Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3500

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

369.72 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

О.Г. Антоновская, Н.Х. Селиванова

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учебно-методическое пособие

по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика, профиль Прикладная информатика в экономике

Нижний Новгород

2016

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

О.Г. Антоновская, Н.Х. Селиванова

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

УДК 517.9

Антоновская О.Г., Селиванова Н.Х. Кривые и поверхности второго порядка [Электронный ресурс]: учеб. - метод. пос. / О. Г. Антоновская, Н. Х. Селиванова; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 43 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

Приведены указания по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика». Приведены определения и классификация кривых и поверхностей второго порядка. Рассмотрены кривые в полярной системе координат и методы приведения уравнений кривых второго порядка к простейшему виду. Даны контрольные задания по теме «Кривые и поверхности второго порядка».

Предназначено обучающимся в ННГАСУ по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика, профиль Прикладная информатика в экономике.

©О. Г. Антоновская, Н.Х. Селиванова, 2016

©ННГАСУ, 2016.

§ 1. Понятие кривой на плоскости

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy . Кривой (или линией) на плоскости называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 , где F (x, y)– некоторая функция двух переменных. Для того, чтобы множество точек, координаты которых являются решениями уравнения F (x, y) = 0 , соответствовало наглядному представлению о кривой, на функцию F (x, y) накладывают соответствующие ограничения. Например, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению Ax + By + C = 0 , есть прямая.

Знание уравнения линии позволяет для любой точки определить, принадлежит ли она линии. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка принадлежит этой линии, если не

удовлетворяют – не принадлежит.
Пример. Определить,	принадлежат ли точки M1 (− 1,3) и M 2 (1,1)
линии, заданной уравнением	y − x2 − x − 3 = 0 .

Решение. При подстановке координат точек M1 и M 2 в уравнение получим 3 -1 +1 - 3 = 0 , 0 = 0 ; 1 -1 -1 - 3 = -4 , - 4 ¹ 0 . Следовательно, точка M1 принадлежит, а точка M 2 – не принадлежит данной линии.

Важный класс линий составляют те, для которых функция F (x, y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае линия называется

алгебраической	кривой, а степень многочлена				– порядком	кривой.
Алгебраическая	кривая	первого	порядка	–	это прямая	линия.
Алгебраические	кривые	второго	порядка –	это	окружность,	эллипс,
гипербола и парабола – будут изучаться в дальнейшем.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
Ax2	+ 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ,					(1)

где хотя бы один из коэффициентов A, B,C не равен нулю.

§ 2. Окружность. Каноническое уравнение окружности

Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости (геометрическое место точек), находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки C . Число R называется радиусом окружности, а точка C – её центром.

Найдем уравнение окружности в заданной системе координат oxy . Пусть точка C совпадает с началом координат O(0,0), а M (x, y) – текущая точка окружности, т.е. точка, описывающая окружность.

M(x,y)

О x

Рис. 1.

Из определения окружности следует, что точка M (x, y) тогда и

только тогда принадлежит окружности, когда	OM	= R или	x2 + y 2	= R ,
возводя обе части этого равенства в квадрат, получим уравнение
x2 + y 2 = R2 .				(2)

Это есть каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R .

Если центр окружности находится в точке C(x0 , y0 ), то уравнение такой окружности будет

(x − x	0	)2 + (y − y		0		)2 = R2 .		(3)
	0			0
Возводя двучлены, стоящие в левой части равенства (3), в квадрат,
получим
x2 + y 2 − 2x			x − 2 y		0	y + x2	+ y 2	− R2 = 0 .
		0			0	0	0

Мы видим, что уравнение окружности есть алгебраическое уравнение второй степени, и, сравнивая с уравнением (1), получаем, что уравнение (1) есть окружность, если B = 0 и A = C . Обратное тоже верно.

Пример. Показать, что уравнение x2 + y 2 − 8x + 2 y + 8 = 0 задает окружность. Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. B = 0 , A = C = 1 – это окружность. Выделим полные квадраты

x2 − 8x + 16 − 16 + y 2 + 2 y + 1 − 1 + 8 = 0

(x − 4)2 − 16 + (y + 1)2 − 1 + 8 = 0

(x − 4)2 + (y + 1)2 = 9.

Получили уравнение окружности с центром в т.C(4,−1) и радиусом R = 3 .

§ 3. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество, состоящее из точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем

расстояние между фокусами.

Пусть 2c – расстояние между фокусами, 2a

– постоянная сумма

расстояний. В силу определения a > c > 0 . Точка М –

произвольная точка

эллипса, тогда

= 2a .

(4)

F1M

F2 M

Векторы F1M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами.

		M(x,y)
F1		F2
-с	0	с	x

Рис. 2.

Выведем уравнение эллипса в специально выбранной системе

координат, где ось абсцисс проходит через точки F1 и F2 ,					начало
координат делит отрезок F1 F2 пополам, и система координат oxy –					правая.
В выбранной системе координат уравнение (4) имеет вид
		+		= 2a .
	(x + c)2 + y 2		(x − c)2 + y 2		(5)

Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простому виду путем возведения в квадрат и введения новой величины

b2 = a 2 − c2 > 0 ,					(6)
а именно
	x2	+	y 2	= 1.	(7)
	a2		b2

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллипса.

