3457

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Р.С. Бирюков, Н.Х. Селиванова

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учебно-методическое пособие

по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника,

профиль Промышленная теплоэнергетика

Нижний Новгород

2016

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Р.С. Бирюков, Н.Х. Селиванова

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учебно-методическое пособие

по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника,

профиль Промышленная теплоэнергетика

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

УДК 517.9

Бирюков Р. С. Кривые и поверхности второго порядка [Электронный ресурс]: учеб. - метод. пос. / Р.С. Бирюков, Н. Х. Селиванова; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 42 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

Приведены определения и классификация кривых и поверхностей второго порядка. Рассмотрены кривые в полярной системе координат и методы приведения уравнений кривых втотрого порядка к простейшему виду. Даны контрольные задания по теме «Кривые и поверхности второго порядка».

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Математика» по направлению подготовки 13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника, профиль Промышленная теплоэнергетика.

§ 1. Понятие кривой на плоскости

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy . Кривой (или линией) на плоскости называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 , где F (x, y)– некоторая функция двух переменных. Для того, чтобы множество точек, координаты которых являются решениями уравнения F (x, y) = 0 , соответствовало наглядному представлению о кривой, на функцию F (x, y) накладывают соответствующие ограничения. Например, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению Ax + By + C = 0 , есть прямая.

Знание уравнения линии позволяет для любой точки определить, принадлежит ли она линии. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка принадлежит этой линии, если не удовлетворяют – не принадлежит.

Пример. Определить, принадлежат ли точки M1 (− 1,3) и M 2 (1,1) ли-

нии, заданной уравнением y − x2 − x − 3 = 0 .

Решение. При подстановке координат точек M1 и M 2 в уравнение получим 3 -1 +1 - 3 = 0 , 0 = 0 ; 1 -1 -1 - 3 = -4 , - 4 ¹ 0 . Следовательно, точка M1 принадлежит, а точка M 2 – не принадлежит данной линии.

Важный класс линий составляют те, для которых функция F (x, y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае линия называется алгебраической кривой, а степень многочлена – порядком кривой. Алгебраическая кривая первого порядка – это прямая линия. Алгебраические кри-

§ 2. Окружность. Каноническое уравнение окружности

Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости (геометрическое место точек), находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки C . Число R называется радиусом окружности, а точка C – её центром.

Найдем уравнение окружности в заданной системе координат oxy . Пусть точка C совпадает с началом координат O(0,0), а M (x, y) – текущая точка окружности, т.е. точка, описывающая окружность.

y

M(x,y)

R

О x

Рис. 1.

Из определения окружности следует, что точка M (x, y) тогда и толь-

ко тогда принадлежит окружности, когда OM = R или x2 + y 2 = R , воз-

Это есть каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R .

Если центр окружности находится в точке C(x0 , y0 ), то уравнение такой окружности будет

Мы видим, что уравнение окружности есть алгебраическое уравнение второй степени, и, сравнивая с уравнением (1), получаем, что уравнение (1) есть окружность, если B = 0 и A = C . Обратное тоже верно.

Пример. Показать, что уравнение x2 + y 2 − 8x + 2 y + 8 = 0 задает окружность. Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. B = 0 , A = C = 1 – это окружность. Выделим полные квадраты

x2 − 8x + 16 − 16 + y 2 + 2 y + 1 − 1 + 8 = 0 (x − 4)2 − 16 + (y + 1)2 − 1 + 8 = 0

(x − 4)2 + (y + 1)2 = 9.

Получили уравнение окружности с центром в т.C(4,−1) и радиусом R = 3 .

§ 3. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество, состоящее из точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть 2c – расстояние между фокусами, 2a – постоянная сумма расстояний. В силу определения a > c > 0 . Точка М – произвольная точка эллипса, тогда

Векторы F1M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами.

y

Рис. 2.

Выведем уравнение эллипса в специально выбранной системе координат, где ось абсцисс проходит через точки F1 и F2 , начало координат де-

Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простому виду путем возведения в квадрат и введения новой величины

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллипса.

Основные характеристики эллипса:

1.Оси ox и oy – оси симметрии, начало координат – центр симметрии эллипса.

2.Эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: x ≤ a , y ≤ b .

«Вырождения» эллипса:

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M1 (2, 22 ) и M 2 (1, 23). Построить кривую.

y

4

23 F2

− 23 F1

-4

Рис. 4.