5107
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» (ННГАСУ)
Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех специальностей
Часть 2
Нижний Новгород ННГАСУ
2013
УДК 517.9
Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех специальностей. Часть 2 [Текст]: метод. разраб. для студентов/ Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т; сост. П.В. Столбов, Т.А. Пушкова – Н.Новгород: ННГАСУ, 2013.- 63с.
Методические указания и контрольные задания по математике предназначены для студентов заочной формы обучения всех специальностей.
Составители: П.В. Столбов, Т.А. Пушкова.
© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2013
2
§ 1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия
Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции двух переменных, для которой можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.
Пусть задано множество D точек (x, y) плоскости Oxy .
Правило f , по которому каждой упорядоченной паре чисел (x, y)
множества D ставится в соответствие одно и только одно действительное число z называется функцией двух переменных, заданной на множестве D со значениями в множестве всех действительных чисел R и обозначается:
|
|
|
z = f (x, y), |
(x, y) D . |
|
|
Множество |
D = D( f ) |
называется областью определения функции. |
||||
Множество значений, принимаемых z |
в области определения, называется |
|||||
областью значений этой функции и обозначается E = E( f ). |
||||||
При |
этом |
x |
и y |
называются независимыми |
переменными |
|
(аргументами), а z – |
зависимой переменной (функцией). |
|
||||
Пример. Площадь S прямоугольника со сторонами, |
длины которых |
|||||
равны x и |
y является функцией двух переменных: S = x × y . Область |
|||||
определения D этой функции S есть множество {(x, y) x > 0, y > 0} (cм.
рис. 1).
y
D
0 |
x |
Рис. 1
3
Функцию z = f (x, y), где (x, y) D можно рассматривать как
функцию точки M (x, y) координатной плоскости Oxy . В частности,
областью определения D может быть вся плоскость R2 или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.
Пример. Найти область определения функции z = |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
9 |
− х2 |
− у2 |
|||||
Решение. Функция z существует для тех пар значений |
|
x и y , |
|||||
которые удовлетворяют неравенству 9 − х2 − у2 > 0 или х2 + у2 |
< 9 , то |
||||||
есть представляет собой круг, без границы, с центром в начале координат и радиусом R = 3 (см. рис. 2).
y
3
0 D 3 |
x |
Рис. 2
Графиком функции двух переменных z = f (x, y) называется
множество точек (x, y, f (x, y)) трехмерного пространства, представляющее
собой некоторую поверхность, если точка (x, y) из области определения D
(рис. 3), которая геометрически изображает данную функцию z .
4
Рис.3
Пример. Функция z = 
9 − x2 − y 2 имеет областью определения D
замкнутый круг x2 + y 2 ≤ 9 и изображается верхней полусферой с центром в точке O(0,0,0) и радиусом R = 3 (см. рис. 4).
z
3
|
|
-3 |
|
-3 |
0 |
3 |
y |
3
x
Рис. 4
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: таблицей, аналитически, графически. Будем пользоваться аналитическим способом: когда функция двух переменных задается с помощью формулы.
Как правило, изображение поверхности оказывается довольно трудной задачей. Поэтому для визуального представления функции используют линии уровня. Понятие линии уровня широко используется,
5
прежде всего, в геодезии, картографии, а также при описании различных физических полей (температура, давление и пр.).
Линией уровня функции двух переменных z = f (x, y) называется кривая, f (x, y) = C на плоскости Oxy в точках которой функция
сохраняет постоянное значение z = C .
Геометрически придание функции z постоянного значения C
означает пересечение поверхности z = f (x, y) |
с плоскостью |
z = C , |
|||||
параллельной координатной плоскости Oxy . |
|
|
|
||||
Пример. Построить линии уровня функции z = х2 + у2 − 2 у. |
|
||||||
Решение. Линии уровня данной функции – |
это семейство кривых на |
||||||
плоскости |
Oxy , задаваемое |
уравнением |
х2 |
+ у2 − 2 у = С |
или |
||
х2 + ( у − 1)2 |
= С + 1. Это уравнение определяет семейство окружностей с |
||||||
|
|
|
; точка (0,1) – это вырожденная |
||||
центром в точке (0,1) и радиусом |
|
С + 1 |
|||||
линия уровня, соответствующая |
|
минимальному |
значению функции |
||||
z = −1 (см. рис. 5). |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.
6
ε-окрестностью точки М0 (х0 , у0 ) Х называется круг, с центром
вточке М0 и радиусом ε .
Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности
точки (х0 , у0 ) , за исключением, может быть, самой этой точки. Число А
называется пределом функции z = f (x, y) |
при х → х0 и у → у0 (или в |
|
точке (х0 , у0 ) ), если для любой |
последовательности точек (x1 , y1 ), |
|
(x2 , y2 ) ,..., (xn , yn ),... сходящейся к |
точке |
(x0 , y0 ), соответствующая |
последовательность значений функции zn = f (xn ; yn ) сходится к числу A .
Обозначается предел так: lim f (x, y) = A.
x→ x0 y→ y0
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число ε > 0 , найдется δ - окрестность
точки (х0 , у0 ) , что во всех ее точках (х, у) , отличных от (х0 , у0 ) ,
аппликаты соответствующих точек поверхности |
z = f (x, y) отличаются |
|||||||||||||||||||||||||
от числа А по модулю меньше, чем на ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример. Найти предел lim |
ln(1− x2 − y 2 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 |
+ y 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α . |
Условие х → 0 , у → 0 |
||||||||||||||
Решение. Обозначим |
|
|
|
х2 |
+ у2 |
|||||||||||||||||||||
равносильно тому, что α → 0. Тогда данный предел запишется в виде |
||||||||||||||||||||||||||
|
ln(1- x2 - y2 ) |
|
|
|
|
ln(1-α 2 ) |
0 |
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
α →0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln(1-α 2 )' |
|
|
|
1 |
|
×(-2α ) |
|
|||||||||||||||
|
|
= lim |
|
|
= 0. |
|||||||||||||||||||||
|
= lim |
1-α 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
α →0 |
|
|
α ' |
|
|
α →0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7
Пример. Доказать, что lim |
2xy |
не существует. |
|
x2 + y 2 |
|||
x→0 |
|
||
y→0 |
|
|
Решение. Будем приближаться к точке Если y = k x , то
lim |
2xy |
= lim |
2x(k x) |
= lim |
x2 + y2 |
|
|||
x→0 |
x→0 x2 + (k x)2 |
x→0 |
||
y→0 |
|
|
|
|
(0,0) по прямым y = k x .
