2441

3

УДК 681.3 (075)

А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис, Ю. А. Громов / Вычислительная математика[Электронный ресурс]: учеб. – метод. пос./А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис, Ю. А. Громов; Нижегор. гос. архитектур. – строит. ун-т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2017. - ___ с. 1 электрон.опт.диск (CD-R)

В методических указаниях представлены задания и пояснения к выполнению лабораторных работ, охватывающих основные разделы численных методов и алгоритмов решения задач в рамках курса «Вычислительная математика».

©А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис, Ю. А. Громов © ННГАСУ. 2017.

4

Введение

Настоящие методические указания ориентированы на работу в сетях персональных ЭВМ под управлением операционной системы Windows с использованием языка программирования VisualBasicи офисных приложений.

Вметодических указаниях содержатся задания по основным темам курса «Вычислительная математика», а также методические указания к их выполнению.

Задания по каждой лабораторной работе направлены на закрепление теоретического материала и приобретения навыков использования методов вычислительной математики для практических целей. Поэтому они содержат перечень практических заданий и теоретических вопросов.

Взависимости от выбранного уровня исполнения студент может все вычисления проводить на основе готовых алгоритмови программ (см. [1]), а также использовать собственные программные разработки на основе консольных приложений среды VisualBasic (см. [2]). Параллельность изучения курсов «Информатика», «Технологии обработки информации» и «Вычислительная математика» позволяет студенту дополнить исследование математических моделей на основе офисного приложения MSEXCEL.

Используемый теоретический материал изложен в книге [1]. При этом в заданиях даются постраничные ссылки на соответствующие разделы книги, что облегчает работу студента и приучает его к самостоятельной работе с учебником и научной литературой.

5

Требования к выполнению работ

При подготовке к лабораторной работе студенту необходимо изучить соответствующие разделы лекционного курса. В ходе выполнения каждой лабораторной работы студент должен подготовить письменный отчет, включающий:

∙номер, тему и цель лабораторной работы;

∙перечень заданий работы;

∙входные и выходные данные для каждого задания;

∙блок-схему программы;

∙текст программы;

∙таблицу и графики с результатами вычислений;

∙общие выводы по результатам лабораторной работы.

6

Лабораторная работа №1

Тема: Решение нелинейных уравнений

Задание: Найти корень нелинейного уравнения f(x) = 0 на отрезке [а, b]

(с заданной точностью ε) двумя методами:

1.Методом половинного деления (бисекций) (см. [1] стр. 37-40);

2.Методом итераций (см. [1] стр. 40-46).

Значения для конкретных вариантовпредставлены в таблице 1 заданий к расчётным работам.

Порядок выполнения работы

1. Отделить корни заданного уравнения графически (вручную или в

Excel).График представить в отчёте. Рекомендуется в качестве отрезка,

содержащего отделенный корень, выбрать интервал монотонного изменения функции f(x).

2.Уточнить корень на отделённом отрезке методом половинного деления при ε = 0.01; 0.001; 0.0001:

a)Выполнить расчёты вручную;

b)Решить задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу

2, стр. 39);

c)Результаты занести в отчетную таблицу 1.

3.Уточнить корень на выделенном отрезке методом итераций при ε = 0.01; 0.001; 0.0001:

a)Преобразовать уравнение к нормальному виду;

b)Проверить условие сходимости итерационного процесса;

c)Выполнить расчёты вручную;

d)Решить задачу на ПК с помощью программы(см. [1] программу

3, стр. 46);

4.Правильность полученных результатов проверить в табличном процессоре Excel, используя надстройку«Подбор параметра».

5.Сделать вывод об эффективности использованных методов решения задачи. В качестве критерия сравнения методов использовать число итераций при заданной точности.

Контрольные вопросы

1.Запишите нелинейное уравнение в общем виде (см. [1] стр.30).

2.Запишите данное нелинейное уравнение в нормальном виде (см. [1]

стр.40).

3. Как перейти от общего вида уравнения к уравнению в нормальном

виде?

4. По какой формуле можно определить число шагов, необходимых для достижения требуемой точности вычислений по методу половинного деления

(см. [1] стр. 38)?

5.Какая итерационная формула используется для метода простых итераций (см. [1] стр. 40)?

6.Сформулируйте достаточные условия сходимости метода простой итерации. (см. [1] стр. 43).

8

Лабораторная работа №2

Тема: Точные методы решения систем линейных уравнений

Задание: Решить систему линейных уравнений

Значения коэффициентов и свободных членов взять в соответствии со своим вариантом из таблицы 2 заданий к расчётным работам.

Порядок выполнения работы

1. Решить вручную систему уравнений методами Гаусса и Крамера.

Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2

X1

X2

X3

2. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу 5

на стр. 76). Результаты поместить в отчетную таблицу 2.

3.Сделать письменное заключение о близости полученных решений.

4.Правильность полученных результатов проверить в табличном процессоре Excel, используя надстройку «Поиск решения».

9

Контрольные вопросы

1.К классу точных или итерационных методов принадлежит метод Гаусса (см. [1] стр. 66)?

2.Сделайте сравнение эффективности метода Гаусса с методом решения системы линейных уравнений по формулам Крамера (см. [1] стр.77-78).

3.Укажите, сколько требуется выполнить операций умножения и деления по каждому из этих методов для Вашей системы уравнений (см. [1]

стр. 77-78)?

4. Каковы пределы применимости метода Гаусса? Отчего они зависят

(см. [1] стр. 78-79)?

10

Лабораторная работа № 3

Тема: Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Задание: Решить систему уравнений, заданную в расчётной работе №2,

двумя методами:

1.Методом простой итерации;

2.Методом Зейделя.

Порядок выполнения работы

1.Проверить для заданной системы уравнений условие сходимости итерационного процесса.

2.Решить вручную систему уравнений методом простой итерации с точностью ε=0.1(описание метода см. [1] на стр. 79-87). Результаты занести в таблицу 3, где k – число приближений.

Таблица 3 - Результаты метода итерации

3. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу

6 на стр. 86) при различных значениях ε. Результаты поместить в отчетную таблицу 3.

4. Решить вручную систему уравнений методом Зейделя с точностью

ε=0.1(описание метода см. на стр. 87-91). Результаты занести в таблицу 4.