2804
.pdfМИНИСТЕРСТ ВО О БРАЗО ВАНИЯ И НАУКИ
РО ССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕД ЕР АЛ ЬНОЕ ГО СУД АРС ТВЕННО Е БЮД ЖЕТНО Е
ОБР АЗ О В АТЕЛ ЬНО Е УЧРЕЖД ЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФ ЕССИО Н АЛ ЬНО ГО О БРАЗ ОВ АНИЯ
“НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ” (ННГАСУ)
Кафедра общенаучных дисциплин
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»
Нижний Новгород ННГАСУ
2012
МИНИСТЕРСТ ВО О БРАЗО ВАНИЯ И НАУКИ
РО ССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕД ЕР АЛ ЬНОЕ ГО СУД АРС ТВЕННО Е БЮД ЖЕТНО Е
ОБР АЗ О В АТЕЛ ЬНО Е УЧРЕЖД ЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФ ЕССИО Н АЛ ЬНО ГО О БРАЗ ОВ АНИЯ
“НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ” (ННГАСУ)
Кафедра общенаучных дисциплин
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»
Нижний Новгород ННГАСУ
2012
УДК 51(075)
Методические указания по теме «Векторная алгебра». – Н. Новгород: ННГАСУ, 2012
Методические указания содержат основные теоретические сведения, необходимые для решения задач по векторной алгебре, а также задачи с ответами. Методические указания предназначены для иностранных слушателей, обучающихся в Центре предвузовской подготовки и обучения иностранных граждан ННГАСУ по направлениям «Строительство» и «Архитектура».
Составитель: Н.Е. Демидова
© Нижегородский |
государственный |
архитектурно-строительный |
университет, 2012 |
|
|
3
Векторная алгебра
Векторы и их координаты
Координатами точки M0 в прямоугольной системе координат Oxyz
называется упорядоченная тройка чисел (x0; y0; z0). Число x0 – абсцисса точки
M0, число y0 – ордината точки M0, число z0 – аппликата точки M0.
Вектор – направленный отрезок (см. рисунок 1).
Рисунок 1. Вектор а
Обозначения вектора
AB ( А – начало, В – конец вектора), а – обозначение вектора в литературе, а – обозначение вектора на письме.
Модуль (длина) вектора: AB , а или АВ, а.
Нулевой вектор
Вектор, который начинается и заканчивается в точке A, называют
нулевым вектором и обозначают AA.
Координаты вектора
Если есть координаты точки А(x1; y1; z1) и точки В(x2; y2; z2), то
AB{x2 − x1;y2 − y1;z2 − z1} – координаты вектора AB.
4
Коллинеарные векторы – векторы, параллельные одной прямой.
Компланарные векторы – векторы, параллельные одной плоскости.
Сонаправленные векторы: а ↑↑ b .
Противоположно направленные векторы: а ↑↓ b .
Равные векторы: а = b, если а = b и а ↑↑ в .
Противоположные векторы: а = b и а ↑↓ b .
Модуль (длина) вектора a(ax ;ay ; az ) определяется по формуле:
a |
|
= a2 |
+ a2 |
+ a2 . |
|
||||
|
|
x |
y |
z |
Проекция вектора на ось
аx = a cosϕ – проекция вектора а на ось Оx
ϕ – это угол между вектором а и осью Ох (см. рисунок 2)
Рисунок 2. Проекция ax
вектора а на ось Ox
Проекция суммы двух векторов a(ax ;ay ; az )и b(bx ;by ; bz ) равна сумме
проекций этих векторов: (а + b)x = аx + bx .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты середины отрезка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Если точка C(xC ; yC ; zC ) – начало отрезка CD, точка |
D(xD ; yD ; zD ) – |
||||||||||||||||||||||||||
конец отрезка CD, M – середина отрезка CD, то |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
D |
+ x y |
D |
+ y |
C |
|
z |
D |
+ z |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
M |
|
C |
; |
|
|
; |
|
|
– координаты точки M. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Орты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0;1; 0 ), |
|
|
(0;0;1) называются |
|
|
||||||||||||
Векторы i |
(1;0; 0 ), j |
|
k |
ортами. Любой |
|||||||||||||||||||||||
|
|
;a |
|
; a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
|
+ a |
|
|
|
|
|
вектор a(a |
x |
y |
z |
) можно представить в виде a |
i |
y |
j + a |
k . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
||||
Операции над векторами
Умножение вектора на число |
|
|
||||||
Произведение вектора a на число (скаляр) |
λ – это новый вектор |
|||||||
λa(λa |
x |
;λa |
y |
; λa |
z |
). Если λ > 0 , то a↑↑ λa |
. Если λ < 0 |
, то a↑↓ λa . |
|
|
|
|
|
|
|||
Сложение векторов
1. Правило треугольника
Рисунок 3. Вектор-сумма а + b
Сумма векторов a(ax ;ay ; az )и b(bx ;by ; bz ) показана на рисунке 3.
Координаты вектора-суммы а + b =(ax + bx ;ay + by ; az + bz ).
6
2. Правило многоугольника
На рисунке 4 показана сумма нескольких векторов. Координаты вектора-
суммы а + b + c + d =(ax + bx + cx + dx ;ay + by + cy + dy ; az + bz + cz + dz ).
