Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3510

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

370.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

8. Уравнение

y 2

= -1 задает гиперболу, сопряженную к (10). Для

сопряженной гиперболы b

– действительная полуось,

a –

мнимая

полуось. Она расположена в области

³ b .(на рис.

изображена

пунктиром).

«Вырождения» гиперболы:

x 2

y 2

y x

= 0 ,

= 0 отсюда

= 0

a 2

b 2

b a

a b

или y =

x и

y = -

x –

пара пересекающихся прямых.

Пример. Точка M (6,-2

) лежит на гиперболе, уравнения асимптот

которой y = ±

x . Составить уравнение гиперболы и построить ее.

Решение. Каноническое уравнение гиперболы

y 2

=1, т.к.

асимптоты y = ±

x , то

, b =

a . Подставим последнее в уравнение

y 2

× 9 =1, далее т. M (6,-2

) лежит на

гиперболы:

4a2

8 × 9

=1,

144 - 72

=1, 72 = 4a2 , a2 =18 ,

a = 3

;

a 2

4a 2

b =

× 3

= 2

. Итак, искомое уравнение

y 2

=1.

- 3 2

3 2

- 22

гиперболе, т.е.

тогда

Рис. 7.

§ 5.Парабола. Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F , называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной

прямой, называемой директрисой (не содержащей т. F ).

Пусть

–

расстояние от F

до

директрисы.

По

определению

(11)

параболы

где точка

–

произвольная

точка

параболы, N –

ее

проекция на

директрису.

Выберем систему

координат

так, чтобы

т.

,0 была

фокусом, а x = − p – директрисой. 2

M(x,y)

−	p	0	F	p	,0	x


2			2

Рис. 8.

Запишем соотношение (11) в координатах:

	p	2	2			p 2
x −		+ y		=	x +

	2					2

это и есть уравнение параболы. После упрощения получим: y 2 = 2 px

Уравнение (13) называется каноническим уравнением параболы. Основные характеристики параболы:

(12)

(13)

1.Парабола (13) симметрична относительно оси ox .

2.Точка O(0,0) – вершина параболы (13).

3.Фокальный радиус точки M(x,y) параболы: FM = x + p .

	12
Уравнение вида	y2 = −2 px	(14)

определяет параболу, для которой x ≤ 0 , т.е. график этой параболы:

M(x,y)

	−	p		0	p	x
F			,0		2
		2

Рис. 9.

Уравнения вида

= 2 py

(15)

= −2 py

(16)

задают параболы симметричные относительно оси oy :

F 0,

F 0,−

−

Рис. 11.

Рис. 10.

«Вырождения» параболы:

x2 = −k 2 ,

y 2 = −k 2 .

Эти уравнения не определяют никакого

точечного множества при k ¹ 0 .

x2 = k 2 ,

= k 2 ,

эти

уравнения определяют пару

параллельных

прямых:

x = ±k и y = ±k . При k = 0 эти прямые совпадают.

Пример. Парабола, симметричная относительно оси oy , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.

Решение. Уравнение параболы, симметричной относительно оси oy : x2 = 2 py либо x2 = -2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения:

62 ¹ 2 p × (- 2), т.к. p > 0 .	62 = -2 p × (- 2)
	36 = 4 p
	p = 9

Уравнение параболы x2 = -18y , ветви вниз и F (0;−4,5)

-2

F(0;-4,5)

Рис. 12.

§ 6. Применение преобразования координат к приведению уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Значения коэффициентов A, B,C общего уравнения (1) кривой II-го порядка Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 определяют, к какому типу относится кривая (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Так, например, если A = C и B = 0 , то кривая – окружность или ее «вырождения». В общем случае, если:

A B

1.= AC - B2 > 0 , то кривая эллиптического вида.

B C

2.A B = AC - B2 < 0 , то кривая гиперболического вида.

B C

3.A B = AC - B2 = 0 , то кривая параболического вида.

B C

С помощью преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей общее уравнение кривой II-го порядка можно привести к каноническому виду.

Рассматриваются следующие преобразования координат: 1) параллельный перенос координатных осей:

y y′

				′	x	′
				o (a,b)	x
o						x
Рис. 13.
M (x, y) –			точка с координатами в старой системе координат oxy ,
′	′	)				′ ′ ′	,
M (x , y		)	– точка с координатами в новой системе координат o x y				,
′			начало координат новой системы с координатами в старой
O (a,b) –			начало координат новой системы с координатами в старой
системе.
x = x′ + a				формулы параллельного переноса координатных осей,
			–	формулы параллельного переноса координатных осей,
y = y′ + b
выражающие старые координаты через новые.
x′ = x − a				обратные формулы.
			–	обратные формулы.
y′ = y − b
2)	Поворот координатных осей на угол α :
	y′			y	x′
	y′			M	x′

0	x

Рис. 14.

