2939

3

Решение. Каноническое уравнение гиперболы

x2

-

y 2

=1, т.к. асимптоты

a 2

b2

y = ±

2

x , то

b

=

2

, b =

2

a . Подставим последнее в уравнение гиперболы:

3

a

3

3

8 × 9

x2

-

y 2

× 9 =1, далее т. M (6,-2

) лежит на гиперболе, т.е.

36

-

=1,

2

a 2

4a 2

a2

4a 2

144 - 72

=1,

72 = 4a2 ,

a2 =18,

a = 3

; тогда b =

2

× 3

= 2

2

2

2 . Итак,

4a2

3

искомое уравнение

x2

-

y 2

=1.

18

8

y

2

2

- 3

2

3 2

x

- 2

2

Пусть p –

расстояние от F до директрисы. По определению параболы

=

,

(11)

MF

MN

где точка M –

произвольная точка параболы,

N –

ее проекция на директрису.

p

была фокусом, а x = -

p

Выберем систему координат так, чтобы т. F

,0

–

2

2

N

M(x,y)

−

p

0

p

x

F

,0

2

2

Уравнения вида

x2

= 2 py

(15)

x2

= -2 py

(16)

задают параболы симметричные относительно оси oy :

y

p

N

y

2

p

0

x

F 0,

M

2

M

0,−

p

F

0

x

2

−

p

N

2

Рис. 11.

Рис. 10.

«Вырождения» параболы:

1.

x2

= −k 2 , y 2 = -k 2 . Эти уравнения

не определяют

никакого точечного

множества при k ¹ 0 .

2.

x2

= k 2 ,

y2

= k 2 , эти уравнения определяют пару параллельных прямых:

Решение.

Уравнение параболы, симметричной относительно оси oy :

x2 = 2 py либо x2

= -2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения:

x = x′ + a

– формулы параллельного переноса координатных осей,

y = y¢ + b

x′ = x - a

– обратные формулы.

y¢ = y - b

y′

y

x′

M

0

x

M (x, y) –

точка с координатами в старой системе координат oxy ,

′ ′

)

′ ′ ′

.

M (x , y

– точка с координатами в новой системе координат o x y

x = x′ × cosα - y′ × sinα

–

формулы преобразования координат т. M при

y = x¢ × sinα + y¢ × cosα

повороте осей на угол α .

x′ = x × cosα + y × sinα

–

обратные формулы.

y¢ = -x × sinα + y × cosα

x − 2 = x′

эта система задает формулы параллельного переноса

Положим

+ 2

= y¢

y

осей координат

в

т. O (2,−2). Получим

уравнение эллипса:

x12

+

y12

=11, с

1

22

11

и центром симметрии в т.O1 (2,-2).

полуосями a =

22

, b =

11

y

0

y′

b

x

-a

O1

a

x′

x = x′ × cosα - y′ × sinα

= x¢ × sinα + y¢ × cosα

y

(x′cosα - y′sinα )(x′sinα + y′cosα ) = m

x

′2

cosα sinα - y

′2

′ ′

2

α - sin

2

α )= m

sinα cosα + x y (cos

cos2 α - sin2 α = 0 ,

cos 2α = 0 ,

2α = π ,

α = π .

Итак, при α = π

2

4

мы избавились в уравнении от слагаемого, содержащего

4

произведение x′ × y′ и получили уравнение вида

x¢2

×

2

×

2

- y¢2 ×

2

×

2

= m

или

2

2

2

2

x′2

-

y′2

=1 – это уравнение гиперболы с полуосями a = b =

.

2m

2m

2m

Пример 4. Построить кривую y =

x + 3

.

2x + 1

Решение. Перепишем уравнение 2xy - x + y - 3 = 0 , 2x + 1 ¹ 0 .

AC - B2 = -4 < 0 –

кривая гиперболического типа.

Преобразуем данное уравнение:

1

1

5

2 y x +

-

x

+

-

= 0

2

2

2

+

1

= x¢

1

1

5

x

5

2

x +

y -

=

,

Положим

. Получим x¢ × y¢ =

.

2

2

4

y -

1

= y¢

4

2

1

1

O¢

-

,

– новое начало координат после параллельного переноса.

2

2

′ ′

′

′

o

(см. пример 2).

Повернем оси координат o x

и o y

на угол 45

2

2

x¢ = x¢¢

- y¢¢

2

2

2

2

y¢ = x¢¢

2

- y¢¢

2

Получим уравнение (x¢¢)2 ×

1

- (y¢¢)2

×

1

=

5

,

′′

′′

2

2

4

2

2

(x

)

− (y

= 1 –

гипербола, где

a = b = 2,5 .

)

2,5

2,5

y′

y

y′′

x′′