Рисунок 4. Вектор-сумма
а + b + c + d
3.Правило параллелограмма
Сумма векторов a(ax ;ay ; az ) и b(bx ;by ; bz ), построенная по правилу
параллелограмма, показана на рисунке 5.
Рисунок 5. Вектор-сумма
а + b
Вычитание векторов
Рисунок 6. Вектор-разность
а − b
7
Разность векторов a(ax ;ay ; az ) и b(bx ;by ; bz ) показана на рисунке 6.
Координаты вектора-разности а − b =(ax − bx ;ay − by ; az − bz ).
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение векторов a и b определяют по формуле
a b = abcos(a;b).
Свойства скалярного произведения
1. |
|
|
|
|
|
Переместительный закон: a |
b |
= b |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
+ a c . |
2. |
Распределительный закон a (b |
+ c)= a b |
|||
3.Если a b , то a b = 0 .
4.Если даны векторы a(ax ,ay ,az ) и b(bx ,by ,bz ), то a b = axbx + ayby + azbz .
Угол между векторами
Косинус угла ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторами a(a |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
(b |
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
|
|
между |
|
|
x |
;a |
y |
; a |
z |
|
|
и |
b |
x |
;b |
y |
; b |
z |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определяется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
axbx + ayby + azbz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cosϕ = |
b |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
ax2 + ay2 + az2 bx2 + by2 + bz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Условие параллельности двух векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Если вектор a(a |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), то |
|
|
= λ a |
||||||||
x |
;a |
y |
; a |
z |
|
|
параллелен вектору |
b |
x |
;b |
y |
; b |
z |
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x |
|
= |
by |
|
= |
|
b |
z |
= λ , где λ – число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ax |
|
ay |
|
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8
Условие перпендикулярности двух векторов
Если вектор a(ax ;ay ; az ) перпендикулярен вектору b(bx ;by ; bz ), то
a b = 0или
axbx + ayby + azbz = 0.
Условие компланарности трёх векторов
Три вектора a(ax ;ay ; az ), b(bx ;by ; bz ) и c(cx ;cy ; cz ) компланарны, если
ax |
ay |
az |
= (a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)− (a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)= 0. |
||
b |
x |
b |
y |
b |
b |
c |
z |
+ a |
b |
c |
x |
+ a |
b |
c |
y |
b |
c |
x |
+ a |
b |
c |
z |
+ a |
b |
c |
y |
|||
|
|
z |
x |
y |
|
y |
z |
|
z |
x |
|
z |
y |
|
y |
x |
|
x |
z |
|
|
||||||||
cx |
cy |
cz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения
1. При каких значениях m длина вектора a(
3; m +1; m + 2) не больше 8?
Ответ. m [− 7; 4].
2. При каких значениях m длина вектора a(m; m + 1; 2) меньше 3?
Ответ. m (− 2;1).
3. При каких значениях m длина вектора a(m + 3; m; 2) не больше 3?
Ответ. m [− 2;−1].
4. Найдите длину вектора c = 2a + 3b , если a(3; − 2;1) и b(− 2; 4; − 3).
Ответ. c = 
113 .
5. Найдите длину вектора c = a − 3b , если a(3; 5;1) и b(1; 4; 2).
Ответ. c = 
74 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Даны |
векторы |
|
a |
= 2i |
+ 3 j , |
b |
= −3 j |
+ 2k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты вектора a − |
b |
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. |
3; |
11 |
; 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a(− 3; −1; 2), |
|
|
(4; 0; 6) |
||||
7. Даны |
векторы |
|
|
|
b |
||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
координаты векторов 2a |
− a + 3c и |
a |
+ 2b |
3c . |
|||||||||||
Ответ. (− 6; − 2; 4), |
(18; −5;19), (−10; 5; − 7). |
||||||||||||||
иc = i + j − k . Найдите
иc(5; − 2; 7). Найдите
|
|
|
|
a(2; 4), |
|
|
|
|
|
|
и c(5; − 2). Найдите |
|
|
||||
8. Даны |
векторы |
b(− 3;1) |
координаты |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
b |
|
|
|
|
|
|||||
векторов 2a + 3b |
−5c |
, a |
+ |
24b +14c |
, 2a |
|
, 5c . |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. (− 30; 21), (0; 0), |
11 |
; |
15 |
|
, (25; −10). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1;1; − 2), c(2;1; − 3) |
|
|
(11; − 6; 5). |
||||||
9. Даны |
векторы |
a(3; − 2;1), b |
и |
d |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдите числа x, y, z , если d = xa + yb |
+ zc . |
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ. x = 2, y = −3, z =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(− 20; 27; − 35). |
|||
10. Даны векторы a(1; 5; 3), b(6; − 4; − 2), c(0; − |
5; 7) и d |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите числа α,β,γ , если αa +βb |
+ γc |
+ d |
= 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
Ответ. α = 2, β = 3, γ = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. Даны |
|
векторы |
p(3; − 2;1), |
|
q(−1;1; − 2), |
r(2;1; − 3). |
Найдите |
||||||||||
координаты вектора c , если c = 2p −3q + r .
Ответ. c(11; − 6; 5).