3487

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Е.А.Бондарь, Н.Х.Селиванова

Кривые и поверхности второго порядка

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине

«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры, профиль Городской кадастр

Нижний Новгород

2016

Министерство образования и науки Российской Федерации

0

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Е.А.Бондарь, Н.Х.Селиванова

Кривые и поверхности второго порядка

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине

«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры, профиль Городской кадастр

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

1

УДК 517.9

Бондарь Е.А. Кривые и поверхности второго порядка [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Е.А.Бондарь, Н.Х.Селиванова; Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2016.- 43с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

В пособии приведены определения и классификация кривых и поверхностей второго порядка. Рассмотрены кривые в полярной системе координат и методы приведения уравнений кривых второго порядка к простейшему виду. Даны контрольные задания по теме «Кривые и поверхности второго порядка».

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры, профиль Городской кадастр.

© В Е.А.Бондарь, Н.Х.Селиванова, 2016 © ННГАСУ, 2016.

2

§ 1. Понятие кривой на плоскости

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy . Кривой (или линией) на плоскости называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 , где F (x, y)– некоторая функция двух переменных. Для того, чтобы множество точек, координаты которых являются решениями уравнения F (x, y) = 0 , соответствовало наглядному представлению о кривой, на функцию F (x, y) накладывают соответствующие ограничения. Например, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению Ax + By + C = 0 , есть прямая.

Знание уравнения линии позволяет для любой точки определить, принадлежит ли она линии. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка принадлежит этой линии, если не удовлетворяют

получим 3 -1 + 1 - 3 = 0 , 0 = 0 ; 1 -1 -1 - 3 = -4 , - 4 ¹ 0 . Следовательно, точка M 1 принадлежит, а точка M 2 – не принадлежит данной линии.

Важный класс линий составляют те, для которых функция F (x, y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае линия называется алгебраической кривой, а степень многочлена – порядком кривой. Алгебраическая кривая первого порядка – это прямая линия. Алгебраические кривые второго порядка – это окружность, эллипс, гипербола и парабола – будут изучаться в дальнейшем.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

где хотя бы один из коэффициентов A, B,C не равен нулю.

§ 2. Окружность. Каноническое уравнение окружности

Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости (геометрическое место точек), находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки C . Число R называется радиусом окружности, а точка C – её центром.

Найдем уравнение окружности в заданной системе координат oxy . Пусть точка C совпадает с началом координат O(0,0), а M (x, y) – текущая точка окружности, т.е. точка, описывающая окружность.

3

y

M(x,y)

R

О

Рис. 1.

Из определения окружности следует, что точка M (x, y) тогда и только тогда принадлежит окружности, когда OM = R или x2 + y 2 = R , возводя

Это есть каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R .

Если центр окружности находится в точке C(x0 , y0 ), то уравнение такой окружности будет

Возводя двучлены, стоящие в левой части равенства (3), в квадрат, получим

x2 + y2 − 2x0 x − 2 y0 y + x02 + y02 − R2 = 0 .

Мы видим, что уравнение окружности есть алгебраическое уравнение второй степени, и, сравнивая с уравнением (1), получаем, что уравнение (1) есть окружность, если B = 0 и A = C . Обратное тоже верно.

Пример. Показать, что уравнение x2 + y2 − 8x + 2 y + 8 = 0 задает окружность. Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. B = 0 , A = C = 1 – это окружность. Выделим полные квадраты

x2 − 8x + 16 − 16 + y2 + 2 y + 1 − 1 + 8 = 0

(x − 4)2 − 16 + (y + 1)2 − 1 + 8 = 0

(x − 4)2 + (y + 1)2 = 9.

Получили уравнение окружности с центром в т.C(4,−1) и радиусом R = 3 .

4

§ 3. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество, состоящее из точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть 2c – расстояние между фокусами, 2a – постоянная сумма расстояний. В силу определения a > c > 0 . Точка М – произвольная точка эллипса, тогда

Векторы F1 M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами.

y

Рис. 2.

Выведем уравнение эллипса в специально выбранной системе координат, где ось абсцисс проходит через точки F1 и F2 , начало координат

эллипса.

2.Эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: x ≤ a , y ≤ b .

3.Точки A1 (− a,0), A2 (a,0), B1 (0,−b), B2 (0,b) – вершины эллипса.

5

есть окружность.

6.Директрисы эллипса: x = ± εa .

7.Фокальные радиусы т. M (x, y) эллипса:

Рис. 3.

6

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего

F1 (0,−23) и F2 (0, 23).

y

4

23 F2

− 23 F1

-4

Рис. 4.

7

§ 4. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля.

Пусть 2c – расстояние между фокусами F1 и F2 , 2a – постоянная

Векторы F1 M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами гиперболы. Выведем уравнение гиперболы в специально выбранной системе координат.

y

M(x,y)

Рис. 5.

Пусть точка M (x, y) – произвольная точка гиперболы, тогда для нее выполняется равенство (8).

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Преобразуем (9) к более простому виду, дважды возведя в квадрат и упрощая, получим

Введем новую величину b2 = c2 − a2 > 0 , тогда

Уравнение (10) называется каноническим уравнением гиперболы.

8

Основные характеристики гиперболы:

1.Оси ox и oy – оси симметрии гиперболы, начало координат – центр симметрии гиперболы.

2.Область расположения гиперболы x ³ a , с осью oy гипербола не пересекается. Точки A1 (− a,0), A2 (a,0) называются вершинами гиперболы. Действительной осью называется ось, пересекающаяся с кривой (в уравнении (10) ось ox ), а мнимой – ось, не пересекающаяся с кривой ( oy ).

3.а – действительная полуось, b – мнимая полуось, c = a 2 + b2 – полу фокусное расстояние.

6.Директрисы гиперболы: x = ± εa .

7.Фокальные радиусы т. M (x, y) гиперболы:

F1 M = ε x + a u F2 M = ε x − a .

y

Рис. 6.

9