4422
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. Н. Супрун, Ю. А. Громов
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В НАУКЕ
Учебно-методическое пособие
по выполнению лабораторных работ для обучающихся по дисциплине «Вариационные принципы в науке»
по направлению подготовки 09.04.02 Информационные системы и технологии. Направленность (профиль):Технология разработки информационных систем
Нижний Новгород
2017
2
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. Н. Супрун, Ю. А. Громов
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В НАУКЕ
Учебно-методическое пособие
по выполнению лабораторных работ для обучающихся по дисциплине «Вариационные принципы в науке»
по направлению подготовки 09.04.02 Информационные системы и технологии. Направленность (профиль):Технология разработки информационных систем
Нижний Новгород ННГАСУ
2017
3
УДК 681.3 (075)
А. Н. Супрун, Ю. А. Громов / Вариационные принципы в науке[Электронный ресурс]: учеб. – метод. пос./А. Н. Супрун, Ю. А. Громов; Нижегор. гос. архитектур. – строит. ун-т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2017. - ___ с. 1 электрон.опт.диск (CD-R)
В методических указаниях представлены задания и пояснения к выполнению лабораторных работ, охватывающих основные разделы вариационного исчисленияв рамках курса «Вариационные принципы в науке».
А. Н. Супрун, Ю. А. ГромовННГАСУ. 2017.
4
Введение
Настоящие методические указания ориентированы на работу в сетях персональных ЭВМ под управлением операционной системы Windows с использованием языка программирования VisualBasicи офисных приложений.
В методических указаниях содержатся задания по основным темам курса «Вариационные принципы в науке», а также методические указания к их выполнению.
Задания по каждой лабораторной работе направлены на закрепление теоретического материала и приобретения навыков использования методов вариационного исчисления для практических целей.
5
Требования к выполнению работ
При подготовке к лабораторной работе студенту необходимо изучить соответствующие разделы лекционного курса. В ходе выполнения каждой лабораторной работы студент должен подготовить письменный отчет, включающий:
номер, тему и цель лабораторной работы;
перечень заданий работы;
входные и выходные данные для каждого задания;
блок-схему программы;
текст программы;
таблицу и графики с результатами вычислений;
общие выводы по результатам лабораторной работы.
6
Лабораторная работа №1 Тема: Простейшая задача вариационного исчисления
|
|
Задание: |
Найти |
экстремали |
функционалаJ[y(x)] |
= |
|
|
, , ′ ,удовлетворяющие заданным граничным условиям. |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Значения для конкретных вариантовпредставлены в таблице 1 заданий к лабораторной работе.
Порядок выполнения работы
1.Составить уравнение Эйлера.
2.Найти его общее решение.
3.Используя граничные условия, найти значения констант, входящих в формулу общего решения уравнения Эйлера.
Варианты заданий
Таблица 1
№ |
, , ′ |
a |
b |
Граничные условия |
||
|
|
|||||
y(a) |
y(b) |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(y’) 2 + x*y |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(y’) 2 + 4*y*cos |
0 |
π |
0 |
0 |
|
x – y 2 |
|
|
|
|
||
3 |
2*y – x 2 * (y’) 2 |
1 |
e |
e |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(y’) 2 + y*y’ + |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
12*xy |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
(e) y + x*y’ |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
(y’) 2 + y2 + xy |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
(y’) 2 + y2 + |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6y*sh 2x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
(y’)2+y2 + 2y*e 2 |
0 |
1 |
0 |
1/(2e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
(y’2 + 3y2 ) * e 2x |
0 |
Ln(2) |
0 |
15/8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
(y’) 2 + y 2- |
a |
b |
0 |
y1 |
|
4*y*sin x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
7
Лабораторная работа №2
Тема: Частные случаи задачи вариационного исчисления
|
|
Задание: |
Найти |
экстремали |
функционалаJ[y(x)] |
= |
|
|
, , ′ ,удовлетворяющие заданным граничным условиям. |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Значения для конкретных вариантов представлены в таблице 2 заданий к лабораторной работе.
Порядок выполнения работы
1.Составить уравнение Эйлера.
2.Найти его общее решение, учитывая следующие частные случаи: F не зависит от y’, F зависит только от y’,F не зависит от y, F не зависит от x.
3.Используя граничные условия, найти значения констант, входящих в формулу общего решения уравнения Эйлера.