Основные характеристики эллипса:

1.Оси ox и oy – оси симметрии, начало координат – центр симметрии эллипса.

2.Эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: x ≤ a , y ≤ b .

3.Точки A1 (− a,0), A2 (a,0), B1 (0,−b), B2 (0,b) – вершины эллипса.

					6
4.	a –	большая полуось, b –			малая	полуось	(a > b) и	c =	b2 − a2	–
	полуфокусное расстояние.
5.	Эксцентриситет			эллипса	–	это	ε = c < 1.		Отношение
		a2 − c2					a
	b =	a2 − c2	=	1 − ε 2 . Отсюда видно, что чем ближе ε					к единице,
	a	a
	тем меньше b , т.е. эллипс более вытянут. Если эксцентриситет близок к
		a
	нулю, эллипс по форме близок к окружности. Случай, когда ε = 0, т.е.
	a = b – есть окружность.
6.	Директрисы эллипса: x = ± a .
				ε
7.	Фокальные радиусы т. M (x, y) эллипса:
				F1M = a + εx
				F2 M = a − εx .
					y
	x = − a								x = a
		ε								ε
						B2(0,b)
							M(x,y)
		A1(-a,0)						A2(a,0)
				F1(-c,0)	0		F2(c,0)		x
						B1(0,-b)
	Рис. 3.

					7
«Вырождения» эллипса:
1.	x2	+	y 2	= 0 –	задает точку O(0,0);
	a2		b2

2.	x2	+	y 2	= −1 –	мнимый эллипс.
	a2		b2

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M1 (2, 22 ) и M 2 (1, 23). Построить кривую.

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

y 2

= 1.

Если точки M1 и M 2 лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют

уравнению кривой, т.е.

= 1

. Решая эту систему, относительно a2

= 1

b2 , найдем

b2 = 16, a2

= 4 .

Уравнение

эллипса

y 2

= 1.

Т.к.

a = 2 < b = 4 ,

то

фокусы

этого

эллипса

находятся

на

оси

c =

= 2

. Итак, F1 (0,−2

) и F2 (0, 2

16 − 4

23 F2

-2

− 23 F1

-4

Рис. 4.

§ 4. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля.

Пусть 2c – расстояние между фокусами F1 и F2 , 2a – постоянная абсолютная величина разности расстояний. В силу определения c > a > 0 . Пусть M – произвольная точка гиперболы, тогда

F1 M	−	F2 M	= 2a .	(8)

Векторы F1M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами гиперболы. Выведем уравнение гиперболы в специально выбранной системе координат.

M(x,y)

F1(-c,0)	0	F2(с,0)	x

Рис. 5.

Пусть точка M (x, y) – произвольная точка гиперболы, тогда для нее выполняется равенство (8).

	−			= 2a .
(x + c)2 + y 2	−	(x − c)2 + y 2		= 2a .	(9)

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Преобразуем (9) к более простому виду, дважды возведя в квадрат и упрощая, получим

	x2		−		y 2		= 1.
	a2			c2 − a2

Введем новую величину b2 = c2					− a 2 > 0 , тогда
		x2	−		y2	= 1.	(10)
		a2
					b2

Уравнение (10) называется каноническим уравнением гиперболы.

Основные характеристики гиперболы:

1.Оси ox и oy – оси симметрии гиперболы, начало координат – центр симметрии гиперболы.

2.Область расположения гиперболы x ³ a , с осью oy гипербола не пересекается. Точки A1 (− a,0), A2 (a,0) называются вершинами гиперболы. Действительной осью называется ось, пересекающаяся с кривой (в уравнении (10) ось ox ), а мнимой – ось, не пересекающаяся с кривой ( oy ).

3.а – действительная полуось, b – мнимая полуось, c = a 2 + b2 – полу фокусное расстояние.

Эксцентриситет гиперболы - это ε =

> 1,

c2 − a2

ε 2 −1

Асимптоты гиперболы: y = ±

x . Асимптоты являются диагоналями

прямоугольника со сторонами x = ±a, y = ±b .

Этот прямоугольник

называют основным прямоугольником гиперболы. Вся кривая

расположена вне прямоугольника, и только вершины A1 ,

лежат на

сторонах x = ± a .

Директрисы гиперболы: x = ±

Фокальные радиусы т. M (x, y) гиперболы:

F1 M = ε x + a u F2 M = ε x − a .

			b
						M(x,y)
F1(-c,0)	-a		0	a		F2(c,0)	x
			-b
	x = −	a		x =	a
		ε
		ε			ε

Рис. 6.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023369.36 Кб03497.pdf
#
21.11.2023369.63 Кб03498.pdf
#
21.11.2023369.68 Кб13499.pdf
#
21.11.202383.26 Кб035.pdf
#
21.11.2023111.37 Кб0350.pdf
#
21.11.2023369.72 Кб03500.pdf
#
21.11.2023369.8 Кб03501.pdf
#
21.11.2023369.81 Кб03502.pdf
#
21.11.2023369.93 Кб03503.pdf
#
21.11.2023369.98 Кб03504.pdf
#
21.11.2023369.99 Кб03505.pdf