M (x, y) – точка с координатами в старой системе координат oxy , M (x′, y′) – точка с координатами в новой системе координат o′x′y′ .

x = x′ × cosα - y′ × sinα

= ¢ × α + ¢ × α

y x sin y cos

при повороте осей на угол α .

x′ = x × cosα + y × sinα

¢ = - × α + × α

y x sin y cos

–формулы преобразования координат т. M

–обратные формулы.

Пример 1. С помощью параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду уравнение кривой x2 + 2 y 2 − 4x + 8 y − 10 = 0 и построить ее.

Решение.

AC − B2 = 2 > 0 –

кривая

эллиптического типа.

Преобразуем данное уравнение –

сгруппируем полные квадраты

x2 − 4x + 4 − 4 + 2(y 2 + 4 y + 4 − 4)− 10 = 0

(x - 2)2 + 2(y + 2)2 = 22

(x − 2)2

+ (y + 2)2

= 1.

′

Положим

x − 2 = x

эта

система задает

формулы параллельного

y + 2 = y′

в т. O1 (2,−2).

переноса

осей

координат

Получим уравнение эллипса:

x12

y12

= 11,

a =

b =

полуосями

22 ,

и центром симметрии в

т. O1 (2,−2).

y′

-a

x′

-b

Рис. 15.

Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей удается в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в первой степени.

Пример 2.

Преобразовать уравнение

xy = m (m > 0)

к простейшему

виду.

AC − B2 = −1 < 0

Решение:

–

кривая гиперболического

типа.

Повернем заданную систему координат на угол α .

Подставим в заданное уравнение формулы

x = x′ × cosα - y′ × sinα

= x¢ × sinα + y¢ × cosα

(x′cosα − y′sinα )(x′sinα + y′cosα ) = m

′2

cosα sin

α − y

′

′ ′

α − sin

α )= m

sinα cosα + x y (cos

cos2 α − sin 2 α = 0 ,

cos 2α = 0 ,

2α = π ,

α = π .

α = π

Итак,

при

мы

избавились

уравнении

от слагаемого,

содержащего произведение x′ × y′ и получили уравнение вида

x¢2

- y¢2

= m

или

x′2

y′2

=1 – это уравнение гиперболы с полуосями a = b =

2m .

	y′	y
	y′	x′
		x′

- 2m

Рис. 16.

Замечание. С помощью поворота координатных осей удается избавиться от слагаемого, содержащего произведение xy .

Пример. 3. Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную уравнением: x2 + 4x + 3y + 6 = 0 .

Решение. AC − B2 = 0 – кривая параболического типа. Сгруппируем

полный квадрат и преобразуем данное уравнение: x2 + 4x + 4 − 4 + 3y + 6 = 0

2		2		x + 2		= x¢

(x + 2)	= -3 y +		.Положим, что		2	= y¢	являются формулами

		3		y +
					3

параллельного переноса в т.O1			- 2,-		2		. Получим уравнение:		x′2 = -3y′ –
параллельного переноса в т.O1			- 2,-				. Получим уравнение:		x′2 = -3y′ –
				3
				2
парабола с вершиной в т. O1		- 2,-				и симметричная относительно оси
парабола с вершиной в т. O1		- 2,-				и симметричная относительно оси
oy′ .				3
oy′ .
	y′					y
			-2						x
						O
	O						−	2	x′
	O						−
		1					3
		1
				-2

		Рис. 17.
		Пример 4. Построить кривую y =																				x + 3	.
		Пример 4. Построить кривую y =																					.
																					2x + 1
		Решение. Перепишем уравнение 2xy - x + y - 3 = 0 , 2x + 1 ¹ 0 .
AC − B2 = −4 < 0 –													кривая гиперболического типа.
		Преобразуем данное уравнение:
								1								1		5
		2 y x +							−				x		+		−		= 0
		2 y x +						2	−				x		+	2	−	2	= 0
								2								2		2
						1							1			5
		x +					y −								=
		x +				2	y −								=	4
						2							2			4
									1					′
Положим x +												= x								5
									2
														. Получим x¢ × y¢ =								.
														. Получим x¢ × y¢ =								.
					y −					1	= y′								4
					y −						= y′								4
									2
O¢	-	1	,	1		–		новое начало координат после параллельного переноса.
O¢	-		,			–		новое начало координат после параллельного переноса.
	2			2

															18
											′			′		′	′	на угол 45					o	(см. пример 2).
Повернем оси координат o x															и o y			на угол 45						(см. пример 2).

