x)dx)′ = f (x).	(1)

3.∫ F′(x)dx = F (x)+ C , где C – произвольная постоянная.

4. ∫ a f (x)dx = a∫ f (x)dx , a Î R , a ¹ 0 .

5.∫ ( f (x)± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .

Пример. Найти ∫ 3x -

x dx .

Решение.

∫

3x -

= ∫ 3xdx - ∫

dx + ∫

xdx =

x dx

1+1

x 2

= 3∫ x1dx - 2∫

dx + ∫ x

dx =3 ×

- 2 ln

+ C =

1 +1

= 3 x2 - 2 ln x + 2 x x + C.

4. Простейшие способы интегрирования. Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных преобразований подынтегральных функций, а также воспользовавшись основными свойствами неопределенного интеграла. Поясним сказанное примерами.

Пример. Найти ∫ (x - 3)2 dx .

Решение.

∫(x - 3)2 dx = ∫ (x2 - 6x + 9)dx = ∫ x2 dx - ∫ 6xdx + ∫ 9dx =

=x3 - 6∫ xdx + 9∫ dx = x3 - 6 x2 + 9x + C = x3 - 3x2 + 9x + C. 3 3 2 3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023561.96 Кб05149.pdf
#
21.11.2023126.19 Кб0515.pdf
#
21.11.2023562.03 Кб05150.pdf
#
21.11.2023562.04 Кб05151.pdf
#
21.11.2023562.33 Кб05152.pdf
#
21.11.2023562.54 Кб15153.pdf
#
21.11.2023562.59 Кб05154.pdf
#
21.11.2023562.86 Кб05155.pdf
#
21.11.2023562.89 Кб05156.pdf
#
21.11.2023562.9 Кб05157.pdf
#
21.11.2023562.95 Кб05158.pdf