4158

∫cos(7x + 4)dx = ∫cos u ×

du

=

1

∫cosu du , т.е.

7

7

∫cosu du = sin u + C

Переходя к «старой» переменной 7x + 4 = u , запишем

∫cos(7x + 4)dx =

1

∫cosu du =

1

sin u + C =

1

sin (7x + 4) + C .

7

7

7

Пример 4.3. Найти ∫

dx

.

cos

2

4x

Обозначая 4x = t , находим, что 4dx = dt

или dx =

dt

. Искомый интеграл

4

∫

dx

= ∫

dt

=

1

∫

dt

cos

2

4x

4cos

2

4

cos

2

t

t

dx

=

1

tg 4x + C .

∫ cos2 4x

4

Решения примеров 4.2 и 4.3 демонстрирует, что правило (3) параграфа 3,

по существу, сводится к замене вида u = ax + b ;

∫f (u )du = ∫f (ax + b)d (ax + b) = a∫f (ax + b)dx ,

Откуда ∫f (ax + b)dx =

1

∫f (u )du .

a

от обеих

частей равенства sin x = t , получим cos xdx = dt Подынтегральное

выражение

sin3 x cos xdx после замены переменной интегрирования x на t

запишется

∫t3 × dt =

t4

+ C .

4

Выполняя обратную замену переменной по формуле t = sin x , получим

∫sin3 x cos x dx =

sin4 x

+ C .

4

Пример 4.5. Найти интеграл ∫

ln x

× dx .

x

Выполняя замену ln x = t , получим d ln x = dt

или dt =

1

dx . Интеграл равен

x

∫ln x

1

× dx = ∫t × dt =

t 2

+ C .

x

2

(3 - 4x

)

23

1

2

2

+1

3

5

∫

2

∫

2

∫

2

1 t 3

2

x dx = 2

t

3

-

dt = -

t 3 dt = -

+ C = -

t

3

+ C .

8

4 2

20

8

+ 1

3

∫2x 3

× dx = -

3

(3 - 4x2 )53 + C .

Тогда

(3 - 4x2 )2

20

Пример 4.7 Найти интеграл

∫

e3x dx

.

3x

5 + e

Делая замену переменной 5 + e3x = t , получим 3e3x dx = dt или e3x dx =

1

dt .

3

Интеграл запишется в виде:

e3 x dx

1

dt

1

∫

=

∫

=

ln

t

+ C .

5 + e3 x

3

t

3

∫

e3 x dx

=

1

+ e3x

+ C .

Тогда

ln

5

5 + e3 x

3

Пример 4.8. Найти интеграл

∫ctg x dx .

Преобразуем интеграл к виду:

∫ctg x dx = ∫

cos x dx

.

sin x

Выполняя замену sin x = t , получим cosx dx = dt .

Тогда ∫

cos x dx

= ∫

dt

= ln

t

+ C = ln

sin x

+ C .

sin x

t

∫

1

Пример 4.9. Найти интеграл

dx .

a

2

+ x

2

∫

dx

1

∫

dx

x

1

=

.

Заменяя

= t , находим

dx = dt

или dx = a dt .

a 2 + x2

a 2

x 2

a

a

1+

a

Интеграл преобразуется к виду:

1

∫

dx

1

∫

a dt

1

∫

dt

1

=

=

=

arctg t + C .

a 2

x 2

a2

1 + t 2

a

1 + t 2

a

1 +

a

Переходя к «старой» переменной

t =

x

, получим:

a

∫

dx

1

x

=

arctg

+ C .

a2 + x2

a

a

∫ u d v = uv− ∫ v d u

(5)

Формула (5) называется формулой интегрирования по частям для

неопределённого интеграла.

С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫ u d v

сводится к

Интеграл

∫

1

× x × dx = ∫dx более

простой, чем

исходный

и

находится по

x

таблице. Запишем результат интегрирования:

∫ln xdx = x × ln x - x + C .

Пример 5.2. Найти интеграл ∫ x ln x dx .

Полагая u = ln x,

d v = xdx , находим d u =

1

dx , v =

x2

.

x

2

Согласно формуле (5) интеграл запишется:

x2

x2dx

x2

1 x2

x2

1

x ln x dx =

ln x -

=

ln x -

+ C =

ln x

-

+ C .

∫

∫ 2x

2

2

2 2

2

2

∫ x sin x dx =

1

x2 sin x - ∫ x2 cos x dx

, что интеграл

∫ x2 cos x dx сложнее

2

увеличилась

на

единицу.

Следовательно,

выбранное

разложение

подынтегрального выражения на множители u и d v ошибочно.

Обозначая u = x,

d v = sin x dx , получим d u = dx,

v = −cos x .

Результат интегрирования по частям запишется в виде:

∫ x sin x d x = -x cos x + ∫cos x d x = -x cos x + sin x + C .