Варианты заданий
Таблица 2
№ |
|
|
, , ′ |
a |
b |
|
Граничные условия |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y(a) |
|
y(b) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2e y – y 2 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
e |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
e y+x –y – sin x |
0 |
1 |
0 |
|
-1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
(y’) 2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
/y’ |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
1 + ′ 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
(y’) 2 + 2x |
0 |
3/2 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
(y’) 2 + xy’ |
-1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
|
|
x n(y’) 2 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
1 − |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8 |
|
|
y - (y’)2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
|
|
y*y’ |
0 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
2y -(y’) 2 + y 2 |
0 |
π/2 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Лабораторная работа № 3
Тема: Первое обобщение задачи вариационного исчисления
|
|
Задание: Найти экстремали функционала, зависящего от производных |
||||
высших |
порядков |
функции |
y(x):J[y(x)] |
= |
||
|
|
, , ′ , . . . , ′′ ′′ ,удовлетворяющие заданным граничным условиям. |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Значения для конкретных вариантов представлены в таблице 3 заданий к лабораторной работе.
Порядок выполнения работы
1.Составить уравнение Эйлера.
2.Найти его общее решение.
3.Используя граничные условия, найти значения констант, входящих в формулу общего решения уравнения Эйлера.
Варианты заданий
Таблица 3
№ |
|
, , ′ |
a |
b |
|
|
Граничные условия |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y(a) |
y(b) |
|
y’(a) |
y’(b) |
y’’(a) |
y’’(b) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y’’ |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
48y–(y’’) 2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(y’’) 2 - |
0 |
1 |
0 |
1/5 |
|
0 |
1 |
|
|
|
24xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
(y’’) 2 –y’2 |
0 |
π/2 |
0 |
π/2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
(y’’) 2+ y’2 |
0 |
π/2 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
e -x y n |
0 |
1 |
0 |
e |
|
1 |
2e |
|
|
7 |
|
(y’’’) 2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
4 |
0 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
(y’’’) 2 – |
0 |
1 |
0 |
sh 1 |
|
0 |
ch 1 |
0 |
sh 1 |
|
(y’’) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
(y’’’) 2 – |
0 |
π |
0 |
π |
|
0 |
2 |
0 |
0 |
|
(y’’) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
(y’’’) 2 – |
0 |
π |
0 |
sh π |
|
0 |
ch π +1 |
0 |
sh π |
|
(y’) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Лабораторная работа №4
Тема: Второе обобщение задачи вариационного исчисления
Задание: Найти экстремали |
функционала, зависящего от нескольких |
||||
функцийy1(x), …yn(x):J[y(x)] = |
|
, 1( ), |
, ( ) |
,удовлетворяющие |
|
|
|||||
|
|
|
|
||
заданным граничным условиям.
Значения для конкретных вариантов представлены в таблице 4 заданий к лабораторной работе.
Порядок выполнения работы
1.Составить систему уравнений Эйлера.
2.Найти ее общее решение.
3.Используя граничные условия, найти значения констант, входящих в формулу общего решения системы уравнений Эйлера.
Варианты заданий
Таблица 4
№ |
, , ′ |
a |
b |
Граничные условия |
||||
|
|
|
|
|||||
y1(a) |
y1(b) |
y2(a) |
y2(b) |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(y1’) 2 + (y2’) 2 +2y1*y2 |
0 |
π/2 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(y1’) 2 + (y2’) 2 -2y1*y2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
sh 1 |
-sh 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
y1’ *y2’ –y1*y2 |
0 |
π/2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
y1’ *y2’ + y1*y2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x(y1’) 2+ (y2’) 2 + x*y1*y2 |
1 |
3 |
1 |
Ln3 + 1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y1’) 2- |
0 |
π |
-1 |
1+π |
0 |
0 |
|
6 |
(y2’)2+2*y1’*y2’+2y1*cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
x+2(y2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
(y1’) 2 + (y2’) 2 + 2y1 |
0 |
1 |
0 |
3/2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
Лабораторная работа №5
Тема: Задачи с подвижными границами
Задание: Найти экстремали функционалаJ[y(x)] =
, , ′ ,удовлетворяющие заданным граничным условиям вида
Y(a)=φ1(a), y(b)= φ12(b).
Значения для конкретных вариантов представлены в таблице 5 заданий к лабораторной работе.
Порядок выполнения работы
1.Составить уравнение Эйлера.
2.Найти его общее решение.
3.Используя условиятрансверсальности, найти значения констант,
входящих в формулу общего решения уравнения Эйлера.
Варианты заданий
Таблица 5
№ |
, , ′ |
a |
b |
Граничные условия |
||
|
|
|||||
y(a) |
y(b) |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(y’) 2 |
0 |
x1 |
0 |
-x1-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(y’) 2 |
0 |
x1 |
0 |
2/(1-x1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Sqrt(1+(y’) 2) |
0 |
x1 |
0 |
1/(x12 ) |
|
4 |
Sqrt(1+(y’) 2) |
x0 |
x1 |
x02 |
x1-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
y-(y’) 2 |
0 |
1/2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
y+(y’) 2 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
-y2+(y’) 2 |
0 |
π/2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
y2+(y’) 2 |
0 |
x1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
(Sqrt(1+(y’) 2))/y |
0 |
x1 |
0 |
x1-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
-y2+(y’) 2+4y*cos x |
0 |
π/4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|