				2				2
x′ = x′′				2	− y′′			2
x′ = x′′					− y′′			2
			2					2
				2					2
				2					2
y′ = x′′			2			− y′′		2
			2					2
Получим уравнение (x¢¢)2 ×											1		- (y¢¢)2 ×						1	=	5	,
Получим уравнение (x¢¢)2 ×													- (y¢¢)2 ×							=		,
(x	′′			′′ 2				2										2		4
		2
		− (y							гипербола, где							a = b = 2,5 .
	)	− (y		)		= 1 –			гипербола, где							a = b = 2,5 .
2,5			2,5
												y′					y
								y′′															x′′

								2,5
								2,5												2,5
																				2,5
															O′	1	2
															O′		2							x′
																O								x′
												− 1						−						x
												− 1								2,5
							−							2						2,5
														2
										2,5

Рис. 18.

Задание 1

1.01. Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с


гиперболой x2 − 2 y 2	= 24 , если эксцентриситет равен				3		.
гиперболой x2 − 2 y 2	= 24 , если эксцентриситет равен						.
1.02. Найти				5
1.02. Найти	расстояние	от	центра								окружности
x2 + y 2 + 6x + 2 y − 5 = 0 до асимптот гиперболы 9x2				− 16 y 2					= 144 .
1.03. На параболе y 2 = 32x взяты две точки				M		1		и	M	2	, расстояния
						1				2

которых до фокуса этой параболы равны 10. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок M1 M 2 .

1.04. Вершины эллипса, большая ось которого лежит на оси абсцисс, совпадают с вершинами равносторонней гиперболы. Составить уравнения

обеих кривых, если известно, что точка M (6, 2), лежащая на гиперболе, равноудалена от ближайших к ней фокусов эллипса и гиперболы.

1.05. Ось симметрии параболы параллельна оси ординат, а уравнение директрисы y − 10 = 0 . Составить уравнение параболы, если она пересекает ось ox в точках (− 5,0) и (11,0).

1.06. Вершина параболы совпадает с одним из фокусов гиперболы 9x2 − 16 y 2 = 144 . Составить уравнение параболы, если известно, что ее директриса проходит через точки (− 4,−3) и (− 4,3).

1.07. Директриса параболы пересекает эллипс 9x2 + 20 y 2 = 324 в точках (− 4,3) и (4,3), а расстояние от этих точек до фокуса параболы

равно 25 . Составить уравнение параболы.

1.08. Равносторонняя гипербола x2 − y 2 = 16 проходит через фокусы эллипса. Составить простейшее уравнение этого эллипса, если отношение

эксцентриситетов гиперболы и эллипса равно				3 .
1.09. Найти	длину	стороны	квадрата,		вписанного	в эллипс
9x2 + 16 y 2 = 576 .
1.10. Найти	угол,	под	которым	из фокуса		параболы
x2 − 4x + 8 y − 20 = 0 видна большая ось эллипса x2					+ 2 y 2 = 16 .

1.11.Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 16 , а фокусы отстоят от вершин на 0, 2 от ее длины.

1.12.Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение осей

которого равно 299 . Определить эксцентриситет земного меридиана. 300

1.13. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (− 1, 2) и (3,0), зная, что ее центр лежит на прямой x − y + 2 = 0 .

1.14. Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом x2 + y 2 = 1, если ее эксцентриситет равен 1, 25.

4924

1.15.На эллипсе x2 + y 2 = 1 найти точку, отстоящую на расстояние

30 24

пяти единиц от его малой оси.

1.16.Прямые x = 8, x = −8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8 . Найти уравнение этого эллипса.

1.17.Эллипс проходит через точки M (3,−2) и N (− 23,1).

Составить уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.

1.18. Составить уравнение гиперболы,	проходящей через точку
A(9,−8), если асимптоты ее заданы уравнениями			x ± 3y = 0 .
		2

1.19. Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4x − 3y − 4 = 0 с осью ox .

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023370.05 Кб03506.pdf
#
21.11.2023370.18 Кб23507.pdf
#
21.11.2023370.19 Кб03508.pdf
#
21.11.2023370.27 Кб03509.pdf
#
21.11.2023111.53 Кб2351.pdf
#
21.11.2023370.34 Кб03510.pdf
#
21.11.2023370.52 Кб03511.pdf
#
21.11.2023370.6 Кб03512.pdf
#
21.11.2023370.62 Кб03513.pdf
#
21.11.2023370.7 Кб03514.pdf
#
21.11.2023370.82 Кб03515.pdf