Тип интеграла

u

dv

∫P (x)× eax dx

eaxdx

∫P (x)× sin ax dx

P( x) —

многочлен (полином)

sin axdx

∫ P (x)× cos ax dx

cos axdx

∫P ( x) × arcsin axdx

arcsin ax

∫P ( x) × arccos axdx

arccos ax

P( x) dx

∫P ( x) × arc tg axdx

arc tg ax

arcctg ax

∫P ( x) × arcctg axdx

∫P( x) × ln axdx

ln ax

P( x) dx

P

( x)

=

a xn + a xn−1

+ L+ a

( x)

( x) —

n

0

1

n

, где P

и Q

многочлены (полиномы),

Q

( x)

b xm + b xm−1

+ L+ b

m

n

m

0

1

m

n и m — степени, соответственно.

Если

n < m ,

то

дробь называется

правильной,

а

если

n ³ m , то дробь

называется неправильной.

Приведем примеры рациональных дробей:

—

правильные дроби

x

n = 1, m = 2

,

x3

n = 3, m = 4

,

x

2

+ 5

4

+ 3x

2

+ 7

1 < 2

x

3 < 4

1

n = 0, m = 1

< 1

x + 3

0

—

неправильные дроби

x2

(m = n =

2),

x3 + 2

n = 3, m = 2

,

x

2

+ 3x + 1

x

2

− 4

3 > 2

x5 + 3

n = 5, m = 1

x −

1

1

5 >

Неправильная дробь, в результате деления числителя на знаменатель,

представима в виде:

Pn ( x)

= Gk ( x)

+

Rα ( x)

(6)

Qm ( x)

Qm ( x)

где - Gk ( x) многочлен,

Rα ( x)

— правильная дробь α < m.

Qm ( x)

Пример 6.1 Неправильную дробь

3x5

+ x4 − 2x3 + x2 − 7

представить в виде

x + 1

многочлена и правильной дроби.

Выполняя деление

3x5 + x4 − 2x3 + x2 − 7

x + 1

−

3

x4 − 2x3 + x −1

получим

3x5 + x4 − 2x3 + x2 − 7

= 3x4 − 2x3 + x −1 −

6

, где 3x4 - 2x3 + x -1 —

x + 1

x + 1

многочлен, а

6

— правильная дробь.

x + 1

Известно, что любой многочлен, m —

степени имеет ровно m корней и его

можно представить в виде:

Q

m

( x)

= xm + d xm−1 + d

2

xm−2 +L+ d

m

= ( x - a )γ1

×( x - a )γ 2 L

1

1

2

L( x - ak )γ k ×(x2 + p1x + q1 )β1 L(x2 + pr x + qr )βr ,

где γ1,γ 2, Lγ k —

кратность действительных корней,

а β1, β2, Lβr — кратность

a) x2 − 3x + 2 = ?

Решая квадратное уравнение

x2 − 3x + 2 = 0 ,

находим, что x1 = 1, x2 = 2 его корни.

Тогда

x2 − 3x + 2 = ( x − x )( x − x ) или x2

− 3x + 2 = ( x −1)( x − 2) , где x

и x

1

2

1

2

степени.

c)

x3 + 6x2 + 9x = x(x2 + 6x + 9) = x( x + 3)( x + 3) = x ( x + 3)2 ,

где

x1 = 0, x2 = −3

и x3 = −3

—

три действительных корня,

из которых два

корня x2 и x3 —

кратные.

d) x3 − 4x2 + 13x = x ( x2 − 4x + 13) ,

где

x1 = 0

один

простой

действительный корень и два комплексно сопряжённых корня.

Последние находятся из решения уравнения

x2 − 4x + 13 = 0

=

4 ±

=

4

±

16 − 52

−36

= 2 ± 3

x ,

3

−1

2

2

2

2

= i ,

x2 = 2 + 3i, x3 = 2 − 3i

Учитывая,

что

−1

получим

два комплексно

сопряжённых корня.

Доказано,

что

правильную

дробь

Rα ( x)

можно

разложить

на

сумму

Qm ( x)

A

A

Mx + N

Mx + N

;

;

и

.

x − a

( x − a)α

x2 + px + q

(x2 + px + q)β

Rα ( x)

=

A1

+

A2

+ L +

Am

,

(7)

( x − a

)( x − a

)L( x − a

)

( x − a

)

( x − a

)

( x − a

m

)

1

2

m

1

2

Ai

вида

.

x − a

i

Пример 6.3. Разложить правильную дробь

3x + 4

на

x ( x - 7)( x + 2)

3x + 4

=

A1

+

A2

+

A3

x ( x - 7)( x + 2)

x

x - 7

x + 2

Rα ( x)

A1

A2

Aγ1

=

+

+ L +

+

( x − a

)γ1 L( x − a

)γ m

( x − a1 )

( x − a

)2

( x − a )γ1

1

m

1

1

(8)

B

B

Bγ

)γ m

,

+L + ( x − am ) +

( x − a

)2 + L + ( x − a

m

1

2

m

m

где каждому корню кратности γ i —

соответствуют γ i простейших дробей вида

Ai

.

( x - a

)i