2 k x2 |
2k |
||
x2 (1 + k 2 ) |
= |
|
. |
1 + k 2 |
|||
Получили, что значение данного предела зависит от углового коэффициента к прямой y = k x . Но, так как предел функции не должен
зависеть от способа приближения точки к точке (например, по
прямой y = 2x или y = −3x ), то рассматриваемый предел не существует.
Полным приращением |
функции z = f (x, y) |
в |
точке (х0 , у0 ) |
||
называется выражение z = f (x, y) − f (x0 , y0 ) , |
где |
(x, y) - |
любая |
||
точка из области определения функции. |
|
|
|
||
Обозначим |
х = x − x0 , |
у = у − у0 , тогда |
|
|
|
|
z = f (x0 + х, y0 + у) − f (x0 , y0 ) . |
|
|
||
Функция |
z = f (x, y) |
называется непрерывной в |
точке |
||
М0 (х0 , у0 ) Х , если ее полное приращение в этой точке стремится к |
||
нулю при х → 0 и у → 0 , то есть lim z = 0 . |
|
|
|
x→0 |
|
|
y→0 |
|
3. Частные производные и дифференцируемость |
||
функции двух переменных |
|
|
Частным приращением функции z = f (x, y) |
в точке (х0 , у0 ) по |
|
переменной х называется выражение |
х z = f (x0 + |
х, y0 ) − f (x0 , y0 ) . |
Частным приращением функции z = f (x, y) |
в точке (х0 , у0 ) по |
|
переменной у называется выражение |
у z = f (x0 , y0 + у) − f (x0 , y0 ) . |
|
8
Частной производной от функции z = f (x, y) |
по переменной х |
||||||||
называется предел отношения частного приращения |
х z к приращению |
||||||||
х аргумента x при стремлении |
х к нулю. |
|
|
||||||
Обозначают частные производные одним из символов |
|||||||||
z' , |
∂z |
или |
|
∂ |
f (x, y) . |
|
|
||
¶x |
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
¶x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, по определению |
∂z = lim |
f (x + x, y) − f (x, y) |
. |
||||||
|
|||||||||
|
¶x |
x→0 |
|
|
Dx |
|
|
||
Аналогично определяется частная производная по переменной у: |
|||||||||
∂z = lim |
f (x, y + |
y) − f (x, y) |
. |
||||||
|
Dy |
||||||||
¶y |
y →0 |
|
|
|
|
||||
Из определения частных производных следует, что их нахождение сводится к обычному дифференцированию данной функции одной выделенной переменной при условии, что все остальные переменные считаются константами.
Пример. Найти частные производные функций:
а) z = x3 sin y + y 4 ,
б) z = x y .
Решение. а) z = x3 sin y + y 4 . Чтобы найти частную производную
по x , считаем y постоянной величиной. Таким образом, ∂z = 3х2 × sin y . |
||
|
|
¶x |
Аналогично, дифференцируем по y , считая x |
постоянной, находим |
|
|
∂z |
|
частную производную по y : |
¶y = х3 × cos y + 4 y 3 . |
|
б) z = x y . При фиксированном y имеем степенную функцию от x . |
||
Таким образом, ∂z = у × ху−1 . |
При фиксированном |
x функция является |
¶x |
|
|
показательной относительно y |
и ∂z = x y × ln x . |
|
|
¶y |
|
9
Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке
(х0 , у0 ) , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
|
|
|
Dz = А× Dx + В × Dy + α × Dx + β × Dy , |
|
|
(1) |
|||||
где A и B – |
некоторые числа; α и β |
- бесконечно малые при |
Dх ® 0 , |
||||||||
у → 0 функции z , то есть limα = 0 и lim β = 0 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
y→0 |
|
|
|
Теорема. Если |
функция z = f (x, y) дифференцируема в |
точке |
|||||||||
M (х0 , у0 ) , то есть имеет вид (1), то она непрерывна в этой точке и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
∂z |
имеет в ней частные производные по каждому аргументу |
¶x |
и ¶y , |
|||||||||
причем ¶z |
|
|
= А, ∂z |
|
|
= В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¶x |
|
M |
∂y |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В силу теоремы, равенство (1) можно записать в виде |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Dz = ∂z × Dx + |
∂z × Dy + α × Dx + β × Dy . |
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
¶x |
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
4. Дифференцирование сложных функций |
|
|
|
|||||
Пусть задана функция z = f (x, y) , где переменные x и |
y , |
в свою |
|||||||||
очередь, |
являются |
|
|
функциями |
независимой |
переменной |
|||||
t : x = x(t), y = y(t) |
Тогда функция |
z = f [x(t), y(t)] |
будет сложной |
||||||||
функцией независимой переменной t , а переменные x и y будут для нее
промежуточными переменными.
Теорема. Если функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в
точке t , а функция z = f (x, y) дифференцируема в точке M (x(t); y(t)),
то сложная функция z = f [x(t), y(t)] также дифференцируема в точке
t , причем
10